Остроградский и Гаусс История одного интеграла

Формула (теорема) Гаусса – Остроградского – это математическая формула, выражающая поток непрерывно дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объему, ограниченному этой поверхностью. Формула применяется для преобразования объемного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности. Впервые теорема была сформулирована Лагранжем в 1762 г.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813 и 1830 гг.) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив ее в виде теоремы, опубликованной в 1831 году. Обобщение формулы для нескольких измерений М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. Эта формула обычно называется «теоремой о дивергенции», иногда – формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса – Остроградского».

Справедливость наполовину восторжествовала. В этом частном случае.

Комета Галлея: две тысячи лет наблюдений

Кометы – пожалуй, самые экзотические тела солнечной системы. Охота за ними давно уже стала довольно распространенным увлечением среди астрономов-любителей. Не последнюю роль здесь играет то, что неизвестная комета получает имя ее первооткрывателя. К настоящему времени зарегистрировано больше 2 тыс. комет. Источником комет считается облако Оорта, окружающее Солнце на расстоянии порядка 100 тыс. астрономических единиц (1 а. е. = 149 600 000 км).

Большая часть этих небесных тел, однажды пролетев вблизи Солнца, никогда больше назад не возвращается. Другие же, захваченные гравитацией Солнца и планет, переходят на эллиптические орбиты и становятся периодическими. Кометы принято делить на долгопериодические (с периодом обращения больше 200 лет) и короткопериодические, их всего около 150.

Около 100 короткопериодичесих комет являлись на памяти человечества к Солнцу неоднократно. Яркие кометы, которые невооруженным глазом легко найти на небе, появляются раз в 15–20 лет. Кометы с очень малым периодом обращения, меньше 20 лет, – их еще иногда называют кометами Юпитера – недолговечны.

Ядра комет представляют собой глыбы неправильной формы, образованные в основном изо льда и замерзших газов – метана и аммиака, размером порядка 10 км. При появлении вблизи Солнца ядро начинает испаряться, что приводит к появлению украшений кометы, так называемой комы, которая может быть по размерам сравнима с диаметром Солнца, и кометного хвоста, длина которого может превышать расстояние от Земли до Солнца. Это же явление и служит главной причиной гибели комет: чем чаще пролетает комета вблизи Солнца, тем меньше ее время жизни (оно может составлять всего несколько сот оборотов).

Кометы наблюдались с древних времен. В античности, следуя Аристотелю, считали, что кометы представляют собой атмосферные явления. Только в 1577 году Тихо Браге удалось доказать, что расстояние до комет превышает расстояние до Луны. Однако до открытия закона всемирного тяготения Ньютоном астрономы не могли объяснить странное поведение периодических гостий – их внезапные появления и исчезновения. К тому же гелиоцентрическая система Коперника (1543 г.) с трудом пробивала себе дорогу. В этом плане интересна изворотливость в изложении мысли, проявленная Галилео Галилеем в произведении «Пробирщик» (1623 г.). Галилео тогда находился под присмотром инквизиции, но все же смог написать: «Так как приписываемое Земле движение, которое я в качестве благочестивого католика считаю совершенно ложным и не соответствующим истине, прекрасно объясняет массу различных явлений, то я полагаю, что при всей своей ложности оно до некоторой степени объясняет явления комет».

Исаак Ньютон утверждал, что кометы также должны подчиняться закону всемирного тяготения – ведь они обычные небесные тела. Он предположил, что эти тела движутся по параболическим орбитам, и показал, как по трем наблюдениям можно определить параметры такой орбиты. Ньютон применил метод расчета к кометам, наблюдавшимся в 1680 и в 1682 годах, – их путь на небе полностью совпал с вычисленным по новой теории.

Дальнейшее исследование комет связано с именем друга Ньютона – Эдмунда Галлея.

Как удалось установить, человечество неоднократно сталкивалось с кометой Галлея. Примерно каждые 77 лет она появлялась на небе, и эти появления были зафиксированы в многочисленных летописях, на картинах, гобеленах, в литературных произведениях.

История кометы Галлея, теряющаяся в глубине веков, уже 300 лет интересует астрономов. За это время были изучены европейские, китайские, японские, вьетнамские хроники, русские летописи, накоплен богатый исторический материал о появлении комет, из которого путем тщательного и скрупулезного анализа удалось выделить то, что относится к комете Галлея. Кометная астрономия не знает ни одной периодической кометы, для которой удалось бы в хрониках найти до ее открытия хотя бы одно упоминание. И только комета Галлея удостоилась этой чести, ее история, ее движение с большой точностью теперь прослежены в прошлое не на одну, не на две, а более чем на две тысячи лет!

Эдмунд Галлей (1656–1742) – английский астроном, один из руководителей обсерватории в Гринвиче, математик, востоковед, геофизик, инженер, мореплаватель, переводчик, издатель, дипломат. Он жил в бурную, богатую научными и общественно-политическими событиями эпоху. Был другом Ньютона, который, открыв закон всемирного тяготения, считал, что кометы движутся вокруг Солнца по параболическим орбитам в соответствии с этим законом. Ньютон опубликовал методику расчета этих орбит, и, используя эту методику, Галлей рассчитал орбиты для большого числа комет, появление которых было зафиксировано к тому времени, то есть наблюдавшихся в промежутке с 1337 по 1698 год. По результатам работы в 1705 году Галлей опубликовал «Обзор кометной астрономии». Эта работа, как пишет он сам, стала «плодом обширного и утомительного труда».

В результате расчетов выяснилось, что орбиты трех комет, появлявшихся соответственно в 1531, 1607 и 1682 годах, весьма схожи между собой. О существовании периодических комет в то время никто еще не подозревал. Галлей вычислял орбиты, предполагая, что кометы движутся по очень вытянутым эллипсам, близким к параболам. Из этого можно было сделать два вывода: либо допустить, что в пространстве по параболическим орбитам, очень близким друг к другу, движутся три кометы, что является чрезвычайно маловероятным совпадением, либо предположить, что это появление одной и той же кометы. И Галлей делает чрезвычайно смелое, необычное для того времени предположение.

«Довольно многое заставляет меня думать, – пишет он, – что комета 1531 года, которую наблюдал Аппиан, тождественна комете 1607 года, описанной Кеплером и Лонгомонтаном, а также той, которую я сам наблюдал в 1682 году: все элементы сходятся в точности, а разность периодов не столь велика, чтобы ее нельзя было приписать каким-нибудь физическим причинам». Определив среднюю величину периода для этой кометы, Галлей нашел, что она должна вернуться к перигелию либо в конце 1758-го, либо в начале 1759 года. Удостовериться в этом ему не удалось – он умер в 1742 году.

Вся последующая история кометы Галлея и ее появление в 1759 году связаны с именем Алекси Клеро (1713–1765), одного из самых выдающихся математиков Франции, в 25 лет ставшего академиком.

По предложению Жозефа Лаланда (1732–1807), члена Парижской Академии наук, Клеро первоначально собирался, руководствуясь идеей Галлея, учесть влияние Юпитера лишь на небольшой части орбиты кометы, в то время, когда оба тела близки друг к другу. Позже было обнаружено, что точное решение задачи невозможно без учета влияния Сатурна, масса которого лишь в три раза меньше массы Юпитера. Объем задачи и связанные с нею трудности, казалось, превосходили человеческие силы.

В процессе этого труда Клеро разработал первый математический метод численного исследования движения кометы в поле тяготения Солнца с учетом возмущений от двух больших планет – Юпитера и Сатурна. Для помощи в проведении вычислений Клеро обратился к Лаланду, обладавшему большим опытом вычислений, который, в свою очередь, привлек к этой работе Николь-Рейн Лепот, урожденную Этабль де Лабрийер (1723–1788).

Благодаря самоотверженному и героическому труду этого замечательного трио гигантская по своим масштабам работа была закончена вовремя. Правда, в течение полугода все трое работали, не щадя здоровья и сил и не считаясь со временем, все отдавая вычислениям.

Пришел, наконец, долгожданный 1758 год. Все астрономы мира жаждали получить подтверждение предположения, высказанного Галлеем. Честь первого наблюдения кометы выпала на долю немецкого астронома-любителя Палича. В рождественскую ночь 1758 года ему посчастливилось поймать эту комету в объектив своего небольшого телескопа. Это был первый случай удачного поиска кометы астрономом-любителем. А также первый успех в использовании телескопа для поиска комет.

Таким образом, был установлен факт существования короткопериодических комет, которые, подобно Венере, Юпитеру, Земле и другим планетам, являются членами Солнечной системы, движущимися в космическом пространстве вокруг Солнца под действием его притяжения. Впоследствии комета появлялась и приближалась к Солнцу в 1835, 1910 и 1986 годах.

В память о заслугах Галлея комета стала носить его имя. Однако ни имени Клеро, ни имени Лаланда, подтвердивших теоретические построения Галлея, сейчас никто, кроме историков науки, не помнит.