Трехлетние дети, поступая к нам, уже умеют считать до двух или трех. Потом они с большой легкостью изучают нумерацию, заключающуюся в сосчитывании предметов. К этой цели ведут самые разнообразные пути, и повседневная жизнь дает множество поводов. Мать говорит, например: «У тебя на переднике не хватает двух пуговиц», «Надо подать еще три тарелки» и т. п.

У нас одним из первых средств для обучения счету является счет денег. Я стараюсь раздобыть новые монеты и нахожу очень полезным иметь имитацию денег серебряных и медных. Такого рода деньги я видела в лондонской школе для отсталых детей.

Размен денег – первая форма нумерации, всегда привлекающая внимание ребенка. Я даю ребенку монеты в один, два и четыре сольдо; с их помощью дети учатся считать до десяти.

По-моему, нет более практичного приема, как ознакомление детей с ходячей монетой, и нет полезнее упражнения, как размен денег. Он тесно связан с повседневной жизнью и интересует решительно всех детей.

Научив счету таким эмпирическим способом, я перехожу к более методическим упражнениям, пользуясь в качестве дидактического материала одною из систем брусков, уже применявшихся при воспитании чувств, – а именно, серией из десяти палочек, употреблявшихся для измерения длины. Самая короткая из них соответствует дециметру, самая длинная – метру, а промежуточные палочки разделены на отрезки длиной в дециметр каждый, попеременно окрашенные в синий и красный цвета.

Когда ребенок разложит палочки в порядке, одну за другой, по их длине, мы предлагаем ему сосчитывать красные и синие отрезки, начиная с самого короткого, т. е. один, два, один, два, три и т. д., всегда начиная с одного и в каждой палочке со стороны, обозначенной А.

Потом мы просим его называть отдельные палочки от самой короткой до самой длинной, соответственно числу отрезков, заключающихся в каждой, и притрагиваясь к палочкам с края В, по которому восходит лестница. Получится та же нумерация, что и при счете самой длиной палочки, – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Чтобы узнать число палочек, мы их сосчитываем с края А и получаем ту же нумерацию, – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Это соответствие трех сторон треугольника дает ребенку возможность проверить счет, и так как упражнение интересует его, то он повторяет его много раз.

 

Потом мы к упражнению в нумерации присоединяем первые упражнения по распознаванию длинных и коротких палочек. Смешав палочки на ковре, директриса выбирает одну из них и, показав ее ребенку, просит сосчитать деления; их, например, оказывается 5. Тогда она просит дать ей следующую по длине. Ребенок выбирает на глаз, и директриса заставляет его проверить выбор: положить обе палочки рядом и сосчитать их деления. Упражнения эти очень разнообразятся и приучают ребенка давать особое название каждой из палочек лестницы. Теперь мы можем называть так: палочка номер первый, палочка номер второй и т. д., и наконец для краткости на уроке: один, два, три, четыре и т. д.

Изображение чисел графическими знаками. – Ребенок уже умеет писать. Мы показываем ему цифры, вырезанные из наждачной бумаги и наклеенные на карточки. Приемы показывания такие же, как и для букв: «Это – один»; «Подай мне два»; «Подай мне один»; «Какое это число?». Ребенок обводит цифры пальцем, как раньше обводил буквы.

Упражнения с цифрами: ассоциация графического знака с количеством. – Я заказала два ящика для цифр; каждый состоит из горизонтальной дощечки, разделенной на пять отделений низенькими перегородками, между которыми кладутся предметы, и из вертикальной дощечки, поставленной под прямым углом к первой; вертикальная дощечка тоже разделена на пять частей вертикальными линиями, в промежутках между которыми изображены цифры. В первом ящике помещаются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, а во втором – 5, 6, 7, 8, 9.

Упражнение происходит просто: в отделения горизонтальной плоскости кладется число предметов, соответствующее цифре, обозначенной на вертикальной плоскости. Чтобы разнообразить упражнение, мы даем ребенку различные мелкие предметы; я пользуюсь деревянными колышками, специально заказанными, фребелевскими кубиками и шашками из шашечной игры. Поставив группу таких предметов перед ребенком, я прошу его положить их на место, т. е. положить, например, одну шашку в отделение с цифрой 1, две шашки в отделение с: цифрой 2 и т. д. Выполнив упражнение, ребенок дает ящик директрисе для проверки.

 

Уроки с нулем. Мы ждем, пока ребенок, указав на отделение, соответствующее цифре нуль, не спросит: «А сюда что положить?». И тогда мы отвечаем: «Ничего».

Но этого недостаточно: необходимо дать ребенку почувствовать, что именно мы разумеем под словом «ничего». Для этой цели я пользуюсь игрой, необычайно занимающей детей. Я становлюсь среди них и, обратясь к ребенку, который уже упражнялся с цифрами, говорю:

«Подойди, милый, ко мне, подойди нуль раз». Ребенок почти всегда подходит ко мне, а потом отбегает на место. «Милый, ты ведь подошел ко мне один раз, а я просила подойти нуль раз». Ребенок в недоумении. «Но что мне делать?». «Ничего. Нуль, это – ничего». «Как же мне сделать ничего?». «Не делай ничего, стой на месте. Ты не должен подходить ко мне ни одного раза. Нуль раз – ни разу».

Я повторяю упражнение: «Милый, пошли мне своими пальчиками нуль поцелуев». Ребенок вздрагивает, улыбается и стоит на месте. «Понял?» – повторяю настойчиво. «Дай мне нуль поцелуев! Нуль поцелуев!». Он стоит на месте. Общий смех. Я уже повышенным голосом, словно угрожая, говорю: «Ты… ступай сюда нуль раз! Сию минуту иди сюда нуль раз! Слышишь? Я тебе говорю?». Тот ни с места! Смех все громче. «Отчего же вы меня не целуете, не ласкаете?» – жалобно спрашиваю я. И все они, блестя глазенками, крича: «Нуль, это – ничего. Нуль – это ничего!». «Ну, ступайте сюда», – говорю я, спокойно улыбаясь. И они бросаются ко мне.

Когда переходим к писанию цифр, я говорю: «Нуль похож на О, это О?». «Нет, это – не О; нуль – ничего».

Упражнение на запоминание чисел. Когда дети начинают узнавать писанные цифры и понимать их числовое значение, я приступаю к следующему упражнению.

Вырезав цифры из старых календарей, я их наклеиваю на гладкую бумажку, которую затем складываю и бросаю в коробку. Ребенок вынимает билетик, несет его сложенным на свое место, где, поглядев на него, опять складывает, сохраняя тайну. Затем поочередно или группой эти дети (конечно, старшие в классе, уже знающие цифры) подходят к большому столу директрисы, где разложены кучками мелкие предметы. Каждый ребенок выбирает количество предметов, соответствующее взятой им цифре. Цифра все это время остается на столике ребенка, в образе таинственно сложенного клочка бумаги. Ребенок должен помнить цифру не только во время движений, которые он делает, уходя с места и возвращаясь, но и во время выбора предметов, считая их один за другим. Здесь директрисе открывается широкое поле для интересных наблюдений над индивидуальной памятью на числа.

Собрав предметы, ребенок раскладывает их на своем столике в два столбца, и если число ему попалось нечетное, то предмет, не имеющий пары, он кладет внизу между двумя последними предметами. Получается такого рода расположение.

Крестики означают предметы, а нолики – сложенные бумажки с цифрой. Разложив взятые предметы, ребенок ждет проверки. Подходит директриса, разворачивает бумажку и сосчитывает предметы.

В начале этой игры часто случалось, что дети брали больше предметов, чем требовалось бумажкой, и притом не всегда потому, что плохо запоминали цифру, а просто их желание набрать побольше вещей. Это – нечто вроде инстинктивной жадности, свойственной первобытному, некультурному человеку. Директриса старается растолковать детям, что вовсе не нужно забирать все вещи, лежащие на столе, что суть игры в том, чтобы угадать то число, какое потребовалось.

Постепенно, но не так скоро, как можно подумать, дети усваивали эту мысль.

Для них это – настоящее усилие задерживающего центра, самоотречение, которое сдерживает ребенка в положенных ему границах и заставляет его брать, например, только два из предметов, лежащих перед ним, в то время как другие на его глазах берут больше. Я считаю эту игру скорее упражнением в силе воли, чем в нумерации.

Ребенок, получивший нуль, не должен двигаться с места, а между тем все его товарищи встают и свободно берут предметы, недоступные для него. Очень часто нуль выпадает на долю ребенка, который отлично умеет считать и с большим удовольствием набрал бы и разложил бы в красивом порядке кучку предметов на своем столике и потом спокойно ждал бы проверки учительницы.

Любопытно наблюдать выражение на личиках детей, взявших нуль: эти индивидуальные различия – едва ли не откровение характеров детей. Одни остаются равнодушными, сидят с гордым видом, стараясь скрыть свое разочарование; другие проявляют это разочарование в беспокойных жестах, третьи не могут скрыть улыбки по поводу странного положения, в котором они очутились, и которое обращает на них любопытство товарищей; иные малютки следят за каждым движением товарищей чуть не с завистью, а другие быстро овладевают собой и смиряются.

Не менее интересно выражение, с каким они признаются в том, что у них нуль, когда во время проверки их спрашивают: «А что же ты ничего не взял?». «Я взял нуль». «У меня нуль». Таковы обычные слова; но выразительные личики и тон голоса свидетельствуют о большом разнообразии ощущений. Очень редко ребенок с явным удовольствием признается в этом необычайном факте; у большинства же вид удрученный, но покорный судьбе.

И вот, у нас получается урок поведения. «Что, правда, трудно сохранить тайну нуля? Она так и бьет в глаза, а вы будьте равнодушны, не давайте понять, что у вас нет ничего!». И в самом деле, через некоторое время чувство собственного достоинства берет перевес, малютки привыкают получать нуль и маленькие цифры и всячески стараются не обнаружить маленькой драмы, которую они переживают первое время.

Сложение и вычитание от одного до двадцати. – Умножение и деление. Для обучения первым арифметическим действиям мы пользуемся тем же дидактическим материалом, как и при нумерации, т. е. брусками, разделенными на дециметры и дающими первое представление о десятичной системе.

Как я уже говорила, эти бруски мы обозначаем числами, которым они соответствуют: один, два, три и т. д. Они расположены в порядке их длины, т. е. в порядке нумерации.

В первом упражнении мы начинаем складывать палочки так, чтобы получался десяток. Проще всего брать короткую палочку, начиная с первой, и прикладывать ее к концу соответствующей длиной, начиная от девяти и ниже. Например, так: «Возьми один и прибавь к девяти; возьми два и прибавь к восьми; возьми три и прибавь к семи; возьми четыре и прибавь к шести». Так мы получаем четыре палочки, равные десяти. Остается палочка пять; но, повернув ее другим концом, мы видим, что она укладывается от одного конца десятка до другого, с очевидностью доказывая, что дважды пять равно десяти.

По мере того как упражнения повторяются, ребенок обучается техническому языку: девять плюс один равно десяти; восемь плюс два равно десяти; семь плюс три равно десяти; шесть плюс четыре равно десяти; что касается пяти, то дважды пять равно десяти. Наконец, если ребенок умеет писать, мы знакомим его со значками: + плюс, × умножить и = равно.

Дети изображают это все в своих тетрадях.

 

Когда дети все это хорошенько заучат и с большим удовольствием изложат на бумаге, мы обращаем их внимание на то, что получается, если разнимать палочки, составляющие десяток, и класть каждую на место. От последнего из составленных десятков мы отнимаем четыре, и останется шесть, от следующего отнимем три, и останется семь, от следующего – 2, и останется восемь, от последнего отнимем один, и остается девять. Точнее говоря, десять без четырех равно шести, десять без трех равно семи, десять без двух равно восьми, десять без одного равно девяти.

Что касается оставшихся пяти, то это – половина десяти, и разрезав длинную палочку пополам, т. е. разделив десять на два, мы получим пять. Десять, деленное на два, равно пяти. Записывается это так:

Овладев этим упражнением, дети самостоятельно продолжают его. Можно ли получить три двумя способами? Мы кладем один после двух и затем, чтобы запомнить сделанное, пишем: 2+1=3. Можно ли сделать, чтобы две палочки равнялись четырем? 3+1=4, а 4–3=1. 4–1=3.

Палочка «два» в отношении к палочке «четыре» тоже находится в таком же отношении к палочке «четыре», как пять к десяти; 4:2=2; 2×2=4. Задача: узнаем, с каким числом палочек можно играть в эту игру? Можно взять 3 и 6; или 4 и 8.

В этом пункте нам приходят на помощь кубики из игры на запоминание чисел Если разложить кубики по два в ряду, то сразу видно, какие числа делятся на два, – все те, у которых внизу не имеется одинокого кубика. Все эти четные или парные числа, ибо их можно разложить парами по два; делить их на два легко: необходимо только отделить два ряда кубиков, стоящих один под другим. Сосчитав кубики каждого ряда, мы получим частное, а чтобы вновь составить первоначальное число, надо только снова собрать два ряда: 2×3=6.

Для детей пяти лет все это не представляет затруднений.

Повторения вскоре надоедают; но упражнение можно видоизменить, взяв опять серию длинных палочек, и вместо того чтобы прикладывать палочку к девяти, приложить ее к десяти. Равным образом мы можем приложить два к девяти, а три к восьми; мы получим палочки длиннее десяти; получим длины в одиннадцать, двенадцать, тринадцать и т. д. до двадцати. Для заучивания этих более высоких чисел можно пользоваться и кубиками.

Проделав действия с десятком, мы без труда переходим к двадцати. Единственное затруднение – десятичные числа, знакомство с которыми требует особых уроков.

Уроки на десятичные числа. Арифметические действия с числами свыше десяти. Необходимый для этого дидактический материал состоит из картонных квадратов, на которых число 10 изображено крупными цифрами, и из картонных прямоугольников, размерами в половину квадрата, на которых отпечатаны цифры от 1 до 9. Цифры мы располагаем в ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не имея больше цифр, мы должны начать сначала и берем цифру 1. Эта 1 подобна отрезку палочки 10, выдавшемуся за палочку 9. Просчитав по длине лестницы до девяти, мы видим, что осталась длина, которую, за неимением других цифр, мы опять обозначим цифрой 1. Но эта более высокая 1; и для отличия первой 1 мы ставим рядом нуль, – знак, означающий «ничего». Вот и 10. Прикрывая нуль прямоугольными карточками с цифрами в порядке из последовательности, мы получаем 5, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Эти цифры составляются путем прибавления к палочке 10 сперва палочки 1, потом 2, затем 3, пока, наконец, мы не прибавим палочки 9 к палочке 10, получив очень длинную палочку, которая после того, как мы сосчитаем красные и синие деления, даст нам девятнадцать.

После этого директриса показывает ребенку карточку, напр., 16; он приложит палочку 6 к палочке 10. Потом она снимает карточку 10 и на нуль кладет карточку 8, а ребенок отнимает палочку 6 и заменяет ее палочкой 8, получая таким образом 18. Каждое из этих действий можно записать таким образом: 10+6=16; 10+8=18 и т. д. Таким же путем мы делаем вычитание.

Когда ребенок получит ясное представление о числе, мы производим эти действия только с карточками, располагая прямоугольники с десятью цифрами в два столбца цифр на двух длинных кусках картона (см. фиг. А и В).

На карте А мы кладем на нуль второго десятка прямоугольник с цифрой 1; ниже – карточку с цифрой 2 и т. д. Таким образом 1 десятка остается без изменения, а числа справа возрастают от нуля до девяти.

С картой В операция сложнее; здесь карточки накладываются в числовой прогрессии десятков. После девяти переходим к следующему десятку, и так до 100.

Почти все наши дети считают до 100, с этим числом мы их знакомим в награду за проявленную ими любознательность.

Не думаю, чтобы эта сторона преподавания нуждалась в дальнейших разъяснениях.

Каждый преподаватель может разнообразить арифметические действия, пользуясь простыми предметами, которые детям нетрудно соединять и делить на группы.