Волновое уравнение

3 ноября 1925 года Шрёдингер написал Эйнштейну:

«Несколько дней назад я с величайшим интересом прочитал гениальную диссертацию Луи де Бройля, которую я наконец достал; также с ней [обсуждение волновой природы идеального квантового газа, проведенное в Вашей второй статье] стало впервые для меня понятным».

Как упоминалось выше, в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу, Эйнштейн провел анализ флуктуаций частиц и обнаружил в окончательном выражении и ожидаемый корпускулярный член, и неожиданный волновой. Эйнштейн заявил, что «он затрагивает нечто бо2льшее, чем просто аналогия», и отметил наличие корпускулярно-волнового дуализма, обрисованного де Бройлем в своей диссертации: «То, как [волна] может быть приписана материальной частице или системе материальных частиц, было подчеркнуто господином Е. де Бройлем довольно заметным образом». (Эйнштейн ошибочно указал первую букву имени де Бройля как «Е», а не «Л».) Шрёдингер всерьез заявлял Эйнштейну, что ему все стало ясно.

4 декабря 1925 года Шрёдингер сообщил Эйнштейну, что он отправил статью по квантовой статистике. Затем он стал обрисовывать цели его последующей статьи. Эта была его последняя статья, написанная до его самой знаменитой работы, которая изменила всю известную тогда физику. Короче говоря, Шрёдингер хотел разработать теорию идеального квантового газа, совершенно свободную от статистики Бозе, чтобы ее выводы предусматривали, что атомы находятся в маленьких «ячейках», как это было в работе Эйнштейна. Он просто не принял статистику как что-то фундаментальное. Вместо этого он утверждал, что подход Эйнштейна на самом деле скрывал более глубокий физический смысл, лежащий в его основе.

Для достижения своих целей он (опять же, хотя и с применением другого подхода) рассмотрел уровни энергии всего набора атомов, не сосредотачиваясь на уровне энергии одного атома, как сделал Эйнштейн. Шрёдингер отметил, что статистика Бозе привела и к теории идеального квантового газа Эйнштейна, и к теории световых квантов Бозе, дающей закон излучения Планка. Далее он указал на то, что закон излучения Планка можно получить, если рассматривать свет согласно его волновой природе.

Ясно, что корпускулярно-волновой дуализм на квантовом уровне был неопровержимым. Таким образом, чтобы завершить картину корпускулярно-волнового дуализма, Шрёдингер предложил новую теорию, где система атомов идеального газа рассматривается как волны, используя вместо статистики Бозе «естественную статистику» (статистический подход с экспериментальным обоснованием, и, по мнению Шрёдингера, имеющий более твердую логическую основу):

«Таким образом должна быть построена картина газа просто согласно той картине [излучения абсолютно черного тела], которая пока еще не соответствует крайней концепции световых квантов; тогда естественная статистика… даст теорию газа Эйнштейна».

Он добавил: «Это означает не что иное, как принятие всерьез [предложенных теорий де Бройля и Эйнштейна, где атомы рассматриваются согласно их волновой природе]».

В этот момент Шрёдингер был полностью привержен идее разработать полную теорию, в которой атомы идеального газа рассматривались с позиций их поведения как волн, как это изначально описывал де Бройль и далее исследовал Эйнштейн. Интересно отметить, что ни Эйнштейн, ни де Бройль в достижении такой теории не преуспели. Разумно допустить, что де Бройлю просто не хватало математического мастерства, если учесть его реальный уровень. Еще удивительнее, что не смог Эйнштейн. По сути дела, он со своей статьей 1905 года, посвященной световым квантам, был отцом корпускулярно-волнового дуализма. Хотя именно Бозе успешно использовал световые кванты, чтобы получить правильную квантовую статистику, и наконец поставил закон излучения Планка на твердую квантовую основу, Эйнштейн был тем, кто включил «принцип дуализма», чтобы успешно применить статистику Бозе к идеальному газу.

Затем, (как уже было упомянуто) Эйнштейн знал, как использовать метод де Бройля, чтобы представить систему частиц газа как волн, и рассмотрел такое использование (в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу) для решения известной проблемы. И наконец, именно Шрёдингер показал, что набор атомов идеального газа можно описать волновым подходом и получить верные результаты, подобно тому, как это проделал Эйнштейн с «неестественным» статистическим методом Бозе. И хотя эта часть работы заслуживала уважения, Шрёдингер по большей части свел все концы, оставленные Эйнштейном и де Бройлем, но в то же время упустил в своей волновой теории несколько важных компонентов.

В начале ноября 1925 года Дебай предложил Шрёдингеру провести беседу на тему работы де Бройля на объединенном коллоквиуме университета Цюриха и Швейцарской высшей технической школы. По-видимому, как утверждал Феликс Блох (1905–1983), прислали приглашение вроде этого:

«Господин Шрёдингер, в любом случае, прямо сейчас Вы не работаете над очень важными проблемами. Почему бы Вам не рассказать нам как-нибудь о той диссертации де Бройля, которая, кажется, привлекла некоторое внимание?»

Коллоквиум представлял собой серию неформальных лекций (читавшихся раз в две недели, по два часа каждая) перед аудиторией, возможно, в пару дюжин слушателей максимум. Хотя точно неизвестно, наиболее вероятно, что Шрёдингер выступал между второй половиной ноября и первой половиной декабря, и, возможно, в то время, когда он работал над первой статьей по своей «волновой теории» (второй квантовой статистике). Шрёдингер дал прекрасный обзор работы де Бройля. Тем не менее Дебай не был удовлетворен и чувствовал, что в подходе де Бройля что-то было по-прежнему упущено. Опять же, как отмечал Блох: «Дебай случайно отметил, что он думал, что такой вариант обсуждения был довольно несерьезным. Будучи студентом Зоммерфельда, он узнал, что для правильной работы с волнами нужно волновое уравнение».

Дебай был прав. В классической физике все волны имеют связанное с ними волновое уравнение. Если упрощать, волновое уравнение описывает физический процесс движения волны в пространстве и во времени; оно выполняет для волн ту же роль, что и уравнение движения (второй закон Ньютона) – для частиц. Непонятно, насколько значительную роль сыграл комментарий Дебая в продвижении Шрёдингера вперед к получению волнового уравнения. Наиболее вероятно, что он заставил Шрёдингера более серьезно задуматься над этим, даже если он уже шел к уравнению. Можно реально легко утверждать, что в исходном варианте его волновой теории было неявно представлено волновое уравнения, хоть до его полного получения было далеко.

Несомненно, для Шрёдингера волновое описание квантового мира было намного более привлекательным, чем представление о «прыгающих электронах» из модели атома Бора. Четко исходя из работы де Бройля, Шрёдингер попытался построить волновое уравнение электрона, движущегося в атоме водорода, простейшем из всех атомов. Естественно, он включил в свое уравнение эффекты специальной теории относительности. Однако на его пути возникло препятствие, и он обнаружил, что его новое релятивистское уравнение не смогло описать известные наблюдаемые эффекты. Шрёдингер никогда не публиковал эти результаты, возможно, разочаровавшись из-за неточностей теории. Тем не менее он не долго оставался в тупике.

Перед рождественскими каникулами Шрёдингер написал в Вену «старой подружке» с просьбой составить ему компанию в его любимом месте отдыха, Арозе. Предыдущие два Рождества он провел со своей женой, Анни, но теперь, по-видимому, он решил сменить обстановку. Личность этой женщины остается тайной, но, кем бы она ни была, кажется, что она послужила для него прекрасным источником вдохновения.

Шрёдингер, которому было уже тридцать восемь лет, начал то, что стало двенадцатимесячным периодом непрерывающегося творчества в 1926 году, результатом которого стали шесть больших статей по новой квантовой теории, известной как волновая механика. Вскоре после возвращения из Арозы Шрёдингер сделал доклад на другом коллоквиуме, начав его следующими словами (как передавал Блох): «Мой коллега Дебай указал на то, что нужно найти волновое уравнение [для электрона в атоме водорода]; что ж, я его нашел!»

Да, Шрёдингер нашел волновое уравнение. К сожалению, он так и не смог самостоятельно его решить и обратился к некоторым своим коллегам за помощью. То, насколько ему помогли, и кто вообще ему помог, неясно. Шрёдингер был очень способным и самостоятельным в математической физике, он получил прекрасную подготовку. Тем не менее, похоже, некоторую помощь оказал Герман Вейль (1885–1955), близкий друг Шрёдингера и математик – который также оказался любовником жены Шрёдингера; и эту помощь Шрёдингер четко признал.

Уже 27 января 1926 года – прошло меньше трех недель с возвращения Шрёдингера из Арозы – журнал получил его первую статью под названием «Квантование как задача на собственные значения». Здесь он обрисовывает процесс, который привел его к волновому уравнению, явно независящему от времени, используя в качестве примера (нерелятивистский) атом водорода. Теперь, когда волновое уравнение нашлось, целью становится поиск его решения, выражаемого волновой функцией.

Он с успехом нашел волновую функцию вместе с уровнями энергии электрона для атома водорода, для которого он, как следствие, верно получил формулу Бальмера. Вспомним, что в своей атомной теории Бор на самом деле не предоставил вывод этой формулы. Вместо этого он предположил, что она верна для спектра атома водорода и затем использовал ее, чтобы получить уровни энергии электрона. Более того, сам Бальмер никогда не проводил формальный вывод; это было что-то, до чего он «додумался». Ближе к завершению статьи Шрёдингер признал свой долг перед де Бройлем: «Прежде всего, я хотел бы упомянуть, что пришел к этим размышлениям в первую очередь благодаря убедительным статьям господина Луи де Бройля…»

Затем Шрёдингер продолжил, упомянув свою вторую статью по квантовой статистике, в которой он изложил «волновую теорию» идеального квантового газа Эйнштейна, и то, как его настоящий труд может рассматриваться в качестве обобщения той работы. Это многозначительное утверждение показало, что его предыдущая работа по квантовой статистике была полноправным предшественником волновой механики. Следующая статья пришла всего лишь через четыре недели после первой, 23 февраля, и остальные четыре последовали очень быстро, последняя была отправлена 21 июня.

Вскоре после этого последовала реакция на волновую механику Шрёдингера. Планк отметил, что прочитал первую статью, «словно нетерпеливый ребенок, узнавший разгадку головоломки, которая давно досаждала его». В отношении второй статьи Планк снова отзывался с энтузиазмом: «Вы можете представить себе, с каким интересом и энтузиазмом я погрузился в чтение этой эпохальной работы…» Планк на самом деле был впечатлен и рассчитывал привлечь Шрёдингера в качестве своего преемника, как он, Планк, уйдет в отставку в 1927 году.

Эйнштейн вступил в обсуждение, сказав: «Идея Вашей работы исходит от настоящего гения!» Через десять дней он добавил: «Я убежден, что Вы решительно продвинулись вперед с Вашей формулировкой квантовых условий…»

Эренфест написал:

«Я просто в восторге от [Вашей теории] и от чудесной новой системы взглядов, которую она ведет за собой. В течение двух прошедших недель каждый день все члены нашей небольшой научной группы часами стояли по очереди у доски, чтобы испробовать все прекрасные следствия».

В основном, все были увлечены волновой механикой Шрёдингера. Однако это был не единственный вариант квантовой механики.