Правило XVII

Встретившуюся трудность нужно просматривать прямо, не обращая внимания на то, что некоторые из ее терминов известны, а некоторые неизвестны, и интуитивно следовать правильным путем по их взаимной зависимости

Это правило предписывает рассматривать проблему в целостности, выявляя взаимосвязь между всеми элементами, независимо от того, известны они нам или нет. Их все знать невозможно, но это не препятствует ученому смотреть на явления природы с позиции целостности.

Четыре предшествующих правила учили, как нужно абстрагировать от отдельных предметов определенные и в совершенстве осмысленные трудности и сводить их к тому, чтобы после этого нам оставалось отыскивать именно только величины по тем или иным отношениям, связующим их с данными величинами. В следующих же пяти правилах мы объясним, как нужно решать эти трудности, чтобы независимо от количества неизвестных величин, содержащихся в одном положении, эти величины пришли к взаимному подчинению, и тем, чем является первая величина по отношению к единице, вторая была бы по отношению к первой, третья – по отношению ко второй, четвертая – по отношению к третьей, чтобы они, следуя таким же образом далее, независимо от их количества, в целом составили сумму, равную именно данной величине. Все это должно производиться путем столь строгого метода, чтобы с помощью его мы твердо убедились в невозможности приведения этих величин к более простым терминам никакими способами.

Что же касается настоящего правила, то заметим, что во всяком вопросе, подлежащем разрешению именно дедуктивным путем, есть один открытый и прямой путь, по которому мы можем легче всего переходить от одного термина к другому, тогда как все другие пути являются более трудными и косвенными. Для того чтобы это понять, нам нужно вспомнить сказанное нами в правиле XI, где, объясняя сцепление положений, мы указали, что если сравнивать каждое положение с его предшествующим и последующим, то можно без труда заметить, что первое и последнее из них связываются друг с другом, хотя мы и не можем с такой же легкостью выводить промежуточные положения из крайних. Следовательно, теперь, если мы рассматриваем их взаимную зависимость, нигде не прерывая порядка, чтобы сделать из этого вывод, в какой зависимости находится последнее положение от первого, такое рассмотрение будет прямым. Если же, наоборот, зная, что первое и последнее находятся между собой в некоторой связи, мы пожелаем сделать вывод, каковы промежуточные, соединяющие их положения, то мы будем идти косвенным и превратным для порядка путем. Поскольку же нас интересуют здесь только неясные вопросы, в которых нужно именно при известных крайних найти без твердого порядка промежуточные, все искусство здесь должно состоять в том, чтобы, предполагая известным неизвестное, находить себе таким образом легкий и прямой путь также и для разрешения самых трудных вопросов. И нет ничего, что могло бы препятствовать неизменному успеху подобного действия, поскольку мы предположили в начале этой части, что нам известна такая зависимость неизвестного в данном вопросе от известного, которая совершенно определяет первое последним. Таким образом, если мы размышляем о тех самых вещах, которые представляются нам прежде всего, после того как мы примем это определение, то, хотя бы мы по неведению причисляли их к известным, для того чтобы постепенно выводить из них все остальные, а также и известные правильным путем так, как если бы они были неизвестными, мы исполняем все предписания этого правила. Что касается примеров того, что мы хотим здесь объяснить, а также и многих других вещей, о которых мы должны говорить в дальнейшем, то мы отложим их до правила XXIV, ибо там они будут более уместны.

Не только Декарт, но и другие представители самых различных наук используют метод познания неизвестного путем выявления его взаимосвязи с другими явлениями с позиции целостного восприятия явления. Самое простое алгебраическое выражение этого метода – уравнение. Мы просто записываем неизвестную величину наряду с известными так, чтобы путем преобразований найти, в конечном счете, неизвестное значение.

Правило XVIII

Для этой цели необходимы только четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Двумя последними из них часто здесь даже нет надобности пользоваться как во избежание ненужных усложнений, так и потому, что в дальнейшем они могут быть более легко выполнимы

Декарт полагает, что и в математике многочисленные сложные правила можно свести к нескольким исходным простым правилам. Он наглядно иллюстрирует, как можно находить искомые величины с помощью четырех действий. Сначала он показывает это алгебраически, потом геометрически.

Большое количество правил часто обусловливается невежеством ученых; вещи, которые можно свести к единому и всеобщему принципу, утрачивают свою ясность, когда их разбивают по многим специальным правилам. Вот почему все те наши действия, которыми надлежит пользоваться при исследовании вопросов, т. е. именно при выведении одних величин из других данных, мы сводим лишь к четырем главным. Что этих действий достаточно, мы увидим из самого их объяснения.

А именно, когда мы узнаем какую-либо величину благодаря тому, что нам даны части, составляющие ее, то мы пользуемся сложением. Когда мы узнаем часть благодаря тому, что нам дано целое и превышение целого над этой частью, то такое действие будет вычитанием; и нет иных способов выведения одной величины из других величин, взятых в абсолютном смысле, в которых она содержится как бы то ни было. Но если какая-либо величина находится между другими, от которых она совершенно отлична и которые ее совсем не содержат в себе, то ее необходимо поставить в какое-либо отношение к последним. Это отношение, или соотношение, если его нужно отыскивать прямо, можно найти путем умножения, а если его нужно отыскивать косвенно, то путем деления.

Для лучшего уразумения этих двух пунктов нужно понять, что единица, о которой мы уже говорили, является здесь принципом, или основой, всех отношений и что в ряде последовательно пропорциональных величин она занимает первую ступень, данные величины – вторую, искомые – третью, четвертую и все остальные, если отношение оказывается прямым; если же оно косвенное, то искомая величина занимает вторую ступень и другие промежуточные, а данная величина – последнюю.

Ибо когда говорится, что единица относится к а или к данному числу 5 так же, как b или данное число 7 относится к искомому ab или 35, то а и b в этом случае находятся на второй ступени, произведение же их ab – на третьей. То же самое, когда добавляют: единица относится к с или 9 так же, как ab или 35 относятся к искомому abc или 315, в этом случае abc находятся на четвертой ступени, будучи произведением двойного умножения ab на с, величин, находящихся на второй ступени, и т. д. Подобно этому: как единица относится к а < или > 5, так же и а < или > 5 относится к а² или 25; или еще: как единица относится к а <или> 5, так же и а² <или> 25 относится к а³ <или> 125; или, наконец: как единица относится к а или 5, так же и а³ или 125 относится к а⁴, т. е. к 625, и т. д. Конечно, действие умножения производится одинаково, умножается ли величина на самое себя или на какую-нибудь совсем другую величину.

В случае же, если говорится: как единица относится к а или 5 к данному делителю, так же В или 7, искомое число, относится к ab или 35, данному делимому, то здесь порядок смешанный и непрямой, вследствие чего искомое В не может быть найдено иначе, как путем деления данного ab на а – тоже данное. То же самое, когда говорится: как единица относится к А или искомому числу 5, так же и А или 5 искомое относится к а² или 25 данному. Или еще: как единица относится к А < или > 5 искомому, так же и А² или 25 искомое относится к а³ или 125 данному и т. д. Мы объединяем все эти действия под названием деления, хотя и нужно заметить, что два последних вида заключают в себе больше трудностей, чем первые, потому что в них искомая величина встречается чаще и, следовательно, имеет больше отношений. Смысл этих примеров тот же самый, как если бы говорилось, что нужно извлечь квадратный корень из а² (или) 25 или кубичный из а³ или 125 и т. д. Такой способ выражения, употребительный среди счетчиков, является равнозначным – пользуясь также термином геометров – выражением, обозначающим действие отыскания средней пропорциональной между наперед взятой величиной, называемой нами единицей, и той, которая обозначается а², или двух среднепропорциональных между единицей и а³ и т. д.

Отсюда нетрудно сделать вывод, почему эти два действия удовлетворяют в отыскании любых величин, которые должны выводиться из других величин по тому или иному отношению. Уразумев это, нам остается объяснить, как эти действия должны быть представлены рассмотрению воображения и как их нужно сделать наглядными, для того чтобы затем объяснить их употребление или обращение с ними.

Если нам нужно произвести сложение или вычитание, то мы будем представлять предмет в виде линии или величины, обладающей протяжением, в которой нужно рассматривать только длину, так как если нужно прибавить линию а к линии b ,

то мы соединим их друг с другом таким образом: аb

и получим сумму c.

Если же, наоборот, нужно вычесть меньшую величину из большей, т. е.

b из а ,

то мы наложим их одну на другую таким образом:

и получим часть большей, которая не может быть прикрыта меньшей, а именно: .

В умножении мы будем представлять данные величины тоже в виде линий, но вообразим, что они составляют прямоугольник. Если мы умножаем а  на b , то поставим их в виде прямого угла

и получим прямоугольник

С другой стороны, если мы хотим умножить аb на с

то аb нужно представлять в виде такой же линии аb

и мы получим для аbс:

Наконец, при делении, где дан делитель, мы будем воображать делимую величину в виде прямоугольника, одна сторона которого делитель, а другая – частное. Так, например, если прямоугольник аb требуется разделить на а,

то нужно стереть на нем ширину а, и в качестве частного останется b

Или, наоборот, если тот же прямоугольник требуется разделить на b, то нужно убрать высоту b и получится частное а:

Что касается таких делений, в которых делитель не дан, а только обозначен некоторым отношением, как, например, когда говорят, что нужно извлечь квадратный корень или кубический корень и т. д., то заметим, что в этих случаях делитель и все остальные члены нужно представлять как линии в ряде последовательных пропорций, из которых первой является единица и последней – делимая величина. Как нужно отыскивать все средние пропорциональные величины между делимым и единицей, будет показано в своем месте. Достаточно уже заметить, что мы еще не считаем поконченным здесь с этими действиями, так как они могут производиться воображением посредством непрямого и обратного действия, а мы говорим здесь только о вопросах, исследуемых прямо.

Что касается прочих действий, то они легко производятся при том способе их понимания, о котором мы говорили. Однако нужно объяснить, как должно подготовлять их термины, ибо хотя мы и свободны, впервые исследуя какую-либо трудность, представлять ее термины в виде линий или прямоугольников и не применять к ним никаких других фигур, как об этом говорилось уже в правиле XIV, но тем не менее в процессе действия часто бывают случаи, когда какой-либо прямоугольник, после того как он был произведен умножением двух линий, вскоре для другого действия требуется понимать как линию; или еще, когда один и тот же прямоугольник либо линию, произведенные сложением либо вычитанием, вскоре оказывается нужным понимать как другой прямоугольник, обозначенный вверху линией, которая должна его разделить.

Следовательно, здесь важно объяснить, как всякий прямоугольник может быть преобразован в линию или, наоборот, линия или также прямоугольник – в другой прямоугольник с обозначенной стороной. Это легко могут делать геометры, лишь бы они замечали, что всякий раз, когда мы, как здесь, составляем из линий какой-либо прямоугольник, мы всегда разумеем прямоугольник, одна сторона которого является длиной, принятой нами за единицу. Таким образом, вся эта задача сводится к положению: по данному прямоугольнику построить другой, равный ему, на данной стороне.

Хотя это действие привычно даже для тех, кто только что начинает заниматься геометрией, тем не менее я хочу его объяснить, чтобы меня не упрекали в каких-либо упущениях.

Наглядный смысл математических операций, как его излагает Декарт, может показаться тривиальным. Но именно эта тривиальность важна для Декарта. Он хочет показать, что все наши сложные рассуждения можно привести к такой простой форме, которая может показаться настолько тривиальной, что не оставит места для сомнений и заблуждений. Этой цели служит и простая математическая символика, которая для современного человека привычна, но для первых читателей декартова трактата была новой.