Счастливые числа

В Принстоне я, сидя в комнате отдыха, однажды услышал, как математики рассуждают о разложении e^x в ряд – а это 1 + х + х²/2! + х³/3!.. Каждый последующий член ряда получается умножением предыдущего на х и делением на следующее число. Например, чтобы получить член, идущий за х⁴/4, надо умножить его на х и разделить на 5. Дело нехитрое.

Меня еще в детстве очень интересовали ряды, я помногу возился с ними. Я подсчитывал, используя этот ряд, значение е и любовался тем, как быстро уменьшаются новые члены.

И в тот раз пробормотал что-то насчет того, как легко с помощью этого ряда возвести е в любую степень (достаточно лишь подставить вместо х значение степени).

– Да? – говорят они.

– А ну-ка, сколько будет е в степени 3,3? – осведомляется один шутник – по-моему, это был Джон Тьюки.

Я отвечаю:

– Это несложно. 27,11.

Но Тьюки-то понимает, что проделывать такие вычисления в уме далеко не просто:

– Послушайте! Как вы это делаете?

А еще кто-то говорит:

– Вы же знаете Фейнмана, он нас просто дурачит. Результат наверняка неверный.

Пока они ищут таблицу, я добавляю еще пару знаков после запятой.

– 27,1126, – говорю я.

Наконец таблицу нашли.

– Точно! Но как вы это проделали?

– Всего-навсего просуммировал ряд.

– С такой скоростью ни один человек ряды суммировать не может. Вы, наверное, просто знали результат. Как насчет е в степени 3?

– Послушайте, – говорю я. – Это все-таки труд, и тяжелый. Давайте так – по одной задаче за раз.

– Ну точно! Сжульничал! – радостно заключают они.

– Ладно, – говорю я. – 20,085.

Они лезут в книгу, а я добавляю еще несколько знаков. Теперь они разволновались по-настоящему, поскольку я опять оказался прав.

Смотрят они на меня – великие математики тех дней – и не могут понять, каким же образом я рассчитываю любую степень е! Один из них говорит:

– Тут явно какой-то фокус. Не может человек возводить старое доброе е в произвольную степень, скажем, 1,4.

Я отвечаю:

– Дело, конечно, трудное, но для вас – так и быть. 4,05.

Они опять лезут в таблицу, а я опять добавляю несколько знаков после запятой, говорю:

– На сегодня хватит! – и ухожу.

А произошло, собственно, следующее: я просто знал три числа – натуральный логарифм 10 (он нужен, чтобы преобразовывать логарифмы по основанию 10 в логарифмы по основанию е), равный 2,3026 (то есть знал, что е в степени 2,3 очень близко к 10), и, поскольку занимался радиоактивностью (средняя продолжительность жизни ядра, период полураспада), знал натуральный логарифм 2–0,69315 (то есть знал, что натуральный логарифм 0,7 почти равен 2). Ну и знал само число е (первую его степень) – 2,71828.

Первым, о чем они меня спросили, было е в степени 3,3, а это е в степени 2,3, умноженное на е, то есть на 27,18. И пока они пытались понять, как я это проделал, я внес поправку на избыточные 0,0026, поскольку 2,3026 немного больше, чем 2,3.

Я понимал, что на следующий вопрос ответить не смогу, что в первый раз мне просто повезло. Но тут меня попросили возвести е в степень 3, а это е в степени 2,3, умноженное на е в степени 0,7, то есть десять умноженное на два. Стало быть, двадцать с чем-то, – и пока они ломали голову над моим трюком, я соорудил поправку – 0,693.

Теперь-то я уж был точно уверен, что со следующим вопросом я не справлюсь, однако мне и тут повезло. Меня спросили, сколько будет е в степени 1,4 – то есть е в степени 0,7, да еще и в квадрате. Мне только и оставалось, что немного подправить четверку!

Они так и не додумались до того, как я это делал.

Работая в Лос-Аламосе, я обнаружил, что Ганс Бете обладает совершенно фантастическими вычислительными способностями. К примеру, однажды мы подставляли в какую-то формулу числовые значения и нам понадобился квадрат сорока восьми. Я потянулся за калькулятором «Маршан», а Бете говорит:

– Это будет 2300.

Я начинаю жать на кнопки, а он:

– Если точно, 2304.

Калькулятор тоже говорит: 2304.

– Ну и ну! – говорю я. – Здорово!

– Разве вы не знаете, как возводить в квадрат близкие к 50 числа? – удивляется он. – Берете квадрат 50-2500 и вычитаете стократную разницу между 50 и нужным вам числом (в нашем случае, двойкой) – вот вам и 2300. Ну а если вам требуется поправка, возводите разницу в квадрат и добавляете его. Получается 2304.

Еще через несколько минут нам понадобился кубический корень 2,5. А для того чтобы получить на «Маршане» кубический корень, приходилось пользоваться таблицами первых приближений. Я выдвигаю ящик стола, собираясь достать таблицы и понимая, что на сей раз времени нам придется потратить немало, а Бете говорит:

– Это что-то около 1,35.

Я проверяю его по «Маршану» – все точно.

– А это вы как проделали? – спрашиваю я. – Вам известен секрет извлечения кубических корней?

– О, – говорит он, – логарифм 2,5 равен тому-то и тому-то. А одна треть от этого логарифма лежит между логарифмом от 1,3 и логарифмом от 1,4 – ну я и провел интерполяцию.

Выходит, я выяснил следующее: во-первых, он помнит таблицы логарифмов; во-вторых, тот объем арифметических вычислений, которых потребовала интерполяция, отнял бы у меня больше времени, чем уходит на то, чтобы порыться в таблице и понажимать на кнопки калькулятора. В общем, впечатление я получил сильное.

Следом я попытался научиться делать это самостоятельно. Запомнил несколько логарифмов и стал брать на заметку разные штуки. К примеру, если кто-то спрашивает вас: «Чему равен квадрат двадцати восьми?» – вы вспоминаете, что квадратный корень из двух равен 1,4, а 28 больше чем 1,4 в 20 раз, стало быть, квадрат 28 должен быть в 400 раз больше 2, то есть он равен примерно 800.

Если же вас просят разделить 1 на 1,73, вы можете сразу сказать, что получится 0,577, поскольку знаете, что 1,73 очень близко к квадратному корню из 3, поэтому 1/1,73 должно быть в три раза меньше квадратного корня из 3. Ну а если вам требуется 1/1,75, так оно равно обратному числу для 7/4, а вы помните, что для седьмых долей десятичные знаки повторяются: 0,571428…

Я очень веселился, быстро производя арифметические вычисления с помощью разных уловок и соревнуясь в этом с Гансом. Однако поймать его на незнании чего-то и победить мне удавалось крайне редко, и он в этих случаях хохотал от всей души. Ему почти неизменно удавалось получить ответ для любой задачки с точностью до одного процента. И Гансу это практически ничего не стоило – любое число оказывалось близким к другому, ему уже известному.

И все же я уверовал в свои силы. И как-то раз во время ленча – дело было в технической зоне – взял да и заявил: «Я способен за шестьдесят секунд решить с точностью до 10 процентов любую задачу, которую кто-либо из вас сможет сформулировать за десять секунд!»

Окружающие принялись сочинять для меня задачи, которые им представлялись сложными, просили, скажем, проинтегрировать функцию 1/(1 + х⁴), которая в указанных ими пределах почти и не менялась. Самая сложная была такой: найти биноминальный коэффициент при х¹⁰ в разложении в ряд функции (1 + х)²⁰, однако я и в этом случае уложился во время.

Я решал задачу за задачей и чувствовал себя превосходно, но тут в столовую вошел Пол Олам. Перед тем как попасть в Лос-Аламос, Пол некоторое время проработал со мной в Принстоне – и всегда оказывался умнее меня. Например, как-то раз я в рассеянности играл с измерительной рулеткой, которая резко скручивается, когда нажимаешь кнопку на ее корпусе. Лента то и дело хлестала меня по руке, и довольно больно.

– Черт! – воскликнул я. – Ну что я за осел. Нашел себе игрушку, которая раз за разом больно меня бьет.

Пол сказал:

– Ты просто неправильно ее держишь.

Взял он у меня рулетку, вытянул ленту, нажал на кнопку, лента вернулась назад. А ему не больно.

– Ого! Как ты это делаешь?

– Догадайся!

Я две недели ходил по Принстону, щелкая лентой рулетки, в итоге рука у меня попросту распухла. И наконец понял, что больше не выдержу.

– Пол! Сдаюсь! Как ты держишь эту чертовщину, чтобы она тебе больно не делала?

– А кто сказал, что она мне больно не делает? Делает и мне.

И я почувствовал себя полным остолопом, которого заставили две недели ходить по городу и больно хлестать себя лентой по руке.

Так вот, проходит Пол по столовой, и моя взволнованная публика окликает его:

– Пол! Тут Фейнман такое вытворяет! Мы даем ему задачи, которые формулируются за десять секунд, а он через минуту сообщает ответ с точностью до 10 процентов. Может, и ты попробуешь?

Он, не останавливаясь, говорит:

– Тангенс 10 с точностью до 100-го знака.

Ну и все: разделите-ка π с точностью до 100-го знака! Безнадега.

В другой раз я похвастался: «Могу взять иным методом любой интеграл, который требует от всех прочих интегрирования по контуру».

Так Пол выдал мне интегралище, который получил, начав с комплексной функции, интеграл которой ему был известен, и оставив от нее лишь мнимую часть. То есть ободрал функцию так, что для нее только контурное интегрирование возможным и осталось. Он всегда меня вот так побивал. Очень умный был человек.

Впервые попав в Бразилию, я обедал как бог на душу положит и вечно приходил в рестораны не вовремя, оказываясь единственным посетителем. Ел я чаще всего стейк с рисом (нравилось мне это блюдо), а вокруг меня топталась четверка официантов.

Однажды в ресторан зашел японец. Я и раньше видел его в окрестностях, он продавал счеты, именуемые абаками. Японец заговорил с официантами и предложил им посоревноваться – сказал, что сможет складывать числа быстрее любого из них.

Официантам в дураках оказываться не хотелось, они и сказали:

– Ладно-ладно. Может, вы лучше с нашим посетителем посоревнуетесь?

Японец подошел ко мне. Я запротестовал:

– Я же по-португальски толком не говорю!

Официанты засмеялись:

– С числами все просто.

И принесли мне карандаш и бумагу.

Японец попросил одного из официантов назвать числа, которые нужно сложить. И разбил меня наголову, поскольку, пока я эти числа записывал, он их уже сложил.

Я предложил, чтобы официант писал одинаковые числа на двух листках и вручал их нам одновременно. Разница опять оказалась невелика. Японец все равно меня обскакал.

Однако это его чересчур раззадорило, и он захотел показать себя в полной красе.

– Mutipliçãо! – сказал он.

Кто-то записал условия задачи. Японец снова опередил меня, но не намного, поскольку в умножении я довольно силен.

И тут он совершил ошибку: предложил заняться делением. Он просто не понял, что чем сложнее задача, тем выше мои шансы.

Мы получили сложную задачку на деление. Ничья.

Японец встревожился, – по-видимому, его долго обучали обращению с абаком, а тут какой-то посетитель ресторана едва его не победил.

– Raios cubicos! – мстительно так произносит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни, пользуясь арифметикой! Более сложной и фундаментальной задачи в арифметике, пожалуй, и не найти. При работе с абаком это, надо полагать, экстра-класс.

Он записывает на бумажке число, большое, я его и сейчас помню: 1729,03. И приступает к работе, что-то бормоча и покряхтывая: «Мммммммммагммммбр» – старается, как черт! Ну просто с головой в вычисления уходит.

А я тем временем всего-навсего сижу.

Один из официантов спрашивает:

– А вы что же?

Я тычу себя пальцем в голову и говорю:

– А я думаю! – и записываю на бумажке: 12. И еще немного погодя: 12,002.

Японец отирает пот со лба.

– Двенадцать! – говорит он.

– О нет! – отзываюсь я. – Больше знаков давайте! Больше!

Мне-то известно, что при арифметическом вычислении кубического корня определение каждого нового знака требует куда больших усилий, чем их уходит на предыдущий. Это занятие крайне тяжелое.

Он снова зарывается в работу, кряхтит: «Рррргрррр-мммммммм…», а я тем временем добавляю еще два знака. Наконец он поднимает голову, чтобы сообщить:

– 12,0!

Официанты счастливы донельзя. Они говорят японцу:

– Смотрите! Он работал головой, а вам абак потребовался! Да и знаков у него больше!

Бедняга теряется совершенно и уходит, униженный. А официанты обмениваются поздравлениями.

И как же простой посетитель ресторана победил абак? Число было такое – 1729,03. Мне было известно, что в кубическом футе содержится 1728 дюймов, значит, ответ должен чуть-чуть превышать 12. Излишек 1,03 – это примерно одна двухтысячная от заданного числа, а из курса вычислительной математики я знал, что для малых дробей кубический корень составляет одну треть избытка. Поэтому мне оставалось только найти значение дроби 1/1728 и умножить ее на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Так я целую кучу знаков и получил.

Несколько недель спустя тот же японец появился в коктейль-баре отеля, в котором я жил. Узнал меня, подошел и сказал:

– Объясните мне, как вам удалось с такой быстротой извлечь кубический корень.

Я начал объяснять, что воспользовался методом приближений, что мне довольно было определить процент ошибки:

– Допустим, вы дали мне 28. Корень кубический из 27 это 3…

Он хватается за абак: ззззззззззз…

– Да, – говорит.

И тут я понимаю: ничего-то он в числах не смыслит. Имея в руках абак, не нужно запоминать целую кучу арифметических комбинаций, довольно научиться передвигать вверх и вниз костяшки. Вы не обязаны помнить, что 9 + 7 = 16, вам достаточно помнить, что для прибавления 9 нужно сдвинуть десять костяшек вверх и одну вниз. Так что основные арифметические действия мы выполняем медленнее, но зато лучше разбираемся в числах.

Более того, сама идея метода приближений была выше его понимания, – впрочем, получить этим методом точное значение кубического корня удается далеко не всегда. Так что объяснить ему, как я вычисляю кубические корни, мне не удалось, как не удалось и объяснить, что 1729,03 он выбрал попросту на мое счастье.