Упомянуть об Аристархе лишь в связи с его гелиоцентрической теорией означало бы упустить из виду один важный аспект ранней греческой астрономии, а именно – ее практическую сторону. Одним из важнейших источников информации по практике определения времени с помощью солнечных часов является римский архитектор I в. Витрувий. Он был убежден, что хороший архитектор должен знать философию, музыку, медицину, историю и все науки, имеющие отношение к строительству. В их число входили астрономия и исчисление времени, подробно рассмотренные им в девятой книге трактата «Десять книг об архитектуре». Он сосредотачивается в основном на определении времени и в заключение приводит перечень различных типов солнечных часов с именами их предполагаемых изобретателей. Среди прочего он сообщает нам об изобретении Аристархом скафиса – вогнутой полусферы с расположенным внутри гномоном (стрелкой), тень от которого помечает время на сетке часовых линий. Кроме того, он приписывал Аристарху изобретение солнечных часов в форме плоского диска. Нельзя в точности сказать, насколько корректны эти атрибуции, и у нас нет полной уверенности в том, что конкретно имел в виду Витрувий, но часы в виде полусферы, как мы знаем, приобрели широчайшую популярность. Об этом можно судить по обилию сохранившихся образцов, особенно тех, у которых бо́льшая часть полусферы была срезана за ненужностью. Тень от гномона может находиться только в пределах ограниченного участка полусферы, и преимущество срезанной поверхности налицо: она, в отличие от полусферы, не наполнялась дождевой водой.

Еще большей популярностью обладали так называемые конические солнечные часы (ил. 46). Если не присматриваться, их легко перепутать с часами в виде срезанной полусферы. Потребность в конструировании всех этих часов оказала сильное стимулирующее воздействие на астрономию и геометрию. Проблема становилась особенно актуальной, когда поверхность, на которую падала тень, была плоской – не важно, горизонтальная она или вертикальная; и здесь, если верить Витрувию, Аристарх ввел небольшое усовершенствование. Типичный пример ранних солнечных часов с плоским циферблатом приведен на ил. 47. Спустя два столетия после смерти Аристарха население Афин смогло ознакомиться с замечательным экземпляром часов с плоским циферблатом на Башне Ветров на рыночной площади Агоре. Будучи возведенной в 50 г. до н. э., эта башня стоит до сих пор, и многие из часовых линий ее солнечных часов все еще различимы. Вне всякого сомнения, самые помпезные солнечные часы с плоским циферблатом времен Античности были установлены в Риме в честь празднования победы Августа в Египте в 30 г. до н. э. В настоящее время их гномон, привезенный из Гелиополя, находится на Пьяцца ди Монте-Читорио. Он представляет собой 22‐х метровый обелиск, увенчанный бронзовым глобусом. Оставшееся от пространного посвящения выложено бронзовыми буквами на мраморной мостовой, в наши дни скрытой под наслоениями других, более поздних построек, однако некоторые ее части извлекли во время раскопок, и особого внимания заслуживает то, что найденные буквы были буквами из греческого алфавита.

Не во всех солнечных часах можно с первого взгляда усмотреть точное соответствие задачам геометрии небесной сферы, но почти все они в итоге имели такой характер – даже солнечные часы в форме окорока с гномоном в виде свинячьего хвостика (ил. 48). Изучение искусства перспективной проекции, необходимого для всех типов солнечных часов, должно было обеспечить интеллектуальными дивидендами не только гномонику, но и всю геометрию в целом, а также, вероятно, конструирование первой плоской астролябии. В этой связи мы опять должны упомянуть Гиппарха, а также Башню Ветров, которая предназначалась главным образом для обслуживания водяных и солнечных часов, сделанных в виде астролябии. Ранняя история технических приемов воспроизведения небесной сферы на плоской поверхности содержит много неясностей, но Витрувий снова дает нам небольшую подсказку. То, что он называет своей аналеммой, представляло собой предназначенную для этих целей геометрическую конструкцию, не являющуюся солнечными часами в строгом смысле этого слова, но сыгравшую роль посредника в их изготовлении. (Он не дает точного объяснения того, как она использовалась, хотя несложно восполнить отсутствующее объяснение.) Происхождение данной конкретной аналеммы неизвестно, однако если поставить целью найти ее изобретателей, то наиболее вероятными кандидатами были бы Аристарх и Гиппарх. Впоследствии аналемма всячески использовалась для решения множества математических и астрономических задач. Например, существует предположение, что в I в. н. э. Герон Александрийский прямо или косвенно использовал ее при разработке метода нахождения кратчайшего расстояния между двумя городами посредством наблюдения лунного затмения из двух различных мест. Нашим главным источником по аналемматическим графическим методам является Птолемей, живший столетием позже, однако их происхождение определенно относится к более раннему периоду, в который жил Герон. Много позже, уже в мусульманском мире, она применялась для обоснования методов определения направления, указывающего на Мекку.

Пример инженерного дизайна солнечных часов демонстрирует важность взаимодействия между теорией и практикой в греческой науке, и это касалось не только вопроса измерения времени. И все же мы не должны преувеличивать точность астрономических наблюдений Аристарха. Его сочинение «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» дает хорошее представление о различных типах взаимодействия между математическими и наблюдательными методами в греческой астрономии, которые часто давали искаженное видение реальности. Вполне естественно судить об обстоятельствах прошлого, исходя из современных или даже птолемеевских астрономических устремлений, но устремления Аристарха почти во всем разительно отличались от них и относились скорее к чистой геометрии, чем к наблюдательной астрономии. Это хорошо иллюстрируется серией знаменитых обобщений, касающихся размеров и взаимных расстояний Солнца, Луны и Земли, как это описано в его книге. Метод, посредством которого Аристарх вводит свои базовые аксиомы, явным образом соотносится с чем-то, чему он научился, изучая геометрию. Его работа выходила за пределы существующей геометрической традиции, поскольку в ней применялись технические приемы, предвосхитившие появление тригонометрии в ее современном понимании. Его подход к решению вопросов не предполагал получения точных численных результатов, и то, что он был способен дать только неточные решения, заключенные в пределах некоторой области неопределенности (демонстрируя при этом нарочитое стремление решать проблемы, связанные с реальным миром), оставляло у отдельных читателей впечатление, будто его работы представляют собой эмпирические приближения. Его даже осуждали за то, что в определенных крайне запутанных геометрических доказательствах он не брезговал использовать линии неопределенной длины. Однако то, что составляет предмет педантичного отношения к малым величинам у астронома, не является таковым у геометра. Трактат Аристарха относился к геометрической традиции, выискивавшей в реальном мире подходящие для нее примеры. Евдокс принадлежал к той же среде, хотя и жил на полвека раньше. Над Аристархом потешались, поскольку он оценил угловой диаметр Солнца и Луны в 2°, а это в четыре раза превышало их реальные размеры. (Ни он, ни кто-либо еще из греков не использовали в то время вавилонскую градусную систему измерения углов, но мы будем пользоваться ею здесь для удобства.) Однако это обвинение становится, очевидно, неуместным, если предположить, что он просто играл в некоторую игру, подобно тому как современный специалист в области прикладной математики может задаться вопросом о движении шаров на круглом биллиардном столе. Если рассуждать исторически, то можно говорить об осуществлении постепенного перехода от проблематики, задаваемой Аристархом, к проблематике, интересовавшей астрономов в современном понимании этого слова. Например, «насколько далеко находится Луна, настоящая Луна?».

Аристарх подготовил почву для постановки подобного рода вопросов, но не обеспечил их удовлетворительными эмпирическими ответами. В числе его базовых предположений было освещение Луны Солнцем; в тот момент, когда Луна представляется нам освещенной ровно наполовину, глаз наблюдателя находится на дуге большого круга, разделяющего светлую и темную области. (См. ил. 49, где T – это Земля, S – Солнце, а M – Луна.) Затем он предположил, что угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы, так как они в точности совпадают во время затмения Солнца Луной. (Это следует из следующего его утверждения: в момент затмения по краям затмеваемого Солнца не образуется кольца, а фаза полного затмения длится очень недолго. Конечно, так бывает не всегда.) Его трактат довольно сложен с точки зрения геометрии, когда он переходит к вопросу о взаимных расстояниях и размерах светил, однако он содержит одно утверждение, легко поддающееся обсуждению. Сегодня его часто называют «дихотомией», от греческого слова, обозначающего деление надвое. Ничто не мешает нам в приведенном примере с освещенной наполовину Луной взять отношение отрезков TS к TM как величину, обратную косинусу угла MTS. Аристарх, не приводя никаких дополнительных оснований, утверждал, что искомый угол составляет 29/30 от четверти круга (87°). Если принять это значение, то, используя тригонометрические таблицы, можно легко получить искомое отношение расстояний до Солнца и Луны, оказывающееся равным 19,11. Аристарх не имел ни малейшего представления о косинусе, не говоря уже о таблицах значений этой функции, однако посредством длинных и громоздких геометрических рассуждений он сумел получить значение, которое оказалось «больше 18, но меньше 20». Для получения этого результата ему в процессе доказательства пришлось воспользоваться теоремой, эквивалентной записанной нами следующим образом:

Каким бы ни было отношение расстояний до Солнца и Луны, в силу того что он рассматривал угловые диаметры этих светил равными друг другу, отношение их истинных диаметров должно оказаться, по его словам, более или менее таким же. (Это «более или менее» звучит немного странно, поскольку он стремился к точности и даже пытался учесть тот факт, что, глядя на сферу, мы видим отнюдь не половину ее поверхности.) Другие теоремы, как, например, об относительных объемах светил, легко выводятся из предыдущей и не представляют особого интереса. Гораздо более важным представляется то, что мы отнюдь не исказили смысла его достижений, заключавшихся в нахождении верхней и нижней границ интервала, в пределах которого должно лежать значение определенного тригонометрического соотношения. С исторической точки зрения астрономические выводы, следующие из его аргументации, были вторичны, и, вероятнее всего, он сам осознавал это. Вряд ли можно точно определить момент, когда лунный диск разделен ровно пополам на темную и освещенную стороны, это сложно сделать даже в наши дни. Совершенно невозможно, пользуясь доступными в то время инструментами, измерить этот важнейший угол, истинная величина которого составляет 89,8°.

Упомянутая дихотомия – не единственная теорема, привлекающая интерес историков к трактату Аристарха «О величинах и расстояниях», поскольку он настойчиво разрабатывал в нем геометрические процедуры, позволяющие понять, каким образом, в принципе, могут быть определены абсолютные размеры Солнца и Луны в единицах диаметра Земли. Хотя он начинает с описания того, что, в принципе, может быть обнаружено в ходе наблюдения лунного затмения, его собственные «данные» не были выведены из тщательно проведенных наблюдений. Представляется в высшей степени вероятным, что он выбрал их только для иллюстрации собственного метода. Греческие геометры, и даже Птолемей, часто прибегали к этому приему, и каждый, кто воспринял метод Аристарха, включил его в систему педагогической подготовки. Это создало условия для более проницательного анализа, осуществленного в следующем столетии Гиппархом, которому этот метод указал путь к получению эмпирических результатов.

И здесь опять, получая абсолютные расстояния, Аристарх использовал некий прототип тригонометрии, позволивший ему, как и ранее, определить верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых должно лежать искомое значение. С точки зрения геометрии он использовал точную процедуру: например, когда он говорит, что диаметр Солнца заключен между 19/3 и 46/6 диаметра Земли, значения верхней и нижней границ, в известном смысле, точны. Мы можем характеризовать его метод как аппроксимирующий только в том случае, когда предполагается, что он рассматривает наблюдательные данные, но здесь мы, скорее всего, недостаточно хорошо его понимаем. По сообщению Архимеда, Аристарх считал угловой диаметр Луны равным половине градуса. Зачем же он выбрал значение, превышающее эту величину в четыре раза? Это был оценочный метод, и из него с очевидностью следует, что Аристарх пробовал свои силы в установлении того, что мы обычно называем тригонометрическими соотношениями выбранных малых углов. Вне зависимости от того, как это было на самом деле, его метод, судя по приведенному здесь примеру, не может быть резюмирован в двух словах. Если заменить тригонометрические соотношения последовательными геометрическими процедурами, то общую стратегию его доказательства легко понять из пояснения к ил. 50. Худшее, что может сделать читатель, если он хочет составить представление о геометрических достижениях Аристарха, – это попытаться решить указанную проблему самостоятельно с помощью элементарных методов, не познакомившись, хотя бы вкратце, с приведенным здесь рисунком. Задача заключалась в том, чтобы выбрав в качестве исходных значений угловые размеры земной тени на расстоянии лунной орбиты, (равные) угловые размеры Солнца и Луны и отношение их расстояний до Земли, найти абсолютные значения всех расстояний в радиусах Земли.