Глава 8. Волновая механика Шредингера

Что существует более выдающегося в теоретической физике, чем его первые шесть работ по волновой механике?.. Именно в этих работах впервые появились и «уравнение Шредингера», и «представление Шредингера», и «функция Шредингера», которые затем вошли в золотой фонд физической науки.

М. Борн.

Моя жизнь и взгляды

Следующий по значению этап в развитии квантовой физики связан с именем нобелевского лауреата Эрвина Шредингера, сумевшего обобщить и развить гипотезу де Бройля.

В самом конце первой четверти прошлого века Шредингер прочитал в одной из научных работ Эйнштейна ряд положительных замечаний касательно теории «волн материи» де Бройля. Это привело его не только к поддержке теоретических построений французского коллеги, но и к развитию их до логического окончания. В своих рассуждениях Шредингер исходил из идей де Бройля и оптико-механической аналогии Гамильтона. По этой аналогии геометрической оптике соответствуют уравнения классической механики, определяющие траекторию частицы так же, как законы геометрической оптики определяют форму лучей света. Геометрическая оптика применима к малым длинам волн; когда же длиной волны нельзя пренебречь, вступают в силу законы волновой оптики, описываемые волновым уравнением.

Шредингер прекрасно знал, что оптико-механическая аналогия справедлива лишь для геометрической оптики, в пренебрежении волновыми параметрами излучения. Он сделал смелое предположение, что оптико-механическую аналогию можно распространить и на волновую среду в целом, так что любое движение частиц будет подобно распространению соответствующих волн. Свои теоретические построения Шредингер начал с попыток ввести в квантовую теорию атома классическое математическое описание волн. Первая попытка закончилась неудачей, поскольку Шредингер полагал, что скорости атомных электронов близки к световым, и это в соответствии с теорией относительности приводило к нереальному увеличению их масс. Много позже выяснилось, что причиной неудачи был неучет наличия у электрона спина – прообраза вращения вокруг собственной оси, о котором тогда мало что было известно. При следующей попытке он выбрал достаточно небольшие скорости электронов, и она увенчалась успешным выводом знаменитого волнового уравнения Шредингера. Его решения и представляют собой те самые «волны материи» де Бройля.

Звезда Шредингера зажглась на научном небосклоне, когда он, развивая идеи де Бройля, в 1926 году получил свое знаменитое уравнение, описывавшее поведение волн-частиц. Одним из главных моментов здесь является понятие волновой функции частицы, изначально обозначаемой греческим символом ψ (пси) и поэтому часто называемой ψ(пси) – функцией. Волновая пси-функция представляет собой наиболее полное из возможных описаний квантовых систем. Разумеется, прямые наблюдения «волн материи» де Бройля невозможны из-за их крайней малости, и с очень большой точностью движение атомарных структур и их элементов можно описать законами классической физики. Тем не менее и волновой природой микрообъектов пренебрегать нельзя, поскольку закономерности их движения определяются уравнением, аналогичным волновому уравнению, выведенному в оптике из предпосылок о волнах света.

Форму этого уравнения Шредингер нашел в следующем виде:

[(d² ψ) / (dx) + 2m / (ĥ²)] [Е – U(x)] ψ = 0.

Замечательный физик и популяризатор науки Леонид Иванович Пономарев в своей блестящей книге «Под знаком кванта» предлагал увидевшим впервые уравнение Шредингера читателям воспринимать его вначале просто как символ квантовой механики, как некий герб квантовой страны. Причем некоторые штрихи в этом гербе «невероятного квантового мира» можно понять даже с помощью школьных знаний, так, m – это масса электрона, ĥ – постоянная Планка ħ, деленная на 2π, Е – полная энергия электрона в атоме, U(x) – его потенциальная энергия, х – расстояние от ядра до электрона. Сложнее тем, кто основательно подзабыл школьную математику и физику, понять символ «второй производной» d ² / dx², но можно запомнить этот символ дифференциального исчисления, собственно из-за которого уравнение Шредингера и называется дифференциальным.

Главное при анализе уравнения Шредингера – понять смысл загадочной пси-функции. Это действительно совсем непросто, и вначале даже сам Шредингер не совсем правильно понимал ее смысл. При первом знакомстве с этим ключевым понятием квантовой теории важно усвоить, что, несмотря на свою «волновую оригинальность, пси-функция все же прекрасно представляет движение электрона в атоме. Конечно, по-иному, чем с помощью матриц Гейзенберга, но с ее помощью можно успешно решать любые задачи квантовой механики, причем намного быстрее и проще, чем используя матричное исчисление Гейзенберга.

Таким образом, если в классической физике полное описание системы включало в задании координат и скоростей всех ее частиц, позволяя при этом корректно описать прошлое и будущее физических систем, то в квантовой механике подобная ситуация принципиально невозможна. Согласно квантовой теории описание микросистемы (и не только) заканчивается заданием волновой пси-функции, и, соответственно, лишь задание соответствующих волновых функций позволяет описать прошлое и будущее микроскопических объектов. Тут надо сразу же подчеркнуть, что физический смысл пси-функции является одним из самых сложных вопросов квантовой теории, и даже сегодня для этого фундаментального квантово-механического понятия выдвигаются все новые и новые представления.

В свое время Шредингер потратил много сил на интерпретацию физического смысла волновой пси-функции, которая, как он считал, должна наконец-то избавить теорию от странных квантовых скачков, попытался даже дать наглядную интерпретацию пси-функции. Он посчитал, что наложение волновых функций может образовать своеобразный «волновой пакет», определяющий образ движущейся микрочастицы. Между тем, по де Бройлю, скорость группы «волн материи» равна скорости унитарной частицы, но уже для пары частиц такая наглядная интерпретация теряет свой смысл. Ведь «волны», описываемые пси-функциями, мало напоминают привычные волны на поверхности жидкости или в газе, поскольку строятся в некоем сугубо абстрактном, конфигурационном пространстве. К тому же «волновой пакет» с течением времени должен был бы расплываться, релаксируя. Именно поэтому в 1926 году Борн разработал новую интерпретацию пси-функции, в которой квадрат ее модуля определял плотность вероятности нахождения микрочастицы в данной области пространства.

Итак, получается, что загадочную волновую функцию можно представить себе как некоторую «волну вероятности»: например, вероятность того, что квантовая частица находится в точке с заданными координатами, равна квадрату ее волновой функции, аргументом которой является координата. Соответственно, вероятность того, что частица имеет определенный импульс, равна квадрату волновой функции с импульсом в качестве аргумента. Поэтому у квантовой частицы нет определенной координаты или импульса – они принимают то или другое значение лишь с какой-то вероятностью. Однако измерение этих величин сразу же делает их определенными – так, пропустив частицу через щель, можно утверждать, что ее координаты равны координатам отверстия. При этом волновая функция частицы оказывается ненулевой только в месте прохождения щели. Подобная процедура измерения носит название коллапсионной редукции волновой функции – она как бы «схлопывается», коллапсирует, сокращая (редуцируя) свои значения к «классико-механическим» координатам в месте регистрации.

Так возникла оригинальная ситуация, когда к окончанию первой четверти XX века на физической арене начали борьбу за приоритет описания микромира сразу две квантовые теории с различными исходными концепциями. В матричной механике Гейзенберг при поддержке Бора доказывал корпускулярную природу электронов, отражая это в своих системах матриц. Совершенно иной на первый взгляд подход предлагал Шредингер при поддержке де Бройля, отражая волновую природу электрона в своем уравнении. Подход Гейзенберга основывался на оперировании только наблюдаемыми величинами, он в принципе не рассматривал понятие каких-либо атомных траекторий. Со своей стороны, Шредингер тоже избегал «планетарного» смысла орбит электронов вокруг «солнечного» ядра и ограничивался абстрактным образом таинственной пси-функции в своем уравнении. Великий судья всех физических споров – опыт – также оказался в совершенно беспомощном положении, ведь часть экспериментов обнаруживала у электрона корпускулярные, а часть – волновые свойства! Это был период бурных дебатов, разделивших тогда еще совсем немногочисленных физиков на два непримиримых лагеря: приверженцев пионерской матричной механики и сторонников математически прозрачной волновой квантовой физики. В этой непростой ситуации главным парламентером в 1927 году и выступил Шредингер, убедительно продемонстрировав своим скептикам и сторонникам, что обе квантовые теории в своей математической сущности едины. Отсюда сразу же следовал и основной вывод о физической эквивалентности двух механик. Иначе говоря, представления матричной теории о корпускулярном образе электрона так же достоверны, как и представления волновой квантовой механики о волнах электронов.

Эрвин Шредингер (1887-1961)

Математические разработки Шредингера имели для гениально предугаданных де Бройлем волн материи такое же значение, какое имели уравнения поля Максвелла для силовых линий Фарадея.

Шредингер оперировал при этом строго классическими методами и пользовался наглядными представлениями, которым физики доверяли и которые были доступны пониманию: обстоятельство, в немалой степени способствовавшее быстрому признанию волновой механики…

Ф. Гернек. Пионеры атомного века

С помощью волновой механики Шредингер начал создавать теорию атомных процессов, опубликовав на протяжении 1926 года несколько статей по следующей тематике: «Об отношении механики Гейзенберга – Борна – Иордана к моей», «Квантование как проблема собственных значений», «Непрерывный переход от микро- к макромеханике» и «Квантование как проблема собственных значений». В конце года Шредингер собрал все эти работы и издал их отдельным сборником под общим названием «Статьи по волновой механике».

В этой книге, вызвавшей бурю обсуждений среди теорфизиков по всему миру, Шредингер предельно ясно выразил тезис всей своей последующей жизни: единственной реальностью в квантовом микромире являются всяческие волновые процессы, досконально объясняемые волновой механикой. Волнам материи просто не существует разумной альтернативы, а квантовые скачки являются лишь спекулятивной иллюзией теоретиков.

Давид Гильберт (1862-1943)

Летом 25-го года, когда волновой механики еще не существовало, а матричная только-только появилась на свет, два геттингенских теоретика пошли на поклон к знаменитому Давиду Гильберту – признанному главе тамошних математиков. Бедствуя с матрицами, они захотели попросить помощи у мирового авторитета. Гильберт выслушал их и сказал в ответ нечто в высшей степени знаменательное: всякий раз, когда ему доводилось иметь дело с этими квадратными таблицами, они появлялись в расчетах «как своего рода побочный продукт» при решении волновых уравнений.

– Так что, если вы поищете волновое уравнение, которое приводит к таким матрицам, вам, вероятно, удастся легче справляться с ними, – закончил он.

Оба теоретика решили, что услышали глупейший совет, ибо Гильберт просто не понял, о чем шла речь. Зато сам Гильберт потом с наслаждением смеялся, показывая им, что они могли бы открыть шредингеровскую волновую механику на шесть месяцев раньше ее автора, если бы повнимательней отнеслись к его, гильбертовым, словам.

Э. Кондон. Создание квантовой науки

Позиция Шредингера подверглась резкой критике со стороны представителей копенгагенской школы – прежде всего самого Бора, Гейзенберга и Борна, ставивших во главу угла физическую интерпретацию микрочастиц как полностью «корпускулярных» объектов, обладающих целостностью и устойчивостью. Разумеется, при этом они безоговорочно признавали, что поведение частиц в микромире существенным образом отличается от того, как ведут себя те же корпускулы Ньютона в классической физике.

Весной 1927 года Гейзенберг написал статью, ставшую буквально судьбоносной для дальнейшего развития квантовой механики, ее название: «О наглядном содержании квантовотеоретической кинематики и механики». В этой работе немецкого теоретика впервые содержалась ясная формулировка одного из основных принципов квантовой механики, являющегося ключевым при анализе поведения частиц на микроуровне – «принципа неопределенности». Долгое время анализируя разнообразные теоретические схемы по одновременному определению скорости и координат микрочастиц, он пришел к совершенно поразительному с точки зрения классической физики выводу: «Точность измерения одного параметра неразрывно связана с точностью измерения другого!» В целом это хорошо укладывается в современный образ квантового микромира, где волновые функции частиц не связаны с какими-либо физическими полями, представляя собой просто некоторые формальные записи для результирующих вероятностей наблюдаемых явлений.

Простейшим примером может быть уточнение координаты того же электрона. Для того чтобы поточнее определить его место в пространстве, необходимо взять как можно более короткую электромагнитную волну, «осветить» электрон и при этом посмотреть в некий сверхсильный «микроскоп». Из оптики известно, что подобный метод определения местоположения микрочастицы дает погрешность порядка длины волны использованного света. Следовательно, для уточнения координаты можно было бы максимально уменьшить длину волны освещения, но при этом скорость электрона становится неопределенной из-за эффекта отдачи при взаимодействии с волной. Чем короче волна, тем выше ее энергия, тем больше эффект отдачи. Понизим энергию, возрастет длина и неопределенными станут пространственные координаты…

Соотношение Гейзенберга гениально просто: ∆q∆p ≥ ħ, где ∆q – неопределенность координаты, ∆ p – неопределенность импульса, ħ – постоянная Планка.

Принцип неопределенности Гейзенберга справедлив и для других параметров микрочастиц. Например, он связывает такие характеристики микрообъектов, как энергия и время, в самых различных квантовых явлениях. Получается, что чем быстрее протекает процесс в микромире, тем более трудно определить задействованное в нем количество энергии, справедливо тут и обратное утверждение: чем точнее мы характеризуем энергию в некоем квантовом явлении, тем менее определено время его продолжительности. Многие физики сегодня считают, что именно здесь заложено зерно возможной фундаментальной дискретности потока времени и существования атомов времени – хроноквантов.

Уже осенью того же года Бор посвятил новому квантовомеханическому принципу обширный доклад «Квантовый постулат и новейшее развитие атомной теории», прочитанный им на международной теоретической конференции в Копенгагене. Бор не только дал высочайшую оценку работе Гейзенберга, но и развил новое квантовое понимание природы, сформулировав свой философский «принцип дополнительности», тесно связанный со смыслом соотношения неопределенности Гейзенберга.

Можно считать, что на этом первый период развития квантовой физики, в общем, закончился. На следующем этапе, с одной стороны, началось философское обсуждение фундамента квантовой теории с основным акцентом на то, чем же является «на самом деле» волновая пси-функция. С другой стороны, произошел качественный переход в экспериментальной технике, поскольку та же волновая функция прекрасно описывала поведение микрообъектов, заменяя множество классических физических величин, таких как скорость, координата, энергия и импульс. В середине тридцатых годов прошлого века в университетские учебники уже прочно вошла формулировка пси-функции как определяющей состояние микрообъекта с некоторыми распределенными значениями «классических» параметров, причем эта «параметрическая неопределенность» следовала из самого характера волновой функции.

Между тем не прекращались попытки каким-то образом связать классические механические представления с парадоксальной квантовой картиной микромира. Первые шаги на этом пути пытался сделать еще «отец квантов» Планк, но основной успех пришелся на долю видного теоретика Пауля Эренфеста. Суть его исследований сводилось к следующему: существует явная аналогия между квантовой волновой механикой и теорией волновых явлений в классической физике. Так, интерференции и дифракции были разработаны задолго до того, как Максвелл описал природу света с помощью своих знаменитых электромагнитных уравнений. Любопытно, что вначале считалось, будто всякий источник света испускает некие волны, а интенсивность света пропорциональна именно квадрату параметра, определяющего волновой характер этого явления.

Эренфест рассуждал так: пусть мы не можем достаточно наглядно представить себе квантовое движение в микромире, и не совсем ясно, как понимать тут импульс или координаты элементарной частицы, однако при этом нам достоверно известно, что усредненные значения квантовых величин полностью удовлетворяют уравнениям классической физики. Можно сказать, что в этом и содержится суть принципа соответствия, введенного в 1918 году Бором и доказанного в 1927 году Эренфестом.