2. Особенности вращающегося объекта

Момент импульса

Определение

Момент силы по отношению к оси выражает ее способность заставить этот предмет вращаться вокруг данной оси: он выражается как Fl sin α.

Между тем F^→; = ma^→;: сила меняет mν^→; (где ν^→; – вектор скорости, а m – масса). Таким образом, момент силы меняет mνl sin α (l – расстояние до оси вращения, а α представляет собой угол скорости по отношению к прямой, соединяющей ось и объект (➙ рис. 6.6).

Величина mνl sin α называется моментом импульса объекта. Он связан со скоростью, с которой объект вращается вокруг заданной оси. Если α = 0, скорость направлена к оси или в противоположную сторону: то есть объект будет приближаться к оси или удаляться от нее, не вращаясь вокруг нее. Момент импульса в этом случае равен нулю.

И напротив, если α = 90°, скорость перпендикулярна направлению оси, что означает, что объект «изгибается»: момент импульса в данном случае максимальный и выражается просто mνl. В частности, это происходит, когда объект описывает круг вокруг оси.

Рис. 6.6 – Момент импульса

Если α = 0, объект удаляется от оси, не вращаясь вокруг нее: момент импульса равен нулю. Если α = 90°, движение, напротив, представляет вращение вокруг оси: момент импульса максимальный.

Последствия

Как и момент силы, понятие момента импульса позволяет понять некоторые очень важные явления.

Представим фигуриста на льду: он «псевдоизолирован», то есть внешние силы компенсируют друг друга (с одной стороны вес, с другой – реакция опоры). Существуют также внутренние электростатические силы, которые обеспечивают сцепление атомов фигуриста. Но принцип взаимодействия говорит нам о том, что эти силы противопоставлены друг другу как две против двух и приложены к одной оси: то есть внутренние силы никогда не создают момента.

В итоге общий момент сил, действующих на фигуриста, равен нулю. Между тем этот момент заставляет измениться момент импульса, а это значит, что момент импульса фигуриста остается неизменным.

Предположим, что фигурист вращается на месте, раскинув руки в стороны: поскольку его момент импульса не меняется, скорость его вращения останется постоянной, если он будет держать руки раскинутыми. Ничего удивительного: не следует забывать, что мы не учитываем трение.

Но предположим, что в какой-то момент фигурист опустит руки: расстояние l между его ладонями на оси вращения уменьшилось. Чтобы момент импульса mνl сохранился, нужно, чтобы увеличилась скорость.

В конечном счете простой факт того, что фигурист опустил руки, заставил его вращаться быстрее. Чтобы упростить пример, предположим, что некая масса (как кисть руки фигуриста) наполовину приблизилась к оси вращения: расстояние до оси сократилось вдвое. В этом случае сохранение mνl требует, чтобы скорость массы была помножена на два (➙ рис. 6.7).

Но это еще не все: поскольку масса приблизилась к оси, ее путь вокруг оси будет вдвое короче (она пройдет круг меньшего диаметра). Таким образом, не только удвоилась скорость, но и дистанция кругового движения вдвое уменьшилась. В итоге массе понадобится в четыре раза меньше времени, чтобы сделать один оборот!

Если масса совершала один оборот в секунду, теперь за секунду она совершает четыре оборота. Случай с фигуристом сложнее, потому что не вся его масса сосредоточена в руках: то есть он не будет вращаться вчетверо быстрее. Тем не менее скорость его вращения вокруг своей оси сильно возрастет: именно это мы видим, когда наблюдаем за вращением фигуристов.

На этом этапе может возникнуть вопрос: за счет чего же увеличивается скорость, если не влияет никакая равнодействующая внутренняя или внешняя сила?

На самом деле все части системы остаются неподвижными не потому, что равнодействующая сила равна нулю. Вспомните пример двух лежащих рядом шаров с положительными зарядами (➙ рис. 6.1): равнодействующая сила была равна нулю, потому что две отталкивающие электростатические силы были противопоставлены друг другу. Однако с течением времени скорость шаров увеличивалась.

Рис. 6.7 – Сохранение момента импульса

В данном опыте мы привязали предмет на нитку и заставили его вращаться вокруг оси. В определенный момент мы обвязываем нитку вокруг оси так, чтобы предмет приблизился к оси: он начинает крутиться быстрее.

Если длина нитки станет вдвое короче, скорость предмета вдвое возрастет. То есть он будет делать в четыре раза больше оборотов в секунду, потому что расстояние, которое ему приходится проходить, вдвое уменьшилось.

Отметим также, что на рис. 6.7 натяжение нити позволило подвинуть массу к оси вращения: именно оно вызвало увеличение скорости, но это увеличение направлено перпендикулярно силе (перпендикулярно нити). Этот малоинтуитивный вывод мы будем встречать на всем протяжении этой главы. Увеличение скорости не всегда происходит в направлении, указанном силой… Другие примеры помогут лучше понять причину этого.

А теперь о Солнечной системе

Формирование Солнечной системы

Совершим большой прыжок в прошлое и поразмышляем о происхождении Солнечной системы 4,6 млрд лет назад. В те времена она представляла собой лишь скопление газа и пыли, которых в нашей галактике множество. Это «облако» из пыли и газа медленно перемещалось внутри самого себя. Однажды из-за действия гравитации облако начало рассеиваться (возможно, процесс начался после взрыва соседней сверхновой звезды). В процессе этого массы газа и пыли, находившиеся далеко от оси вращения, сблизились: благодаря сохранению момента импульса их скорость значительно возросла (так же как увеличивается скорость вращения фигуриста, когда он прижимает к себе руки). Другими словами, сгущаясь, облако начало вращаться быстрее и быстрее.

На рис. 6.8 отображено, какие силы действовали на облако: гравитация, направленная к центру облака, и центробежная сила, возникшая из-за вращения, стремящаяся отдалить пылинки от центра вращения. Мы видим, что равнодействующая этих сил направлена к срединной плоскости облака, перпендикулярной оси вращения.

Таким образом, по мере того, как облако сгущалось, с одной стороны, его скорость увеличивалась, с другой – все газы и пыль сосредотачивались на срединной плоскости. Именно здесь пылинки спрессовались, образуя планеты, в то время как большая часть массы сконцентрировалась в центре облака, образовав Солнце.

Это объясняет, что сегодня все планеты вращаются вокруг Солнца в одну сторону на одной плоскости, которую называют «плоскостью эклиптики». Точно так же все главные естественные спутники в Солнечной системе вращаются в одну сторону вокруг планет рядом с плоскостью эклиптики.

Рис. 6.8 – Превращение сферического облака в диск

СИЛА ЦИКЛОНОВ

Мы видели, что в земной атмосфере ветра имеют тенденцию переходить от антициклонов к циклонам, вращаясь вокруг них благодаря силе Кориолиса, то есть воздух, вращаясь, стекается к циклону. Здесь мы имеем дело с той же ситуацией, как в случае с вращающимся облаком, которое сгущается.

Сохранение момента импульса подразумевает, что чем больше воздух приближается к оси вращения (центру циклона), тем быстрее он вращается вокруг этой оси: чем ближе к центру циклона, тем ветер все неистовей. Это объясняет, почему в наших умеренных широтах циклоны часто сопровождаются сильными ветрами. В тропических районах циклоны еще более мощные, то есть это явление выражено еще ярче: ветра вращаются с очень высокой скоростью вокруг центра циклона, что образует так называемый глаз циклона.

Наконец, мы можем понять, почему вода, вытекающая через сливное отверстие умывальника, начинает вращаться. Здесь также происходит приток материи к определенной точке (в данном случае к сливному отверстию). Если вначале есть хотя бы малое волнение, движение вращения очень быстро усилится из-за сохранения момента импульса по мере того, как вода будет приближаться к сливному отверстию. В конечном итоге мы видим водоворот, чья скорость гораздо выше вблизи от слива.

Наконец, если бы скорость вращения облака не увеличилась во время сгущения, не возникло бы центробежной силы, и вся материя сконцентрировалась бы в Солнце из-за гравитации: планет вокруг не возникло бы. Нашим существованием мы обязаны сохранению момента импульса.

Это рассуждение поясняет и то, почему галактики в той или иной степени имеют форму диска (большинство звезд вращаются на одной плоскости).

Продолжительность времен года

Планеты вращаются вокруг Солнца по почти круговой траектории. На самом деле если мы присмотримся получше, то заметим, что форма их траектории – эллипс (➙ рис. 6.9). Можно продемонстрировать, как гравитация формирует эллиптическую траекторию, но необходимые вычисления выходят за рамки этой книги. Рассмотрим лучше последствия таких траекторий.

Сравним момент, когда планета наиболее удалена от Солнца (он называется «афелий»), с моментом, когда она к нему ближе всего (это «перигелий»). Поскольку сила притяжения направлена к Солнцу, ее момент по отношению к Солнцу равен нулю, то есть момент импульса планеты по отношению к Солнцу сохраняется.

На афелии момент импульса выражается mν_a l_a (где m – масса планеты, ν_a– ее скорость, а l_a – расстояние до Солнца на афелии). То же самое с перигелием, он выражается mν_p l_p (где ν_p и l_p соответствуют скорости и расстоянию на перигелии).

Поскольку оба момента равны, из этого следует, что соотношение скоростей между афелием и перигелием обратно пропорционально расстояниям до Солнца: . То есть планета движется гораздо быстрее, когда она ближе к Солнцу, чем когда она дальше от него. Более того, когда планета ближе к Солнцу, она совершает более короткий путь, чтобы сделать оборот вокруг него. То есть планета движется быстрее и преодолевает меньшее расстояние, когда она ближе к Солнцу: ей нужно гораздо меньше времени, чтобы пройти 10° вокруг Солнца.

Последствия этого хорошо видны на Земле. Земля находится ближе всего к Солнцу, когда в Северном полушарии зима (Земля наклонена так, что ее Южное полушарие повернуто к Солнцу). То есть зимой она вращается вокруг Солнца быстрее, и потому зима в Северном полушарии короче лета!

Рис. 6.9 – Эллиптическая траектория планет

Из-за действия гравитации планеты ускоряют движение, когда приближаются к Солнцу, и замедляют его, когда от него удаляются. То есть планеты вращаются быстрее, когда они ближе к Солнцу. Это явление гораздо ярче выражено у комет, движущихся по эллиптической траектории.

Отметим, что на самом деле траектория планет гораздо больше похожа на окружность, как показано на рисунке.

Вот почему в феврале 28 дней, а не 30: два дня в этот период исчезают. С другой стороны, это объясняет, почему осеннее равноденствие наступает только 23 сентября, тогда как весеннее равноденствие начинается 21 марта, – это дает два лишних дня лета!

Таким образом, в Северном полушарии зима длится почти на четыре дня меньше, чем лето, а это важно (в Южном полушарии все происходит наоборот).

Мимоходом заметим, что поскольку Земля зимой ближе к Солнцу Северным полушарием, а летом – Южным, то в Южном полушарии времена года должны были быть более ярко выражены (более жаркое лето и более холодная зима). В действительности присутствие в Южном полушарии океанических масс играет большую роль в смягчении климата.

Движение планет вокруг Солнца также помогает лучше понять некоторые аспекты сохранения момента импульса.

Увеличение скорости движения планеты при ее приближении к Солнцу очевидно: его вызывает гравитация. Но из-за инертности планеты вектор этого увеличения скорости перпендикулярен направлению к Солнцу (➙ рис. 6.9): сравнивая афелий и перигелий, мы замечаем, что гравитация не вызывает никакого увеличения скорости в направлении к Солнцу, несмотря на то что она направлена в его сторону.

Мы видим, что радиальная сила (направленная к оси вращения) вызывает увеличение скорости в перпендикулярном направлении (ускорение вращения). Мы уже заметили это на примере с фигуристом, но пример с планетами помогает лучше понять, как возникает это явление.

Далее в этой главе мы придем к тем же выводам, когда будем рассматривать гироскопический эффект.

Неизбежное отдаление Луны

Теперь рассмотрим другое проявление сохранения момента импульса на примере системы Земля – Луна. Мы уже видели, что Луна действует на Землю с помощью приливных сил, которые, в частности, проявляются в океанах. Мы также видели, что это приводит к значительным последствиям: замедлению вращения Земли вокруг своей оси.

Замедляя вращение, Земля утрачивает момент импульса (в дальнейшем мы будем говорить о моменте относительно центра Земли). Однако Солнце суммарно не оказывает никакой силы на систему Земля – Луна, то есть момент импульса системы Земля – Луна должен сохраняться.

На практике Луна, замедляя вращение Земли, понемногу удаляется от нее: так ее момент импульса понемногу нарастает, а у Земли уменьшается. Таким образом, скорость Луны ν уменьшается, а ее расстояние до Земли l увеличивается. В конечном итоге момент импульса ее оборота mνl (где l – масса Луны) все-таки увеличивается.

То есть Луна, рожденная от столкновения некоего тела с Землей, в самом начале была гораздо ближе к Земле: сегодня она отдаляется по нескольку сантиметров в год. Через 10 миллионов лет Луна отдалится на несколько сотен километров. Во времена динозавров Луна на небе выглядела чуть больше.

Гироскопический эффект

Неустойчивое равновесие юлы без вращения

Поставим юлу вертикально в точку О, не вращая ее. Если мы ее отпустим, она упадет набок.

Рис. 6.10 – Неустойчивое равновесие юлы без вращения

На самом деле, если мы поставим ее абсолютно прямо, юла сохранит равновесие. В этом положении действуют две силы, направленные по вертикальной прямой через точку О: они не создают никакого момента к юле относительно О.

Но на практике поставить юлу строго вертикально невозможно: она всегда будет незаметно наклонена в сторону. На рис. 6.10 мы видим, что вес юлы уже не направлен вдоль вертикальной оси, проходящей через точку О, поскольку масса юлы смещена относительно этой оси. В результате вес вызывает момент силы относительно точки О, в то время как реакция поверхности по-прежнему не вызывает никакой силы: вес старается заставить юлу вращаться, то есть заставить ее упасть. В этом случае говорят, что вертикальная юла находится в неустойчивом равновесии.

Происхождение гироскопического эффекта

В подобном опыте нет ничего удивительного! Но каждый знает, что, когда мы заставляем юлу быстро вращаться вокруг своей оси, она стоит вертикально и не падает. Однако на нее по-прежнему действуют только две силы: реакция поверхности, которая не вызывает никакого момента силы, и вес. Так почему же вес больше не может заставить юлу упасть, если он действует так же, как на рис. 6.10?

Чтобы это понять, временно обратимся к примеру вертящегося колеса, которое мы попытаемся заставить вращаться на острие, а затем вернемся к юле.

Предположим, что мы прикладываем противоположно направленные силы с двух сторон колеса, как видно на рис. 6.11: эти силы производят момент, который стремится заставить колесо вращаться. На первый взгляд кажется, что ось колеса должна отклониться влево (➙ рис. 6.11.а), на практике это происходит, если колесо не крутится. Но если колесо вращается, результат этого действия совершенно иной. Возьмем небольшой сегмент колеса, первоначально расположенный в точке А (➙ рис. 6.11.b): из-за приложенной силы этот сегмент колеса поднимется кверху по пути к точке В. Но сила, направленная вверх, продолжает действовать и за пределами точки В до самой точки С, то есть отклонение вверх будет максимальным в точке С, а не в точке В. Только после точки С действие силы меняет направление вниз, то есть сегмент опустится, достигнув самой низкой точки в А.

В конечном итоге мы видим, что ось качнулась в нашу сторону (точка С самая высокая, точка А самая низкая), а не влево. На первый взгляд такой результат кажется нелогичным, но мы видим, что понять это будет легко, когда мы представим себя на месте колеса и просто проанализируем действие этой силы.

Эффект, которого мы добились, называется гироскопическим. Он предполагает, что вращающийся объект, подверженный действию двух сил (то есть «моменту»), вращается вокруг своей оси в направлении перпендикулярном действию этих сил.

Рис. 6.11 – Вращение колеса, подверженного действию двух сил

Влияние на движение юлы

Возьмем опять пример с юлой и предположим, что она слегка наклонена относительно вертикальной оси (➙ рис. 6.12). Вес выступает моментом силы, который должен был бы, по идее, заставить ось юлы качнуться влево, пока она не упадет на землю. То есть ситуация идентична примеру с колесом, которую мы рассмотрели выше (➙ рис. 6.11). Мы можем из этого заключить, что вес стремится качнуть юлу в нашу сторону, а не вниз: другими словами, вес больше не стремится опрокинуть юлу! Напротив, наклоняясь в нашу сторону, юла начинает двигаться так, что ее ось описывает конус вокруг вертикали: такое движение называется прецессией.

Мы видим, что угол между осью юлы и вертикалью остается неизменным: если угол изначально очень маленький (юла почти вертикальна), он таким и останется. Таким образом, вертикальная юла останется вертикальной, несмотря на действие веса.

Рис. 6.12 – Явление прецессии

Момент, который совершает вес, заставляет юлу качнуться в нашу сторону из-за гироскопического эффекта. Также, если ось юлы направлена к нам, вес стремится заставить ее качнуться вправо. Таким образом, юла описывает круг по горизонтальной плоскости, благодаря чему ее ось рисует конус вокруг вертикали.

Применение гироскопического эффекта

В конечном итоге «гироскопический эффект», который объясняет устойчивость вращающейся юлы, используется в том числе в том, что мы называем гироскопами. Когда они вращаются вокруг своей оси, ось их вращения направлена в определенную сторону: благодаря гироскопическому эффекту изменить наклон этой оси очень трудно, подобно тому как вес не может наклонить юлу.

Предположим, что мы поместили гироскоп в искусственный спутник таким образом, чтобы ось его вращения указывала на известную звезду. Спутник может двигаться как угодно, благодаря гироскопическому эффекту направление оси вращения гироскопа не изменится.

В конечном итоге, измеряя наклон гироскопа по отношению к спутнику (что довольно легко), можно вычислить наклон спутника по отношению к известной звезде. Иными словами, нам известно направление спутника в любой момент. Благодаря этому гироскопы широко используются для контроля поведения спутников.

Рис. 6.13 – Юла в равновесии над пустотой

Ситуация такая же, как и на рис. 6.12, только здесь юла лежит горизонтально. Вес не стремится заставить юлу упасть, но старается заставить ее вращаться, сохраняя горизонтальное положение (прецессия).

Таким образом, масса юлы вращается вокруг своей оси, а кончик острия описывает круг. Следует подчеркнуть, что стержень не скатывается с опоры благодаря вращению юлы: предполагается, что опора лишена всякой шероховатости, которая может спровоцировать падение.

С другой стороны, если бы мы зафиксировали стержень, круг описывала бы масса юлы, как на рис. 6.12, так, что смогла бы вращаться.

Последний «волшебный» опыт

В предыдущих примерах мы рассматривали юлу мало отклоненную от вертикали. А теперь предположим, что юла лежит горизонтально на высокой подставке таким образом, что только кончик ее острия касается опоры (➙ рис. 6.13.а): то есть юла подвешена над пустотой. Если юла не вращается, само собой разумеется, что вес стремится заставить ее упасть.

Но если юла вращается, вес стремится увлечь ее не вниз, а вдоль горизонтальной плоскости (➙ рис. 6.13.b). Другими словами, юла вращается вокруг своей оси и не падает! Реакции опоры на конце острия достаточно, чтобы удерживать юлу в подвешенном состоянии!

В конце концов, если этот опыт кажется нам таким волшебным, то потому что нам, как когда-то Аристотелю, хочется связать воедино силу и скорость: таким образом, вес, направленный вниз, логично объединить с движением вниз. В действительности сила вызывает ускорение, а оно не всегда направлено в сторону движения (например, «нормальное» ускорение никак не влияет на величину скорости).

Рис. 6.11, без сомнения, дает наилучший наглядный пример ограниченности нашей интуиции.

ПОЧЕМУ ВЕЛОСИПЕД И МОТОЦИКЛ НЕ ПАДАЮТ ПРИ ЕЗДЕ?

Каждый знает, что неподвижный велосипед падает на бок, тогда как едущий велосипед удерживает равновесие. Та же история и с мотоциклом.

Начнем с мотоцикла: поскольку он никогда не бывает идеально вертикален, возникает момент веса, который стремится заставить мотоцикл упасть вправо или влево.

Возьмем колесо и представим, что вес стремится заставить его упасть вправо. Если колесо вращается, гироскопический эффект не дает ему упасть, однако колесо, оставаясь вертикальным, клонится вправо (колесо наклоняется, но в направлении, перпендикулярном интуитивному).

Оно увлекает за собой руль, который поворачивает вправо, то есть мотоцикл совершает поворот направо. Однако центробежная сила направлена за пределы окружности поворота, то есть она направлена влево, в то время как вес тянет мотоцикл вправо. В конечном итоге мотоцикл сможет сохранить равновесие, несмотря на действие веса, благодаря центробежной силе.

Этот довольно сложный феномен, объясняющий равновесие мотоцикла в движении, должен был бы распространяться и на велосипед. Но у велосипеда скорость вращения колес слишком слаба, чтобы гироскопический эффект сыграл значительную роль. Почему же в таком случае велосипед во время движения остается в равновесии?

А все зависит от нахождения центра тяжести руля, чья основная масса сосредоточена впереди вилки колеса. Наклоните стоящий велосипед вправо: руль повернется вправо только под действием собственного веса. Это заменяет гироскопический эффект, и это действует даже при небольших скоростях.

Таким образом, велосипед, наклоняясь вправо, совершает поворот вправо из-за наклона руля: центробежная сила компенсирует действие веса и не дает велосипеду упасть, как и в случае с мотоциклом. Это объясняет равновесие велосипеда в движении.

Вы можете провести эксперимент, поместив что-то тяжелое позади вилки переднего колеса, непосредственно связанной с рулем: велосипед не сможет держать равновесие. Более того, если вы зафиксируете руль, чтобы он не крутился, вы не сможете проехать и двух метров, чтобы не упасть.

СЛЕДУЕТ ЗАПОМНИТЬ

• Момент силы представляет собой способность этой силы заставить объект вращаться вокруг своей оси. Он выражается как Fl sin α (где F – сила, l – расстояние до оси, а α – угол между вектором силы и направлением оси).

• Понятие момента помогает усвоить, почему длинный рычаг позволяет увеличить приложенную силу: отношение силы, приложенной к одному плечу рычага, к другому обратно пропорционально отношению расстояний от точек приложения этих сил до оси вращения.

• Момент импульса зависит от скорости вращения объекта вокруг своей оси и выражается mνl sin α (где m – масса объекта, ν – его скорость, l – расстояние до оси вращения, а α – угол между вектором скорости и направлением оси).

• Если силы не образуют никакого момента, момент импульса сохраняется. Объекты, приближенные к оси вращения, начинают вращаться быстрее. Если расстояние до оси сократить вдвое, скорость возрастет в два раза, а количество оборотов в секунду – в четыре раза.

• Закон сохранения момента импульса объясняет, почему зима в Северном полушарии короче лета, постепенное отдаление Луны, а также сильные ветра циклона.

• Гироскопический эффект подразумевает, что вращающийся объект отклоняется перпендикулярно вектору двух приложенных сил. Он объясняет равновесие мотоцикла в движении.