Несоответствие и отчаяние

К весне 1900 года улучшенная экспериментальная методика привела к новым результатам, показывающим расхождения с законом Вина – Планка. Начинало походить на то, что почти шесть лет усилий Планка оказались напрасными. Планк решил, что ошибка лежала в его выводе выражения для энтропии резонатора. Переделав вывод, Планк предложил новое выражение для этой величины и, опираясь на него, смог получить новую формулу для спектра абсолютно черного тела. В этот раз он был прав, и новый результат полностью согласовывался со всеми новыми экспериментальными данными.

Планк мог на данном этапе почивать на лаврах, возможно получив за свои усилия Нобелевскую премию – либо единолично, либо разделив ее с Вином. Однако Планку нужно было понимание «абсолютной» природы своего нового выражения. В конце концов, к тому моменту Планк создал, основываясь на изрядном количестве «гениальных догадок», не более чем эффективное уравнение, касающееся взаимодействия вещества и света, без заметного физического понимания его истинной природы. Оставался следующий вопрос: «Что именно, связанное с веществом и энергией, приводит к планковской форме спектра абсолютно черного тела?»

Чтобы ответить на этот вопрос, Планк снова обращается к Больцману, на этот раз к его работе 1877 года. Планк, прежде стойкий противник статистической интерпретации энтропии Больцмана, казалось, немного передумал:

«Я догадывался, что эту величину [энтропию резонатора] будет возможно рассчитать, введя статистическое рассмотрение, важность которого для второго начала термодинамики впервые продемонстрировал Больцман».

Несмотря на уступки Больцману, Планк не перешел полностью на сторону статистического подхода; у него была своя собственная интерпретация природы вероятности физических явлений. Он также не следовал четко и во всем исходному подходу Больцмана, допуская немного вольности при необходимости. Позже (в 1931 году) Планк будет упоминать эту часть своей программы как «акт отчаяния», объясняя это тем, что он «должен был получить положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой».

Отправной точкой «акта отчаяния» Планка было уравнение Больцмана, введенное в части 2:

S = k lnW.

Вспомним, что это выражение описывает полную энтропию системы в определенном макросостоянии, или физическом состоянии, для соответствующих микросостояний, полная сумма которых равна W. На самом деле Больцман изначально написал это уравнение в виде пропорции:

S ∝ lnW,

а не в виде того равенства, которое мы сегодня знаем. Именно Планк позже ввел константу k, которую мы сейчас называем постоянной Больцмана, и указал на ее важность. Кроме того, Больцман предложил метод расчета полного числа микросостояний W, или сочетаний, как их называл Больцман.

Это был улучшенный вариант метода Больцмана, предложенного в 1868 году, и он должен был стать новым подходом, дополняющим его работу 1872 года. Больцман рассматривал систему из N атомов газа с постоянной полной энергией E. Микросостояние такой системы будет описывать каждый из N атомов газа как имеющий определенную часть полной энергии. Чтобы сделать такое описание возможным, Больцман представил полную энергию в виде:

E = Pε.

Таким образом, полная энергия системы появлялась «порциями», каждая величиной ε, а отдельный атом газа мог иметь энергию 0, ε, 2ε, 3ε, … Pε.

Представим систему, состоящую из двух атомов (N = 2), где энергия разделяется на три порции (P = 3), поэтому один атом может иметь возможные энергии 0, ε, 2ε, 3ε. Единственные возможные микросостояния – с учетом того требования, чтобы энергии всех атомов в сумме равнялись энергии системы (E = = 3ε) – это (0, 3ε), (3ε, 0), (2ε, ε), (ε, 2ε), где первая величина в скобках – это энергия «атома 1», а вторая – «атома 2». Каждое микросостояние обозначает атом (либо 1, либо 2) вместе с соответствующим значением его энергии. Другими словами, мы сделали и энергию, и атомы различимыми (нам нужно позже поговорить об этом подробнее). Для произвольного числа атомов газа и порций энергии (любые значения N и P) можно записать общее выражение для W, а значит, и для энтропии.

Для Больцмана этот подход был просто средством достижения цели. На завершающем шаге он позволил размерам системы подходить под очень большое число атомов. Далее он сделал эти порции энергии очень маленькими. Мы уже видели, что реальные системы, подобные шарику, заполненному атомами газа, содержат очень большое число атомов, вот почему Больцман рассматривал системы таких размеров; он хотел установить связь с реальными физическими системами. Что касается допущения крайне маленьких порций энергии – ну, оно тоже было мотивировано реальными физическими рассмотрениями.

Больцман рассматривал энергию системы, распределенную порциями, как своего рода прием, математический трюк, который сделал возможным написать выражение для энтропии. Он объяснял:

«Следует признать, прием [порции энергии] не соответствует любой [реализуемой] физической проблеме, а на самом деле является задачей, с которой можно намного легче справиться математически и которая переходит непосредственно в [физическую] проблему…»

Однако в представлении Больцмана, да и почти всех остальных ученых того времени, энергия так себя не вела. Наоборот, энергия считалась непрерывной, а не прерывистой, или состоящей из порций. Впрочем, у Планка был собственный подход к методу сочетаний Больцмана.

К ноябрю 1900 года, понимая, что его гениальная догадка нуждалась в более надежных основаниях, Планк снова обратился к статистической интерпретации энтропии Больцмана и к методу, который он использовал для ее вычисления. Чтобы установить аналогию с больцмановской системой из N атомов газа и постоянной полной энергией E, Планк рассматривает набор из N резонаторов, а не один резонатор, которые имеют одну и ту же частоту ν и их собственные постоянные полные энергии.

Планк получил выражение для энтропии одиночного резонатора с частотой ν, а не набора из N резонаторов. То есть Планк предложил просто разделить уравнение Больцмана (S = k ln W) на N, чтобы получить энтропию одиночного резонатора. Теперь у Планка было два выражения для энтропии резонатора: то, которое он вывел сам, и новое выражение, полученное простым введением делителя в уравнение Больцмана. Далее, как и с энтропией системы, Планк также рассматривал полную энергию системы как сумму энергий всех резонаторов.

Окончательные шаги Планка просты: использовать метод Больцмана для получения W, которое дополнит измененное выражение для уравнения Больцмана, приравнять этот вариант выражения для энтропии к полученному самим Планком; и затем надеяться на некоторое физическое понимание. Планк продолжил выполнять «математический трюк» Больцмана, деля полную энергию системы на P порций, каждая из которых равна ε, распределенных между N резонаторами. Об этом он говорил:

«Если E [полная энергия системы из N резонаторов] считается бесконечно делимой, возможно бесконечное число различных распределений. Мы, однако, рассматриваем – и это важно – E как состоящую из определенного числа одинаковых конечных частей…»

Итак, с энергией в виде порций, как было нужно, Планк посчитал полное число микросостояний (W) для его системы из N резонаторов и соответствующую энтропию и завершил приравниванием выражения для энтропии, полученного методом Больцмана, своему собственному. Он обнаружил кое-что интересное. Короче говоря, чтобы два выражения энтропии были равны друг другу, он просто потребовал, чтобы те маленькие порции энергии равнялись:

ε = hν,

где он ввел другую (в дополнение к постоянной k) постоянную, которую мы сейчас называем постоянной Планка.

То есть, в отличие от Больцмана, рассматривавшего порции энергии как удобный прием и в конечном итоге устранившего их тем, что он сделал их бесконечно маленькими, теория Планка потребовала их существования. И каково было физическое понимание, которое Планк так отчаянно искал? Очевидно, что оно заключается в том, что энергия на самом деле состоит из отдельных порций! Другими словами, если говорить об одном из резонаторов Планка (который сейчас мы бы уподобили атому или молекуле), то разрешенные значения энергии являются дискретными (0, ε, 2ε, 3ε и т. д.), а не подчиняющимися какому-то непрерывному распределению. Более того, если энергия резонатора увеличивается или уменьшается при взаимодействии со светом, она должна изменяться на ε – ни на бо2льшую, ни на меньшую величину.

Тогда, в общем, получается, что энергия резонатора рассчитывается по формуле:

E_{резонатора} = mhν,

где m = 0, 1, 2, 3, …

Планк представил свой вывод 14 декабря 1900 года. Из своих поисков спектра излучения абсолютно черного тела он вышел победителем. Также он достиг желанного физического понимания взаимодействия вещества со светом. Тем не менее, за это он заплатил большую цену.

Он был вынужден обратиться к больцмановскому методу получения полного числа микросостояний, чтобы получить выражение для энтропии. Тот метод вовсе не был популярным и многие его считали в лучшем случае вызывающим сомнения. Что хуже, в отличие от Больцмана, который в конце концов смог аккуратно устранить те раздражающие порции, Планк остался с ними навсегда, поскольку их устранение привело бы к полному и абсолютному провалу его теории.

Полное признание этого довольно хитрого характера энергии означало, что вся физика, которую Планк знал, навсегда радикально изменится. По вполне понятным причинам Планк не желал принимать роль революционера, и для продвижения концепции прерывной, или дискретной, природы энергии, которую мы сейчас называем квантами энергии (или квантом в случае одной порции), он сделал очень мало.

Он придерживался идеи, что кванты энергии были математическим артефактом, и надеялся, что будущие усовершенствования его теории приведут назад, к «старой доброй физике» (классической физике) с менее радикальными результатами. Он, как и почти все остальные, предпочел концентрировать внимание на замечательной точности закона излучения Планка, а не на раздражающих квантах энергии, существование которых он подразумевал. Прошло восемь лет с момента, когда Планк впервые представил свою квантовую теорию дискретной энергии, и до момента, когда он смог окончательно признать, что она излагала фундаментальную природу энергии:

«…имеется определенный порог: резонатор совсем не отвечает на очень слабые возбуждения; если он отвечает на более сильные, то только так, что энергия является целым кратным элемента энергии hν, так что мгновенное значение энергии всегда представляет собой такое целое кратное».

В то время как Планк и другие, возможно, колебались в признании квантов энергии, один человек принял их сразу.