Физические следствия квантовой механики

Главным вопросом, по-прежнему преследовавшим волновое уравнение, была роль волновой функции. Определенно, с математической точки зрения она ясна: это решение волнового уравнения Шрёдингера, «всемогущая» функция-результат. Однако с физической точки зрения она по-прежнему оставалась большой тайной для всех, в том числе и для самого Шрёдингера.

Сперва он интерпретировал ее как связанную с «некоторым колебательным процессом в атоме». Позднее для системы электронов Шрёдингер более точно объяснял квадрат модуля волновой функции (модуль волновой функции, умноженный на самого себя) как что-то вроде «весовой функции», связанной с плотностью заряда (или «плотности электричества», как он ее называл) в определенной области пространства. То есть он представлял отдельный электрон размазанным по всему пространству. Другими словами, он в прямом смысле представлял электрон не как частицу, находящуюся в определенной точке пространства, а как волну, распределенную по нему.

Шрёдингер не один размышлял о физическом смысле волновой функции. Несколько ученых начинали приходить к заключению, что волновая функция была на самом деле связана со своего рода квантовой вероятностью, сильно отличающейся от вероятности классической механики. Среди них были Поль Дирак (1902–1984), Юджин Вигнер (1902–1995) и, в первую очередь, Макс Борн. Работа Борна четко определяла физический смысл волновой функции и природу квантовой вероятности. Он писал: «Движение частиц подчиняется законам вероятности…»

Иначе говоря, движение квантовых частиц, таких как электроны, не управляется детерминированными уравнениями, как в случае классических частиц (или макроскопических объектов). В результате, в отличие от классической частицы, квантовая не движется по четко определенной физической траектории с хорошо определенными значениями величин, описывающих основные ее характеристики, такие как положение, импульс, энергия и другие подобные в каждый момент времени. Вместо этого, согласно Борну, эти физические величины (и многие другие) полностью определяются квантовой вероятностью, которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Как и Шрёдингеру, Борну квадрат модуля волновой функции раскрыл секрет истинного физического смысла волновой функции. Однако он понимал эту величину совершенно по-другому.

Борн также отмечал, что «сама вероятность распространяется согласно закону случая». То есть, хотя движение квантовой частицы не является детерминированным, квантовая вероятность, определяющая окончательный исход, является, и она дается волновым уравнением Шрёдингера (поскольку оно задает волновую функцию, а значит, и ее квадрат модуля). Это чем-то напоминает то, как мы обсуждали больцмановскую вероятность (в части 2). Вспомним, что больцмановская вероятность дает вероятность того, что произойдет определенное микросостояние из многих возможных для системы частиц. Однако все же есть важное отличие.

Больцмановская вероятность была математически удобной для рассмотрения системы очень большого числа частиц. Для такой системы просто невозможно использовать уравнение Ньютона, определяя физические траектории всех без исключения частиц. Это не означает, что их траектории и соответствующие положения, импульсы, энергии и им подобные не существуют. Несомненно, что в классической механике они существуют. И это всего лишь означает, что решение данной математической проблемы громоздкое. Таким образом, мы обращаемся к использованию больцмановской вероятности, потому что оно очень упрощает исходную проблему, позволяя нам рассчитывать средние величины для всей системы частиц.

В случае вероятности, связанной с квантовой механикой, ситуация совершенно другая. Здесь квантовая вероятность – это не просто способ упрощения некоторой сложной математики до более податливой проблемы. В квантовом мире вероятностная природа является физической реальностью. Поэтому единственное, что мы можем знать о квантовой частице, – это вероятность, которую вы обнаружите в данном квантовом (микро) состоянии. Итак, если в классической механике речь идет об эволюции частицы согласно уравнению Ньютона вдоль заданной траектории, то в квантовой механике эволюционирует вероятность для частицы согласно уравнению Шрёдингера, переводя ее из одного квантового состояния в другое.

Интерпретация Борна решила серьезные проблемы, связанные с волновым уравнением Шрёдингера. Теперь стало ясно, как непрерывная волновая функция могла привести к возникновению дискретных уровней энергии, доступных электрону: волновая функция движется в пространстве вероятностей – не физическом – «направляя» электрон из одного квантового состояния в другое. Так, вероятностная природа квантового мира, которую Гейзенберг явно включил свою теорию, также присутствует и в теории Шрёдингера. Интерпретация Борна также вновь подтвердила электронные скачки в атоме Бора; теперь эти электронные переходы были наделены математической вероятностью их возникновения. Однако электронные орбиты (чисто классическое понятие), которые в течение некоторого времени впадали в немилость, в конце концов исчезли раз и навсегда. Для Шрёдингера это было уже слишком.

Можно было бы подумать, что Шрёдингер был большим фанатом статистической интерпретации Борна. Ведь это он в своем вступительном обращении в университете Цюриха в 1922 году сказал: «Вполне возможно, что все без исключения законы природы имеют статистический характер». Очевидно, не о квантовой вероятности он думал, когда утверждал следующее:

«Но сегодня мне больше не хотелось бы предполагать вместе с Борном, что отдельный процесс такого рода носит “абсолютно случайный характер”, то есть что он полностью не определен. Сейчас я больше не считаю, что эта концепция (которую я так отстаивал четыре года назад) достигает многого».

Шрёдингер был не единственным, у кого были проблемы с квантовой вероятностью; у Эйнштейна они тоже были.

Эйнштейн занимал лидирующую позицию в квантовой теории в течение более чем двадцати лет и был первым, кто ввел в нее вероятности переходов (в 1916 году), однако решил, что с него хватит. В 1917 году он отметил, что, согласно квантовой теории, направление переданного импульса при спонтанном излучении фотона атомом, по-видимому, определяется «случаем», и это до сих пор вызывает у него трудности. К 1926 году он стал абсолютно безжалостен в отношении квантовой вероятности, и в ответе на письмо, которое ему написал Борн, заявил:

«Квантовая механика действительно впечатляет. Но внутренний голос говорит мне, что это еще не идеал. Эта теория говорит о многом, но все же не приближает нас к разгадке тайны Всевышнего. По крайней мере, я уверен, что Он не бросает кости».

Отказ Эйнштейна был для Борна тяжелым ударом. Эйнштейн официально отвернулся от квантовой механики и сохранял это убеждение всю оставшуюся жизнь. В 1944 году он подтвердил свое первоначальное заявление Борну: «Большой начальный успех квантовой теории не может обратить меня в веру в эту фундаментальную игру в кости».

В то время как Борн и Эйнштейн не соглашались друг с другом по части квантовой вероятности, Бор и Шрёдингер не соглашались, ну, практически во всем.

В сентябре 1926 года Бор пригласил Шрёдингера в Копенгаген прочитать лекцию и обсудить волновую механику более подробно. Не успел Шрёдингер сойти с поезда, как Бор начал спорить на тему физических интерпретаций квантовой механики. За несколько дней Бор стал даже более неутомимым в дискуссиях, начиная их рано утром и продолжая их до поздней ночи. Также, чтобы исключить возможность всяких отвлечений, Бор договорился, чтобы Шрёдингер гостил у него дома. Наиболее подробный отчет об этом визите поступил от Гейзенберга – в то время он был ассистентом Бора в институте. Он вспоминал: «Хотя Бор, как правило, был исключительно добрым и внимательным в отношениях с людьми, теперь он мне представился подобным безжалостному фанатику…»

Шрёдингер понимал свое волновое уравнение буквально, видя в квантовом объекте, подобном электрону, волну, а не частицу. Для него волновая функция была на самом деле материальной волной, описывающей, куда в пространстве различные части электрона были в действительности рассеяны. Также он настаивал на возможности чего-то наподобие визуализируемого построения внутренней работы атома.

Бор был полностью против. Он был согласен с Борном, что волновая функция описывала квантовую вероятность, а не что-то наподобие реальной физической волны. В течение их обсуждения Бор выступал в пользу корпускулярной концепции квантовых объектов, но позднее для полного описания он потребовал как корпускулярную, так и волновую концепцию – полную реализацию «синтетической концепции» Эйнштейна 1909 года. Однако важнейшим предметом спора были перескакивающие электроны из атомной модели Бора.

По мнению Шрёдингера, сама идея перескакивания электронов из одного стабильного, или стационарного, дискретного квантового состояния в другое была нелепой: «Вы, господин Бор, несомненно, должны понять, что вся эта идея квантовых скачков с необходимостью приводит к абсурду… Иначе говоря, вся эта идея квантовых скачков – чистая фантазия».

Кто мог его обвинить? Атомная модель Бора не предлагала никакого «действительного» объяснения тому, почему электроны не падают на ядро, как это было бы в классической физике. Там просто была введена концепция стационарных квантовых состояний, которые являлись «магическими орбитами», избавлявшими электрон от этой трагической судьбы. И если это не слишком мешало, дальше нужно было признать, что электрон мог перескакивать между этими стационарными квантовыми состояниями просто при поглощении или излучении фотона, невзирая на то, что именно на самом деле управляло этим процессом.

Бор признавал, что принять эти концепции было сложно, но считал, что главная проблема Шрёдингера, связанная со всем этим, уходила корнями в его потребность в наглядной работе:

«…она не доказывает, что квантовых скачков нет. Она лишь доказывает, что мы не можем их представить, что наглядные концепции, с которыми мы описываем явления в повседневной жизни и эксперименты в классической физике, непригодны, когда дело касается описания квантовых скачков. Нам также не следует удивляться, когда мы обнаруживаем такую непригодность, видя, что рассматриваемые процессы не являются объектами непосредственного опыта».

Шрёдингер продолжал настаивать на том, что устранение дискретных квантовых состояний принятием его волновой картины электрона разгадает «квантовую таинственность». Бор подчеркивал, что и закон излучения Планка, и работа Эйнштейна по взаимодействию света и вещества требовали дискретных квантовых состояний. Неужели Шрёдингер собирался разрушить самые основания квантовой механики? Более того, Бор утверждал, что эксперименты уже подтвердили эту дискретную природу атома самыми различными способами. На это расстроенный Шрёдингер ответил: «Если все эти проклятые квантовые скачки реально никуда не денутся, я буду сожалеть, что вообще ввязался в квантовую теорию».

Через несколько дней Шрёдингер заболел и лежал в постели с жаром; возможно, Бор его в конце концов измотал. Госпожа Бор присматривала за ним, принося ему чай и пирог в кровать, а все это время сам Бор сидел на краю кровати, продолжая спорить: «Но, без сомнений, господин Шрёдингер, вы должны понимать…»

Но Шрёдингер не мог понять. Хотя обсуждение сильно повлияло на каждого из них, в конце они не смогли найти решение. Тем не менее, Бор и Шрёдингер остались друзьями.

Как только Шрёдингер уехал, дискуссии продолжились, но теперь между Бором и Гейзенбергом. Гейзенберг вспоминал: «В течение нескольких следующих месяцев [после визита Шрёдингера] физическая интерпретация квантовой механики была центральной темой всех разговоров между Бором и мной».

Как и у Бора со Шрёдингером, разговоры между Бором и Гейзенбергом были столь же напряженными, хотя теперь продолжались месяцами, а не несколько дней. К февралю 1927 года они уже поднадоели друг другу, что побудило Бора удалиться на лыжную экскурсию в Норвегию и наконец оставить Гейзенберга наедине с его мыслями – к большому его облегчению. За несколько дней Гейзенберг уже обнаружил кое-что.

Вспомним, что, используя формализм Шрёдингера, Борн заключил: квантовая частица не следует по детерминированной траектории, как это было бы в классической механике. Вместо этого квантовым состоянием, в котором она была (и будет позже), полностью управляла внутренне присущая квантовая вероятность. Гейзенберг задался таким вопросом: а что если мы реально попытаемся измерить траекторию электрона, или, что проще, положение и импульс электрона? В оригинальном мысленном эксперименте Гейзенберг вообразил микроскоп, способный выполнить такое задание.

Итак, микроскоп работает, потому что фотон (идущий от источника света) отскочил (отразился) от объекта (вроде электрона) и в конце концов прошел через линзу, за которой чей-то глаз или некоторый другой детектор его замечает. Из классической волновой оптики уже было известно, что неопределенность (разрешающая способность) положения объекта непосредственно связана с длиной волны используемого фотона. Так, если вы хотите добиться лучшего разрешения положения объекта, вам нужно использовать фотон меньшей длины волны. Иначе говоря, если вы хотите измерить нечто, вам нужно использовать «линейку» с более точными, или меньшими, делениями. Более того, было также известно, что неопределенность положения обратно пропорциональна диаметру линзы, используемой для того, чтобы собрать упомянутые нами фотоны. Опять же, все это следует из классической волновой оптики – пока еще ничего квантового не происходит, кроме того, что мы называем свет фотоном. Теперь, когда мы справились с определением положения электрона, давайте перейдем к импульсу.

Когда фотон отскакивает от электрона, то при столкновении они обмениваются импульсом. Импульс, потерянный фотоном, будет по модулю равен приобретенному электроном – суммарный импульс сохраняется. Ясно, что если мы можем определить, насколько изменился импульс фотона, тогда мы сможем определить импульс электрона до столкновения, что даст нам и положение, и импульс электрона одновременно. Однако есть небольшая проблема. На самом деле мы не знаем направление полета падающего фотона после того, как он отскочит от электрона. Мы точно знаем только то, что он принадлежал «диапазону направлений», при движении в каждом из которых он в результате пройдет через линзу, тем самым позволяя нам определить положение электрона (в пределах неопределенности, отмеченной выше). А теперь этот диапазон направлений можно сузить, чтобы уменьшить неопределенность направления импульса фотона. Все, что нам нужно сделать, – это уменьшить диаметр линзы микроскопа.

Ой, ну подождите, ведь неопределенность в положении электрона обратно пропорциональна диаметру линзы, и уменьшение ее диаметра приведет к большей неопределенности в положении. Для решения этой проблемы мы могли бы использовать фотон с меньшей длиной волны. К сожалению, оказывается, что это увеличит неопределенность импульса, благодаря – вы угадали – квантовой природе импульса фотона. Гейзенберг смог использовать свой подход матричной механики, чтобы показать, что определенную пару величин, характеризующих свойства (например, координата и составляющая импульса, направленная вдоль той же оси, от которой данная координата отсчитывается), нельзя определить с произвольной точностью. А именно он обнаружил, что произведение их неопределенностей не может быть меньше, чем постоянная Планка. Это означает, что если мы получаем более точные знания об одной из характеристик, то в результате наше знание о соответствующей дополняющей характеристике становится меньше. Итак, мы знаем одну характеристику почти абсолютно точно – и поэтому о другой не знаем совсем ничего; или, в качестве компромисса, знаем немного – об обоих.

Это не имеет никакого отношения к нашим возможностям (или их отсутствию) измерения этих величин. Наоборот (вернемся к нашему примеру с микроскопом), это означает, что квантовые частицы наподобие электрона просто не обладают точным положением и точным импульсом в один и тот же момент времени; для них эти характеристики существуют только расплывчато, неопределенно. Давайте осознаем, что если Борн использовал квантовую вероятность, чтобы устранить из квантовой механики детерминизм, то в принципе неопределенности Гейзенберга это происходит безо всякого обращения к понятиям, связанным с вероятностью. Поэтому они выступают как два независимых удара против причинности. Возможно самым лучшим примером, иллюстрирующим квантовую вероятность и корпускулярно-волновой дуализм, является опыт с двумя щелями.