Некоторые задачи на первый взгляд кажутся чрезвычайно сложными. Смутить могут, например, очень большие числа. А иногда в замешательство приводит излишнее количество данных, некоторые из которых совершенно не нужны для решения. Даже формулировка задачи способна поставить в тупик. Что бы там ни было, отличный подход — упростить задачу, однако так, чтобы она осталась эквивалентной исходному варианту. Попробуйте уменьшить числа, изменить рисунок или как-то иначе упростить задачу. Решая упрощенную версию, вы получаете представление о том, как справиться с исходной задачей.

Купив первый раз новый компьютер, вы ведь не брались за освоение сразу всех функций и возможностей, а, скорее всего, начинали с чего-то более знакомого и постепенно добавляли новое, пока не выясняли, на что способно приобретение. Наверняка вы брались сначала за более простые функции.

Допустим, вам нужно решить следующую задачу:

Дано 19 последовательных целых чисел, сумма которых равна 95. Какое число стоит на десятом месте в этом ряду?

Одни, скорее всего, попробуют применить алгебраический подход и представят 19 целых чисел, как x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), …, (x + 17), (x + 18) и так далее. Так они дойдут до 95, а потом найдут решение для x. Другие заметят, что число в десятой позиции является средним, обозначат его как x и представят остальные числа следующим образом: (x + 9), (x + 8), (x + 7), …, (x – 7), (x – 8), (x – 9). Теперь можно объединять парные члены по мере их добавления, т.е. преобразовывать (x – 9) и (x + 9) в 2x, (x – 8) и (x + 8) тоже в 2x и т.д., получая каждый раз 2x. Такая версия намного проще для решения, поскольку мы получаем уравнение вида 9(2x) + x = 95, или 19x = 95 откуда x = 5.

Вместе с тем есть еще более интересный подход. Допустим, мы рассматриваем более короткий ряд чисел, например 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Их сумма (25) при делении на 5 дает среднее, а именно 5, которое оказывается средним числом ряда. Для ряда в нашей задаче средним число является 10-й член, а поскольку целые числа последовательны, этот член является также средним арифметическим, или средним числового ряда из 19 членов. Таким образом, чтобы найти среднее, нужно просто взять сумму (95) и разделить ее на количество членов ряда (19). Ответ — 5. Эта упрощенная версия задачи позволяет представить исходное задание в значительно более простой форме и, таким образом, облегчить решение.

Зачастую можно не ограничиваться простым уменьшением сложности исходной задачи, а применить также и другие наши стратегии. Например, найдите десятичное значение числа 1/500 000 000 000.

Воспользоваться калькулятором здесь не удастся, поскольку дисплеи большинства из них не воспроизводят 12-значные числа. Применим две другие стратегии: организуем данные и найдем закономерность. Решим ряд более простых версий нашей задачи, представим результаты в табличной форме, а потом посмотрим, нет ли в них какой-либо закономерности.

Здесь определенно просматривается закономерность. Количество нулей в знаменателе равно количеству нулей между запятой и 2. Поскольку в знаменателе 11 нулей после 5, между запятой и 2 должно быть тоже 11 нулей:

Обратите внимание, насколько упрощенная версия(и) исходной задачи вместе с двумя другими стратегиями облегчают решение. Имейте в виду, что использование нескольких стратегий для решения задачи не редкость.

Задача 6.1

Баскетбольная команда принимает участие в конкурсе на лучшее исполнение штрафных бросков. Первый игрок успешно выполняет x штрафных бросков, второй — y, а третий — количество бросков, равное среднему арифметическому количества бросков первых двух игроков. Каждый последующий игрок успешно выполняет такое количество бросков, которое равно среднему арифметическому бросков всех предыдущих игроков. Сколько успешных штрафных бросков сделает 12-й игрок?

Обычный подход

Некоторые пытаются решить такую задачу через определение среднеарифметического значения для каждого из 12 игроков по очереди. На это нужно много времени и сил. К тому же очень легко сделать ошибку при вычислениях. У задачи наверняка должно существовать более рацио­нальное решение.

Образцовое решение

Мы начнем с анализа более простой аналогичной задачи. За­меним x и y простыми числами и посмотрим, что происходит. Допустим, первый игрок сделал 8 штрафных бросков (x), а второй — 12 (y). Тогда счет третьего игрока будет равен их среднему арифметическому, т.е. Четвертый игрок наберет среднее арифметическое бросков первых трех игроков, т.е. а пятый — среднее арифметическое бросков первых четырех игроков, т.е. Ну вот! Счет любого игрока после первых двух всегда равен среднему арифметическому успешных бросков первых двух игроков. Правильным ответом на эту задачу будет среднее арифметическое успешных бросков первых двух игроков, а именно Упрощенная аналогичная задача позволила нам определить метод, который нужно использовать для быстрого решения исходной задачи.

Задача 6.2

Сумма расстояний от любой точки внутри или на сторонах равностороннего треугольника до трех сторон всегда постоянна. Чему равна сумма этих расстояний, если сторона равностороннего треугольника равна 4?

Обычный подход

Существуют несколько способов решения этой задачи. Один из наиболее простых способов — выбрать какую-нибудь точку внутри равностороннего треугольника (т.е. сделать нечто вполне ожидаемое) и провести из нее три перпендикуляра к сторонам (рис. 6.1).

Приравняв площадь ΔABC и сумму площадей треугольников APB, PBC и CPA при использовании трех высот x, y, z и основания 4, мы получим площадь:

Таким образом, h = x + y + z. В нашем случае высота равностороннего треугольника равна 2 √3. Значит x + y + z = 2 √3.

Образцовое решение

Без ущерба общему смыслу задачи рассмотрим более простой аналогичный пример, поскольку мы вправе поместить точку P в любом месте внутри равностороннего треугольника или на его сторонах. Если совместить точку P с точкой A, то решение становится очевидным. Перпендикуляры к сторонам AB и AC имеют длину 0, а перпендикуляр к стороне BC — это просто высота треугольника, или 2 √3. Обратите внимание на то, что такую стратегию можно также классифицировать, как анализ экстремальных ситуаций. Мы рассмотрели экстремальную ситуацию, в которой точка совмещена с вершиной треугольника. Это лишний раз подчеркивает гибкость выбора стратегии.

Задача 6.3

В приведенных ниже выражениях m и n — положительные целые числа, каждое из которых больше 1. Какое из выражений имеет наибольшее значение?

Обычный подход

Наиболее очевидный подход — реально выполнить операции как есть и попытаться выяснить, какое из выражений имеет наибольшее значение. Это громоздкий и нудный метод, требующий, к тому же, большого объема вычислений.

Образцовое решение

Попробуем решить более простую версию этой задачи. Для ее упрощения подставим вместо переменных подходящие положительные целые числа. Пусть m = 2, а n = 4. Тогда выражение (1) будет равно 2 + 4 = 6; выражение (2) — 2–4 = –2; выражение (3) — √16 = 4; выражение выражение Из этого следует, что наибольшее значение имеет выражение m + n.

Задача 6.4

Обычный подход

Традиционный подход заключается в решении уравнения и определении значения x, которое равно Затем это значение подставляют в выражение и получают Конечно, это связано с определенными алгебраическими и арифметическими преобразованиями, однако в конечном итоге дает правильный ответ.

Образцовое решение

Лучше, однако, взглянуть на задачу с другой точки зрения, начиная с исходной информации: уравнения Если взять обратные величины обеих сторон уравнения, мы получим уравнение вида которое намного легче поддается решению. Поскольку нужно найти значение x + 6, мы просто прибавим 1 к обеим частям этого уравнения и получим или Возьмем опять обратные величины обеих сторон уравнения и получим, что и требовалось найти. Это несомненно более изящный подход.

Задача 6.5

Дан круг и его диаметр; покажите, как разделить площадь на семь частей равной площади без использования прямых линий.

Обычный подход

Обычно при виде такой задачи человек понимает, что циркуль — это то, что надо, и начинает чертить окружности внутри исходного круга в надежде обнаружить какую-либо закономерность. Чаще всего такое упражнение не дает ничего.

Образцовое решение

Возьмем наш круг и отложим от одного края диаметра отрезок, равный одной седьмой части его длины, как показано на рис. 6.2.

Площадь более светлой закрашенной области можно описать, как площадь половины исходного круга плюс площадь полукруга X минус площадь полукруга Y.

Известно, что отношение площадей кругов прямо пропорцио­нально отношению квадратов их диаметров, поэтому площадь более светлой закрашенной области можно представить следующим образом:

Площадь (X + Z) = площадь (Y + Z) – площадь (Y).

Поскольку у трех полусфер отношение диаметров составляет (Y + Z):(Y):(X) = 7:6:1, отношение их площадей равно 49:36:1. Используя это, можно увидеть, что отношение площади более светлой закрашенной области к площади большого полукруга составляет (49 – 36 + 1):49 (или 14:49), иначе говоря, площадь более светлой закрашенной области равна площади большой полусферы. В этом случае отношение площади более светлой закрашенной области к площади целого круга равно Мы умножаем на потому, что представляет собой отношение к площади круга. Используя эту стратегию, мы можем рассмотреть полукруги с диаметрами AC, AD, AE, AF, AG и AH, которые делят площадь круга на семь частей равной площади.

Задача 6.6

Два поезда, один из Чикаго в Нью-Йорк, а другой из Нью-Йорка в Чикаго (расстояние 800 км) одновременно выходят навстречу друг другу по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. Перед одним из поездов летит пчела со скоростью 80 км/ч. После достижения идущего навстречу поезда пчела разворачивается и летит обратно (все с той же скоростью 80 км/ч). Пчела летает туда-обратно до тех пор, пока поезда не сталкиваются и не сплющивают ее в лепешку. Сколько километров пролетает пчела?

Обычный подход

Эта задача может напомнить читателю известный пример, приводимый в большинстве учебников алгебры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала пчела. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.

Образцовое решение

Значительно более изящный подход предполагает решение упрощенной аналогичной задачи (можно сказать также, что это подход к решению с другой точки зрения). Мы ищем расстояние, которое пролетела пчела. Если знать время, в течение которого летала пчела, то определить пройденное расстояние будет легко, поскольку скорость пчелы известна.

Время полета пчелы узнать несложно, так как оно равно времени движения поездов до столкновения. Для определения времени t движения поездов составим следующие уравнения.

Расстояние, пройденное первым поездом равно 60t, а второго — 40t. Суммарное расстояние, пройденное поездами, составляет 800 км. Таким образом, 60t + 40t = 800, а t = 8 часам. Иначе говоря, пчела летала 8 часов. Теперь можно найти расстояние, которое пролетела пчела: 8 × 80 = 640 км. Внешне невероятно трудное задание определить расстояние, пройденное летающей туда-сюда пчелы, было сведено к довольно обычной задаче «на равномерное движение», решение которой очевидно.

Задача 6.7

Имеется произвольно начерченная пентаграмма, показанная на рис. 6.3. Определите, чему равна сумма острых углов при ее вершинах.

Обычный подход

Большинство, к сожалению, пытается измерить углы с помощью транспортира (надо надеяться, с достаточной точностью). На основании полученного результата строятся предположения о том, какой должна быть эта сумма.

Образцовое решение

Мы же воспользуемся стратегией решения упрощенной аналогичной задачи. Иначе говоря, поскольку форма, или правильность не определена, предположим, что это пентаграмма, вписанная в окружность, как показано на рис. 6.4. Если посмотреть на острые углы пентаграммы, можно заметить, что каждый из них является вписанным в окружность углом, равным по определению половине дуги, на который он опирается. Например, Глядя на дуги оставшихся четырех острых углов пентаграммы, видно, что в сумме они составляют полную окружность. Итак, мы знаем, что сумма углов равна половине суммы дуг, на которые они опираются, т.е. она равна половине окружности, или 180º.

Задача 6.8

Какое из следующих чисел имеет наибольшее значение?

148, 242, 336, 430, 524, 618, 712, 86

Обычный подход

С помощью компьютерной программы или даже калькулятора, который может оперировать большими числами, можно попытаться реально определить значение каждого числа. Однако такой подход утомителен и требует много времени. Тем не менее он имеет право на существование.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией решения более простой аналогичной задачи. Даже при быстром взгляде на числа видно, что показатели степени кратны 6. Если извлечь корень шестой степени из каждого члена ряда (или возвести его в степень), то можно упростить сравнение. Иначе говоря, мы знаем, что все исходные числа являются производными 6-й степени. Таким образом, наибольшее значение в следу­ющем ряду будет связано с наибольшим значением исходных чисел, которые требуется сравнить.

18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81.

Значения чисел в этом ряду определить несложно:

27 = 128; 36 = 729; 45 = 1024; 54 = 625; 63 = 216.

Остальные числа явно меньше. Итак, наибольшее значение в ряду из восьми чисел, возведенных в степень, имеет 430, которое можно представить как (45)6.

Задача 6.9

Чтобы растянуть удовольствие от бутылки вина объемом 16 унций, Дэвид придумал следующее. В первый день он выпивает только 1 унцию вина и доливает в бутылку столько же воды. Во второй день он выпивает 2 унции смеси вина с водой и опять доливает в бутылку столько же воды. На третий день он выпивает 3 унции смеси вина с водой и вновь доливает в бутылку столько же воды. Процесс продолжается до тех пор, пока на 16 день Дэвид не опорожняет всю бутылку объемом 16 унций. Сколько всего унций воды выпил Дэвид?

Обычный подход

В задаче вроде этой очень легко утонуть в деталях. Некоторые, наверное, уже составляют таблицу, вносят в нее данные об объеме вина и воды в бутылке каждый день и пытаются вычислить пропорцио­нальные количества той и другой жидкости, выпиваемой Дэвидом каждый день. Задачу легче решить, взглянув на нее с другой точки зрения, а именно, задавшись вопросом, сколько воды Дэвид добавляет в смесь каждый день. Поскольку он в конечном итоге опорожняет бутылку (на 16-й день), и в ней ничего не остается, Дэвид, надо полагать, выпивает всю долитую воду. В первый день он долил 1 унцию воды, во второй — 2 унции, в третий — 3 унции. На 15-й день в бутылку было добавлено 15 унций воды. (Не забывайте, что в 16-й день вода не добавлялась.) Таким образом, количество воды, выпитой Дэвидом, равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 унциям.

Образцовое решение

Хотя приведенное выше решение имеет право на существование, можно рассмотреть чуть более простую аналогичную задачу и определить, сколько жидкости Дэвид выпил в целом, а потом просто вычесть из результата объем вина, т.е. 16 унций.

Таким образом, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136, и 136 – 16 = 120.

Дэвид выпил 136 унций жидкости, из которой 120 унций приходилось на воду.