Волны вероятности

Согласно классической механике, если мы знаем положение и скорость данной материальной точки, а также и внешние действующие силы, то мы можем предсказать на основе законов механики весь ее будущий путь. В классической механике утверждение: «материальная точка имеет такие-то координаты и скорость в такой-то момент» – имеет вполне определенный смысл. Если бы это утверждение потеряло свой смысл, то наши рассуждения о предсказании будущего пути были бы ошибочны.

В начале девятнадцатого столетия ученые хотели свести всю физику к простым силам, действующим на частицы вещества, обладающие определенными координатами и скоростями в некоторый момент времени. Вспомним, как мы описывали движение, когда рассматривали механику в начале нашего путешествия по царству физических проблем. Мы нарисовали точки вдоль определенного пути, показывающие точные положения тела в определенные моменты времени, а затем провели векторы, показывающие направления и величины скоростей. Это было просто и убедительно. Но это нельзя повторить для элементарных квантов вещества – для электронов или для квантов энергии – фотонов. Мы не можем нарисовать путешествие фотона или электрона таким же образом, как мы изображали движение в классической механике. Пример с двумя булавочными отверстиями показывает это очень ясно. Кажется, что электрон и фотон должны пройти через оба отверстия. Но так невозможно объяснить эффект, рисуя путь электрона или фотона в старом классическом смысле.

Мы должны, конечно, предположить существование таких элементарных действий, как прохождение электронов или фотонов через отверстия. Существование элементарных квантов вещества и энергии не может, конечно, вызывать сомнения. Но законы, управляющие ими, не могут быть сформулированы непременно путем определения координат и скоростей в любой момент по простому методу классической механики.

Поэтому попробуем нечто другое. Будем непрерывно повторять одни и те же элементарные процессы. Пусть электроны посылаются один за другим по направлению к крошечным отверстиям. Слово «электрон» употребляется здесь ради определенности; наши рассуждения справедливы также и для фотонов.

Один и тот же эксперимент повторяется много раз совершенно одинаковым образом; все электроны имеют одинаковую скорость и движутся в направлении к двум отверстиям. Едва ли нужно напоминать, что это идеализированный эксперимент, который нельзя выполнить в действительности, но который легко можно себе представить. Мы не можем выбрасывать отдельные фотоны или электроны в заданные моменты времени, подобно пулям из ружья.

Результатом серии повторенных экспериментов снова должны быть темные и светлые кольца в случае одного отверстия и темные и светлые полосы в случае двух. Но имеется одно существенное отличие. В случае одного индивидуального электрона результат эксперимента был непонятен. Его легче понять, когда эксперимент повторяется много раз. Теперь мы можем сказать, что светлые полосы появляются там, где падает много электронов. Полосы становятся темнее в тех местах, в которых падает меньше электронов. Совершенно темное пятно означает, что в это место не попал ни один из электронов. Мы, конечно, не можем считать, что все электроны проходят через одно из отверстий. Если бы это было так, то было бы безразлично, закрыто другое отверстие или нет. Но мы уже знаем, что в том случае, когда второе отверстие закрыто, мы получаем совершенно другой результат. Так как частица неделима, то мы не можем представить себе, что она проходит через оба отверстия. Тот факт, что эксперимент был повторен много раз, указывает на другой выход. Некоторые электроны могли пройти через первое отверстие, а другие через второе.

Мы не знаем, почему индивидуальные электроны выбирают то или иное отверстие, но конечный результат целой серии экспериментов должен показать, что оба отверстия участвуют в пропуске электронов от источника к экрану. Если мы устанавливаем только то, что происходит с совокупностью электронов, когда эксперимент повторяется, не обращая внимания на поведение индивидуальных частиц, то различие между двумя картинами – дифракционные кольца и дифракционные полосы – становится понятным. Рассмотрение последовательности экспериментов породило новую идею о совокупности, состоящей из индивидуальностей, поведение которых нельзя предсказать.

Мы не можем предсказать поведение одного индивидуального электрона, но мы можем предсказать, что в конечном результате на экране будут появляться светлые и темные полосы.

Оставим на время квантовую физику.

В классической физике мы видели, что если мы знаем координаты и скорость материальной точки в известный момент времени и действующие на нее силы, мы можем предсказать ее будущую траекторию. Мы видели также, как механистическая точка зрения применялась к кинетической теории вещества. Но в этой теории из наших рассуждений возникает новая идея. Для полного понимания последующих доводов полезно эту идею освоить.

Пусть имеется сосуд, содержащий газ. При попытке проследить движение каждой частицы нужно было бы начать с нахождения начальных состояний, т. е. начальных координат и скоростей всех частиц. Даже если бы это было возможно, то человеческой жизни не хватило бы только для того, чтобы записать результат на бумаге, так как нужно было бы рассмотреть огромное количество частиц. Если бы мы затем попытались применить известные методы классической механики для подсчета конечных положений частиц, трудности были бы непреодолимы. Принципиально возможно воспользоваться методом, применяемым для рассмотрения движения планет, но практически этот метод бесполезен и должен уступить место статистическому методу. Этот метод не требует какого-либо точного знания начальных состояний. Мы меньше знаем о системе в любой данный момент и, следовательно, меньше имеем возможностей сказать что-либо о ее прошлом или будущем. Нам безразлична судьба индивидуальных частиц газа. Наша задача другого характера. Мы, например, не спрашиваем: «Какова скорость каждой частицы в данный момент?» Но мы спрашиваем: «Сколько частиц имеют скорость между 1000 и 1100 метрами в секунду?» Мы не заботимся об отдельных индивидуумах. То, что мы желаем определить, суть средние значения, характеризующие всю совокупность. Ясно, что статистический метод рассуждения можно провести лишь тогда, когда система состоит из очень большого числа индивидуумов.

Применяя статистический метод, мы не можем предсказать поведение отдельного индивидуума совокупности. Мы можем только предсказать вероятность того, что он будет вести себя некоторым определенным образом. Если наши статистические законы говорят нам, что одна треть частиц имеет скорость между 1000 и 1100 метрами в секунду, то это означает, что, повторяя наблюдения над многими частицами, мы действительно получим в среднем этот результат, или, иными словами, это означает, что вероятность нахождения частицы со скоростью внутри этого интервала равна одной трети.

Точно так же знание числа рождений в большом обществе еще не означает знания того, что какая-то отдельная семья осчастливлена рождением ребенка. Это означает лишь знание статистических результатов, в которых вклад отдельных личностей не играет роли.

Наблюдая за номерами большого числа вагонов, мы скоро заметим, что одна треть этих номеров делится на три. Но мы не можем предсказать, будет ли номер вагона, который пройдет в следующий момент, обладать этим свойством или нет. Статистические законы можно применять только к большим совокупностям, но не к отдельным индивидуумам, образующим эти совокупности.

Теперь мы можем вернуться к нашим квантовым проблемам.

Законы квантовой физики суть законы статистического характера. Это означает, что они относятся не к одной индивидуальной системе, а к совокупности идентичных систем; они не могут быть подтверждены измерением, проделанным над отдельным индивидуумом, а подтверждаются лишь серией повторных измерений.

Радиоактивный распад является одним из многих явлений, для которых квантовая физика пытается сформулировать законы, управляющие самопроизвольным превращением одного элемента в другой. Мы знаем, например, что в течение 1600 лет половина грамма радия распадается, а половина остается. Мы можем предсказать, сколько приблизительно атомов распадется в следующие полчаса, но мы не можем сказать даже в нашем теоретическом описании, почему именно эти отдельные атомы обречены на гибель. Согласно нашим современным знаниям, мы не имеем средств, чтобы указать индивидуальный атом, осужденный на распад. Судьба атома не зависит от его возраста. Нет ни малейшего следа законов, управляющих их индивидуальным поведением. Можно сформулировать только статистическое законы, законы, управляющие большими совокупностями атомов.

Возьмем другой пример. Пусть спектр светящегося газа некоторого элемента, помещенного перед спектроскопом, состоит из линий определенных длин волн. Появление дискретной серии волн определенных длин является характеристикой атомных явлений, в которых обнаруживается существование элементарных квантов.

Но имеется еще и другая сторона этой проблемы. Некоторые из спектральных линий очень ярки, а другие слабы. Линия ярка, если испускается сравнительно большое число фотонов, относящихся к этой отдельной длине волны; линия слаба, если испускается сравнительно небольшое число фотонов, относящихся к этой длине волны. Утверждения теории опять имеют лишь статистический характер. Каждая линия соответствует переходу от более высокого уровня энергии к более низкому. Теория сообщает нам лишь вероятности каждого из этих возможных переходов, но ничего не говорит о действительном переходе какого-либо индивидуального атома. Теория действует великолепно, потому что во всех этих явлениях участвуют большие совокупности, а не отдельные индивидуумы.

Кажется, что новая квантовая физика имеет некоторое сходство с кинетической теорией материи: обе они – статистического характера и обе относятся к большим совокупностям. Но это не так! В этой аналогии очень важно увидеть не только сходство, но и различие. Сходство между кинетической теорией вещества и квантовой физикой лежит, главным образом, в их статистическом характере. Но каковы различия?

Если мы хотим знать, сколько мужчин и женщин в возрасте свыше двадцати лет проживает в городе, мы должны дать каждому гражданину заполнить анкету с вопросами: «мужчина», «женщина», «возраст». Предполагая, что каждый ответ правильный, мы можем, подсчитав и распределив ответы, получить результат статистического характера. При этом индивидуальные имена и адреса, указанные в ответе, не будут приняты во внимание. Наш статистический вывод получен на основе ознакомления с каждым отдельным индивидуумом. Подобно этому в кинетической теории материи мы имеем статистические законы, управляющие поведением совокупностей, полученные на основе индивидуальных законов.

Но в квантовой физике положение дел совершенно другое. Здесь статистические законы даны непосредственно. Индивидуальные законы исключены. В примере фотона или электрона, проходящих через два отверстия, мы видели, что мы не можем описать возможное движение элементарных частиц в пространстве и времени так, как мы это делали в классической физике.

Квантовая физика отказывается от индивидуальных законов элементарных частиц и устанавливает непосредственно статистические законы, управляющие совокупностями. На базе квантовой физики невозможно описать положения и скорости элементарной частицы или предсказать ее будущий путь, как это было в классической физике. Квантовая физика имеет дело только с совокупностями, и ее законы суть законы для толпы, а не для индивидуумов.

Жесткая необходимость, а не спекуляция или желание новизны вынуждает нас изменять старые классические взгляды. Трудности применения старых взглядов были очерчены лишь для одного примера, для дифракционных явлений. Но можно было бы указать и многие другие, одинаково убедительные примеры. Наша попытка понять реальность вынуждала нас к непрерывному изменению взглядов. Но всегда лишь будущему предстоит решить, избрали ли мы единственный возможный выход и было ли найдено наилучшее разрешение всех трудностей.

Мы должны были отказаться от описания индивидуальных случаев, как объективных явлений в пространстве и времени; мы должны были ввести законы статистического характера. Они являются основной характеристикой современной квантовой физики.

Раньше, когда мы указывали на новые физические реальности, на электромагнитное поле и поле тяготения, мы стремились в общих словах описать характерные черты уравнений, посредством которых идеи формулировались математически. То же самое мы сделаем теперь с квантовой физикой, касаясь только очень кратко работ Бора, де Бройля, Шредингера, Гейзенберга, Дирака и Борна.

Рассмотрим случай одного электрона. Электрон может находиться под влиянием произвольного внешнего электромагнитного поля или же быть свободным от всех внешних воздействий. Он может двигаться, например, в поле атомного ядра или может дифрагировать, проходя через кристалл. Квантовая физика учит нас, как формулировать математические уравнения для любой из этих проблем.

Мы уже указывали на аналогию между колеблющейся струной, мембраной барабана, духовым инструментом или любым другим музыкальным инструментом, с одной стороны, и излучающим атомом – с другой. Имеется некоторое сходство и между математическими уравнениями, управляющими акустическими проблемами, и уравнениями, управляющими проблемами квантовой физики. Но опять физическое толкование величин, используемых в этих случаях, совершенно различно. Физические величины, описывающие колеблющуюся струну и излучающий атом, имеют совершенно разный смысл, несмотря на некоторое формальное сходство в уравнениях. В случае струны мы спрашиваем об отклонении произвольной точки от ее нормального положения в произвольный момент времени. Зная форму колеблющейся струны в данный момент, мы знаем все, что нам надо. Отклонение от нормального положения для любого другого момента можно рассчитать из математических уравнений для колеблющейся струны. Тот факт, что некоторое определенное отклонение от нормального положения соответствует каждой точке струны, выражается более строго следующим образом: в любой момент времени отклонение от нормального положения есть функция координат струны. Все точки струны образуют одномерный континуум, и отклонение есть функция, определенная в этом одномерном континууме; оно может быть подсчитано из уравнения колебаний струны.

Аналогично, в случае электрона некоторая функция определена в любой точке пространства в любой момент времени. Назовем эту функцию волной вероятности. В нашей аналогии волна вероятности соответствует отклонению от нормального положения в акустической задаче. Волна вероятности для данного момента есть функция трехмерного континуума, в то время как в случае струны отклонение для данного момента времени есть функция одномерного континуума. Волна вероятности образует каталог наших сведений о квантовой системе и позволяет нам ответить на все разумные вопросы, относящиеся к этой системе. Она не говорит нам о положении и скорости электрона в любой момент времени, ибо такой вопрос не имеет смысла в квантовой физике. Но она говорит нам о вероятности встретить электрон в том или ином месте или говорит нам о том, где мы имеем наибольший шанс встретить электрон. Результат относится не к одному, а ко многим повторяющимся измерениям.

Таким образом, уравнения квантовой физики определяют волну вероятности так же, как уравнения Максвелла определяют электромагнитное поле, а гравитационные уравнения определяют поле тяготения. Законы квантовой физики суть опять-таки структурные законы. Но смысл физических понятий, определяемых этими уравнениями квантовой физики, гораздо более абстрактен, чем в случае электромагнитного поля и поля тяготения; они дают только математическое средство для разрешения вопросов статистического характера.

До сих пор мы рассматривали электрон в некотором внешнем поле. Если бы это был не электрон, наименьший из возможных зарядов, а некоторый заметный заряд, содержащий биллион электронов, мы могли бы отбросить всю квантовую теорию и трактовать задачу согласно нашей старой доквантовой физике. Говоря о токах в проводниках, о заряженных проводниках, об электромагнитных волнах, мы можем применять нашу старую простую физику, содержащуюся в уравнениях Максвелла. Но мы не можем этого делать, когда говорим о фотоэлектрическом эффекте, об интенсивности спектральных линий, радиоактивности, дифракции электронных волн и о многих других явлениях, в которых обнаруживается квантовый характер вещества и энергии. Тогда мы должны, так сказать, идти этажом выше. В то время как в классической физике мы говорили о координатах и скоростях одной частицы, теперь мы должны рассматривать волны вероятности в трехмерном континууме, соответствующие этой задаче об одной частице.

Если мы раньше учились, как толковать задачу с точки зрения классической физики, то квантовая механика дает свой собственный рецепт толкования аналогичной задачи.

Для одной элементарной частицы, электрона или фотона, мы имеем волны вероятности в трехмерном континууме, характеризующие статистическое поведение системы, если эксперименты часто повторяются. Но как дело обстоит в случае не одной, а двух взаимодействующих частиц, например двух электронов, электрона и фотона или электрона и ядра? Мы не можем рассматривать их отдельно и описывать каждый из них с помощью волны вероятности в трех измерениях именно благодаря их взаимодействию. В самом деле, не очень трудно догадаться, как следует описывать в квантовой механике систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Мы должны спуститься на один этаж, вернуться на минуту к классической физике. Положение двух материальных точек в пространстве в любой момент характеризуется шестью числами, по три для каждой точки. Все возможные положения двух материальных точек образуют шестимерный континуум, а не трехмерный, как это было в случае одной точки. Если мы теперь снова поднимемся на один этаж, к квантовой физике, мы будем иметь волны вероятности в шестимерном, а не в трехмерном континууме, как это было в случае одной частицы. Аналогично этому для трех, четырех и более частиц волны вероятности будут функциями в континууме девяти, двенадцати и более измерений.

Это ясно показывает, что волны вероятности более абстрактны, чем электромагнитное и гравитационное поля, существующие и распространяющиеся в нашем трехмерном пространстве. Континуум многих измерений образует основу для волн вероятности, и только для одной частицы число измерений становится равным числу измерений физического пространства. Единственное физическое значение волны вероятности состоит в том, что она позволяет нам дать ответ на разумные вопросы статистического характера как в случае многих частиц, так и в случае одной. Так, например, в случае одного электрона мы могли бы спросить о вероятности нахождения электрона в некотором определенном месте. Для двух частиц наш вопрос был бы таким: какова вероятность встречи двух частиц в двух данных местах в данный момент времени?

Наш первый отход от классической физики состоял в отказе от описания индивидуальных случаев, как объективных событий в пространстве и времени. Мы были вынуждены использовать статистический метод с его волнами вероятности. Встав однажды на этот путь, мы вынуждены и дальше идти путем абстракций. Необходимо было ввести и волны вероятности во многих измерениях, соответствующие задаче о многих частицах.

Ради краткости назовем все, кроме квантовой физики, физикой классической. Классическая и квантовая физика различаются радикально. Классическая физика видит свою цель в описании объектов, существующих в пространстве, и в формулировке законов, управляющих их изменениями во времени. Но явления, обнаруживающие дискретную и волновую природу вещества и излучения, несомненный статистический характер таких элементарных явлений, как радиоактивный распад, дифракция, испускание спектральных линий и многие другие, вынуждают нас отказаться от этого взгляда. Квантовая физика не ставит своей целью описание индивидуальных объектов в пространстве и их изменений во времени. В квантовой физике нет места таким утверждениям, как: «этот объект таков-то, он имеет такое-то свойство». Вместо этого мы имеем утверждения такого рода: «Имеется такая-то вероятность того, что индивидуальный объект таков-то и что он имеет такое-то свойство». В квантовой физике нет места для законов, управляющих изменениями индивидуального объекта во времени. Вместо этого мы имеем законы, управляющие изменениями вероятности во времени. Только это фундаментальное изменение, внесенное в физику квантовой теорией, сделало возможным адекватное объяснение событий, несомненно дискретного и статистического характера, в той области явлений, в которой обнаруживают свое существование элементарные кванты вещества и излучения.

Однако возникают новые, еще более трудные проблемы, пока еще не сформулированные ясно. Мы напомним лишь некоторые из этих нерешенных проблем. Наука не является и никогда не будет являться законченной книгой. Каждый важный успех приносит новые вопросы. Всякое развитие обнаруживает со временем все новые и более глубокие трудности.

Мы уже знаем, что в простом случае одной или многих частиц мы можем перейти от классического к квантовому описанию, от объективного описания событий в пространстве и времени к волнам вероятности. Но мы помним весьма важное понятие поля в классической физике.

Как описать взаимодействие между элементарным квантом вещества и полем? Если для квантового описания десяти частиц необходима волна вероятности в тридцати измерениях, то для квантового описания поля была бы необходима волна вероятности с бесконечным числом измерений. Переход от классического понятия поля к соответствующей проблеме волн вероятности в квантовой физике – это очень трудный шаг. Поднятие на один этаж здесь – нелегкая задача, и все сделанные до сих пор попытки разрешить эту проблему следует считать неудовлетворительными. Имеется и еще одна фундаментальная проблема. Во всех наших рассуждениях о переходе от классической физики к квантовой мы употребляли прежнее, дорелятивистское описание, в котором пространство и время трактуются раздельно.

Однако если мы пытаемся начать с классического описания, как оно предлагается теорией относительности, то переход к квантовой задаче оказывается гораздо более сложным. Это вторая проблема, над которой бьется современная физика и которая еще далека от полного и удовлетворительного разрешения. Есть еще другая трудность в создании последовательной физики тяжелых частиц, составляющих ядро. Несмотря на множество экспериментальных данных и множество попыток бросить свет на проблему ядра, мы еще находимся в неведении относительно некоторых наиболее фундаментальных вопросов в этой области.

Нет сомнения, что квантовая физика объяснила очень богатое разнообразие фактов, достигая в большинстве случаев блестящего согласия между теорией и наблюдением. Новая квантовая физика уводит нас еще дальше от старого механистического воззрения, и отступление к прежнему положению кажется теперь, более чем когда-либо, неправдоподобным. Но нет также никакого сомнения и в том, что квантовая физика все еще должна будет базироваться на двух понятиях – на понятиях вещества и поля. В этом смысле она – дуалистическая теория, которая не приближает ни на один шаг реализацию нашей старой проблемы – свести все к понятию поля.

Пойдет ли дальнейшее развитие по линии, избранной в квантовой физике, или же более вероятно то, что в физику будут введены новые революционные идеи? Не сделает ли дорога прогресса вновь крутой поворот, как она часто делала это в прошлом?

За последние несколько лет все трудности квантовой физики сконцентрировались вокруг нескольких принципиальных пунктов. Физика нетерпеливо ожидает их разрешения. Однако невозможно предсказать, когда и где эти трудности будут преодолены.