Правило XV

Большей частью также полезно чертить эти фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того чтобы таким образом было легче сосредоточивать внимание нашего ума

Декарт предлагает использовать простые геометрические символы для наглядного представления принципов мышления. Метод сравнения в познании применим, если мы находим общее в вещах, например их единичность. Единицу геометрически можно выразить квадратом, точкой или линией в зависимости от того, сколько измерений мы хотим учесть. Если в качестве общей основы мы усматриваем двоичность или два параметра, то и для них можно найти соответствующее геометрическое выражение.

Как нужно их чертить, чтобы в тот момент, когда они находятся перед нашими глазами, их образы отчетливее представлялись в нашем воображении, очевидно само собой. Так, во-первых, единицу мы будем изображать тремя способами, а именно: в виде квадрата , если мы будем рассматривать ее как имеющую длину и ширину, в виде линии , если мы будем рассматривать ее только как имеющую длину, и, наконец, в виде точки , если мы будем рассматривать ее только как нечто, из чего составляется множество. Но как бы мы ее ни изображали и ни рассматривали, мы будем всегда мыслить ее как нечто, обладающее в полном смысле этого слова протяжением и бесконечным количеством измерений. А для того чтобы наглядно представлять также и термины положения, когда мы имеем в них дело одновременно с двумя различными величинами, мы начертим прямоугольник, две стороны которого будут данными величинами, таким образом ; если они несоизмеримы с единицей измерения, таким образом:

или, если они соизмеримы, таким образом: , не прибавляя ничего, поскольку речь идет не о множестве единиц.

Наконец, если мы рассматриваем только одну из этих величин, мы изобразим ее в виде прямоугольника, одна сторона которого будет данной величиной, другая – единицей измерения, таким образом: ; всякий раз, когда одна и та же линия должна быть сравниваема с некоторой поверхностью; или в виде одной только длины, таким образом: , если она рассматривается как несоизмеримая длина; или таким образом: , когда она является множеством.

К геометрической наглядности в математике стремился еще Пифагор. Однако он понимал числа скорее не математически, а философски – как реальные сущности, и потому мог наделять их любыми качествами. Для Декарта, в отличие от Пифагора, математика – учение не о сущностях мира, а о форме мышления. При этом Декарт понимает математику все-таки достаточно широко, чтобы считать, что с помощью математической символики можно выразить не только собственно математическое мышление, но и базовые принципы мышления вообще, которые лежат в основе всякого познания.

Правило XVI

Что же касается измерений, не требующих в данный момент внимания нашего ума, хотя и необходимых для заключения, то лучше изображать их в виде сокращенных знаков, чем полных фигур. Таким образом, именно память не будет нам изменять и вместе с тем мысль не будет разбрасываться, чтобы удержать в себе эти измерения, в то время как она занята выведением других

Декарт стремится к простоте даже в математической символизации мысли и предлагает без необходимости не перегружать ее выражение геометрическими символами. Ему удалось разработать систему математической символики, которой мы пользуемся до сих пор. Но, как видно дальше из текста, он сам применяет ее для выражения формы мысли вообще.

Впрочем, как мы уже говорили, если из тех бесчисленных измерений, которые может рисовать наше воображение, нужно рассматривать не более двух одновременно одним взглядом или одним актом интуиции, то важно сохранять в памяти все остальные таким образом, чтобы они легко представлялись всякий раз, когда в них будет нужда. По-видимому, для этой цели природа и создала память. Но так как эта способность часто страдает погрешностями, то, для того чтобы мы не были вынуждены отрывать часть нашего внимания для ее освежения в то время, как мы заняты другими мыслями, искусство весьма кстати изобрело применение письменности. Благодаря этому изобретению мы ничего не возлагаем на память, но, свободно и целиком посвятив свое воображение идеям настоящего момента, изображаем на бумаге все, что требуется сохранить, посредством чрезвычайно простых фигур, дабы, рассмотрев каждую вещь в отдельности по правилу IX, мы могли, по правилу XI обозреть их все быстрым движением мысли и охватить одновременно наибольшее их число актом интуиции.

Декарт выработал современный вид алгебраического языка. Именно он предложил использовать для известных величин начальные буквы алфавита: а, b, с, а для неизвестных – последние: x, y, z. Также он сформировал современную запись степеней: 2а³ с показателем степени справа над переменной.

Следовательно, все, что для разрешения трудности надлежит рассматривать как единицу, мы будем обозначать одним только знаком, который можно изображать ad libitum, но для большего удобства мы воспользуемся строчными буквами а, b, с и т. д., чтобы выражать уже известные величины, и прописными A, В, С для выражения неизвестных величин. Часто мы будем ставить цифры 1,2,3,4 и т. д. либо впереди этих знаков для указания числа величин, либо позади, для того чтобы обозначить количество отношений, которые будут в них мыслиться. Так, например, если я записываю: 2а³, то это одно и то же, как если бы я говорил: удвоенная величина, обозначаемая буквой а, содержащая 3 отношения. Таким способом мы не только сократим многие выражения, но, что особенно важно, будем выражать термины предложений в столь чистом и простом виде, что, не упуская ничего полезного, мы в то же время не допустим в них ничего излишнего, что напрасно занимало бы ум в то время, когда ему нужно вмещать одновременно множество объектов.

Для того чтобы все это было более понятно, обратим внимание прежде всего на то, что счетчики имеют обыкновение обозначать отдельные величины многими единицами или каким-либо числом; мы же здесь отвлечемся от чисел не менее, чем несколько ранее от геометрических фигур или от каких-либо других вещей. Мы делаем это не только во избежание скуки от длинных и ненужных вычислений, но в особенности еще и для того, чтобы те части предмета, которые составляют сущность трудности, были всегда отчетливо видны и не скрывались за бесполезными числами. Так, например, если нужно найти основание прямоугольного треугольника, данные катеты которого выражаются в числах 9 и 12, то счетчик скажет, что оно равно , или 15; мы же, положив вместо 9 и 12 а и b, найдем, что основание равно , и эти два члена а² и b², которые были скрыты в числе, останутся в нашей формуле раздельными.

Современное обозначение знака корня (√) впервые употребил в 1525 году немецкий математик Кристоф Рудольф. Этот символ происходит от стилизованной первой буквы слова radix (корень). Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала, но позже ее вводит Декарт вместо скобок, и эта черта вскоре сливается со знаком корня.

Нужно также обратить внимание на то, что под числом отношений необходимо разуметь пропорции, идущие друг за другом в непрерывном порядке, пропорции, которые в обыкновенной алгебре стараются выражать многими измерениями и многими фигурами. Первую из них называют корнем, вторую – квадратом, третью – кубом, четвертую – биквадратом и т. д. Эти термины, признаюсь, очень долго вводили меня в заблуждение, ибо мне казалось, что для моего воображения не может быть ничего более ясного, чем линия и квадрат, чем куб и другие фигуры, придуманные наподобие этих. Хотя с помощью их я разрешил немало проблем, но после многих опытов я наконец убедился, что такой способ понимания не помог мне найти ничего, что я не сумел бы понять много легче и много яснее и без него, и нужно совершенно отбросить все эти выражения, чтобы они не затемняли наших понятий, ибо та самая величина, которая называется кубом или биквадратом, не может между тем по предшествующему правилу быть представлена в воображении иначе как в виде линии или в виде поверхности. Поэтому нужно еще особенно отметить, что корень, квадрат, куб и пр. являются не чем иным, как последовательно пропорциональными величинами, которым всегда предшествует наперед заданная единица, уже упомянутая нами выше. Первая пропорциональная величина стоит непосредственно и в одном отношении к этой единице, вторая – через посредство первой, а следовательно, связана с ней двумя отношениями, третья – через посредство первой и второй и связана с ней тремя отношениями и т. д. Поэтому мы будем теперь называть первой пропорциональной ту величину, которая в алгебре называется корнем, второй пропорциональной – ту, которая называется квадратом, и т. д.

И наконец, нужно обратить внимание на то, что, хотя мы здесь и абстрагируем термины трудности от чисел, для того чтобы исследовать ее природу, но она, однако, часто оказывается легче разрешимой с помощью данных чисел, чем без них. Это происходит при двойном применении чисел, ибо, как мы видели выше, именно одни и те же числа объясняют то порядок, то меру. Поэтому, после того как мы пытались разрешить трудность, выразив ее в общих терминах, нужно снова свести ее на эти числа, для того чтобы узнать, не могут ли они дать нам более простого решения. Например, найдя, что основание прямоугольного треугольника с катетами а и b равно , где вместо а² нужно взять 81 и вместо b² – 144, числа, дающие в сумме число 225, корень которого (т. е. средняя пропорциональная между единицей и 225) равен 15, мы из этого узнаем, что основание 15 соизмеримо со сторонами 9 и 12, но не потому вообще, что оно является основанием такого треугольника, отношение сторон которого равно 3 к 4. Все это мы различаем потому, что стремимся достичь очевидного и отчетливого познания вещей, счетчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только в этом и заключается наука.

Заметим теперь вообще, что не нужно вверять памяти вещи, не требующие нашего постоянного внимания, если мы можем закреплять их на бумаге, во избежание того, чтобы бесполезный труд их припоминания не отвлекал наше мышление от того объекта, которым оно занято в данный момент. Кроме того, нужно составить таблицу, чтобы внести в нее сначала условия задачи в том виде, как они представляются с первого взгляда, затем – способ их абстрагирования и фигуры, посредством которых они обозначаются, чтобы, после того как мы найдем решение в самих знаках, мы могли легко и без всякого участия памяти применить его к частному предмету, с которым мы будем иметь дело. Нельзя именно абстрагировать какую-либо вещь иначе, нежели от какой-либо другой, менее общей. Это я запишу, следовательно, так: в прямоугольном треугольнике АВС нужно найти основание АС. Затем я отвлекаюсь от особенностей задачи, для того чтобы найти вообще величину основания по величине сторон; затем вместо стороны АВ, которая равна 9, я беру а, вместо стороны ВС, которая равна 12, я беру b, и т. д.

Нужно заметить, что мы будем пользоваться этими четырьмя правилами в третьей части настоящего трактата, где дадим им несколько более широкое применение, нежели это было объяснено здесь, как будет показано в своем месте.

Математика для Декарта не сводится к арифметическому исчислению, но также выражает и пропорции. Это означает, что математически выражается не только величина, но и порядок, который можно представить и наглядно геометрически, и абстрактно в краткой алгебраической форме. В свою очередь, алгебраическая форма выражения мысли позволяет находить решения задач, не перегружая память лишней информацией.