Глава 14

Световые кванты

Частицы и волны: начало

В 1905 году, когда ему было двадцать шесть лет, Эйнштейн опубликовал четыре крупные статьи и закончил свою докторскую диссертацию. Каждая из этих статей была революционной и впоследствии изменила физику навсегда. Однако только первую из них, «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света», Эйнштейн называл «очень революционной» – на самом деле это был единственный раз, когда он сказал такое о какой-либо своей работе – и она, в частности, принесет ему Нобелевскую премию в 1921 году.

Действительно, представление Эйнштейна о свете было очень революционным, и только почти через двадцать лет его аккуратно включили в физику. В отличие от Планка, Эйнштейну было удобно использовать статистические подходы (такие как кинетическая теория или статистическая механика) для решения физических проблем. На самом деле Эйнштейн потратил значительное время на эти методы.

В цикле из трех публикаций между 1902 и 1904 годами Эйнштейн независимо включил некоторые из идей статистической механики, которые уже были сформулированы раньше Больцманом и Гиббсом. Видимо, Эйнштейн был в некоторой степени знаком с работами Больцмана, но, несомненно, вообще не знал трудов Гиббса. Кажется, что Эйнштейн почерпнул знания о работах Больцмана из «Лекций по теории газов», двухтомного труда, изданного в 1896 и 1898 годах. Это факт вызывает сожаление, поскольку данная работа не должна была быть обзором предыдущей работы Больцмана. В частности, метод сочетаний Больцмана, разработанный в 1877 году, который Планк использовал при получении квантов энергии, упомянут лишь мимоходом, а читателя (наверняка запутавшегося) отсылают к исходному источнику, который, кажется, Эйнштейн не смог найти.

Более того, хотя Больцман был выдающимся лектором, его труды были часто излишне длинными и малопонятными, а основные выводы часто прятались в лесу вычислений. Максвелл говорил о рукописях Больцмана: «Изучая Больцмана, я не мог его понять. Он не мог понять меня из-за моей краткости, а его длинные рассуждения были и остаются таким же серьезным препятствием для меня».

Возможно это отсутствие близости пошло на пользу Эйнштейну, поскольку дало ему возможность разработать статистическую механику с нуля, поистине построив ее своими руками в первые годы его занятий физикой. Как потом стало ясно, подход Эйнштейна к изучению квантов, или квантовая теория, был по своей сути статистической механикой, и методы, разработанные им в годы становления, сослужили ему добрую службу в его стремлениях в течение более чем двадцати лет, особенно в усилиях по изучению природы света.

Энтропия и гипотеза

Как это было в работах Планка, в статье, написанной Эйнштейном в 1905 году, энтропия также играла важную роль. Эйнштейн был заинтересован в вычислении энтропии системы, состоящей из света, находящегося в ящике с объемом V₀. Хотя может показаться странным рассматривать ящик, полный света, сама эта система не так сильно отличается от других, которые мы обсуждали, вроде ящика (или воздушного шарика) с атомами газа.

Начав с уравнения (изначально выведенного Вином) и используя закон излучения Вина (не Планка), Эйнштейн получил явное выражение для энтропии света в ящике, S₀. Затем он перешел к рассмотрению энтропии, возникающей при заключении света в меньший объем V (под-объем) внутри ящика. Он нашел разность этих энтропий:

S – S₀ = k ln (V / V₀) ^E / ^hν,

где E – полная энергия света в ящике, а hν, как в уравнении Планка, – квант энергии.

Теперь, если мы определим W из уравнения Больцмана выражением

W = (V / V₀) ^{E / hν},

в которое входят величины из уравнения Эйнштейна, тогда мы получим:

S = k ln W + S₀.

Дополнительный член S₀ возникает, потому что мы представляем систему находившейся в другом макросостоянии до того, которое рассматривается сейчас и имеет энтропию S. Это более общая форма уравнения Больцмана, которая впервые появилась в статье Планка.

Итак, Эйнштейн рассматривал то же самое изменение энтропии для системы, содержащей N атомов идеального газа. Атомы идеального газа не взаимодействуют, а точнее, ведут себя независимо друг от друга. Более того, здесь мы говорим о классическом идеальном газе, тогда как позже мы обсудим его квантовый аналог. Опять же, Эйнштейн рассматривал систему, сначала находящуюся в ящике с объемом V₀, которую внезапно ограничили до под-объема V.

S – S₀ = k ln (V / V₀)^N,

где, в данном случае

W = (V / V₀)^N.

С физической точки зрения, когда энтропия меняется (из-за изменения объема), эти уравнения говорят нам, что две системы ведут себя одинаковым образом. Когда мы их сравниваем (или, что проще, их выражения для W), то видно единственное отличие – там, где в варианте идеального газа стоит N, в случае света стоит E / hν.

Другими словами, в одном случае имеется N атомов идеального газа, а в другом – полная энергия света E, разделенная на «порции», каждая по hν. Эйнштейн поставил перед собой задачу рассмотреть только излучение с низкой плотностью энергии (или низкой интенсивностью) согласно закону излучения Вина, совсем не используя вариант Планка. Более того, реальный газ при низких плотностях хорошо описывается моделью идеального газа.

С этими соображениями и уравнениями Эйнштейн построил оригинальную аналогию между этими двумя системами. Но что это за порции, рассеянные по ящику, полному света? Эйнштейн говорит:

«Монохроматическое излучение низкой плотности энергии (в рамках диапазона применимости формулы излучения Вина) в термодинамическом смысле ведет себя так, как если бы оно состояло из независимых друг от друга квантов энергии, каждый со своей величиной [hν]».

Другими словами, согласно Эйнштейну, свет на данной частоте ν (с низкой плотностью энергии) ведет себя как состоящий из порций hν – свет состоит из световых квантов. То есть энергия светового кванта такова:

E_{светового кванта} = hν.

Вспомним, что для Планка эти порции представляли собой части, или кванты энергии, которые были распределены между N резонаторами. Но системой Планка был свет, находящийся в равновесии с N резонаторами, где резонаторы выполняли роль материи, тогда как системой Эйнштейна был свет, находящийся в равновесии с самим собой. Для Планка эти порции не имели ничего общего со светом и были исключительно прерогативой резонаторов. Другими словами, если Планк требовал от резонаторов обмениваться порциями энергии, на свет, который вообще-то переносил эту энергию туда и обратно, это требование не налагалось – это немного загадочно. Тогда Эйнштейн продолжает:

«Если с учетом зависимости его энтропии от объема монохроматическое излучение (со значительно низкой плотностью) ведет себя как прерывистая среда, состоящая из квантов энергии со своей величиной [hν], тогда кажется разумным проверить, являются ли законы генерации и превращения света такими, что они соответствуют свету, состоящему из такого рода квантов энергии».

Эйнштейн говорит, что если сам свет ведет себя как набор световых квантов, то, возможно, он также ведет себя при взаимодействии с веществом. В этой связи он рассмотрел известные экспериментальные наблюдения и показал, как их можно интерпретировать с позиции его вновь созданной гипотезы световых квантов. Наиболее заметным из этих явлений, которые он рассматривал, был фотоэлектрический эффект.