История математики и закон Стиглера на ярких примерах

Кто придумал правило Лопиталя

Любому студенту математического вуза, да и технического тоже, наверняка знакомы имя Лопиталя и его знаменитые правила для вычисления пределов. Это правило названо в честь французского математика XVII века Гийома Франсуа Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, первую книгу по дифференциальному исчислению. Книга состоит из десяти разделов. Девятый раздел, среди прочего, включает в себя то, что сейчас называется правилом Лопиталя.

Работа в свое время имела большой успех и в XVIII веке несколько раз переиздавалась. Во введении автор признает свой долг перед Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, говоря, что «свободно использовал их открытия». Лопиталь утверждает, что роль Лейбница в анализе близка к роли Ньютона, но он предпочитает пользоваться концепцией первого, «поскольку его изложение более простое и прямое». О Бернулли, однако, он не сказал больше ни слова, упомянув только, что тот является профессором в Гронингене.

Так кто же был Иоганн Бернулли и почему маркиз де Лопиталь считал себя его должником?

Десятый ребенок в семье Бернулли, Иоганн изучал медицину в университете Базеля. Уроки же математики ему давал старший брат Якоб, с которым он вскоре сравнялся в знаниях. В 1691 году Иоганн принял участие в своей первой математической дуэли – решении задачи о выводе уравнения цепной линии. Младший брат Якоба решил задачу столь быстро, что потряс своих современников.

В Париже Иоганн Бернулли знакомится с маркизом де Лопиталем, в то время одним из наиболее выдающихся французских математиков. Лопиталь, в свою очередь, был поражен талантом молодого Бернулли и его мастерством владения дифференциальным и интегральным исчислениями, которые описал другой великий математик, Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лопиталь, сознавая свое незнание, за приличное вознаграждение нанимает Иоганна, чтобы тот открыл ему тайны нового исчисления. Вскоре Иоганн был вынужден вернуться в Базель, но обещал никому не говорить о занятиях с маркизом. Уроки продолжались, но теперь по переписке.

Бернулли воспользовался возможностью скопировать письма: у него возникла идея подготовить и опубликовать курс анализа. Но ученик опередил учителя. Используя уроки Иоганна, Лопиталь публикует в 1696 году первую работу по дифференциальному исчислению Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes («Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий»).

Иоганн, как и обещал маркизу, молчал и не требовал признания своего авторства. Но в частном порядке посетовал, что открытия Лопиталя являются наглым плагиатом. Вот его слова из письма к Лейбницу в 1698 году: «…за исключением нескольких страниц, все остальное он получил от меня в письменной форме […] Его главное достоинство в том, что он упорядочил и аккуратно изложил по-французски все, что я беспорядочно писал для него, частично на французском языке и частично на латыни». Только после смерти маркиза в 1704 году Бернулли несколько возместил утраченное, опубликовав многие результаты, в частности и правило Лопиталя.

Но Иоганну повредила его репутация смутьяна. Он ожесточенно соперничал и со своим братом и учителем Якобом, и с собственным сыном Даниилом, которому тоже преподавал. Он также активно участвовал в полемике Ньютона и Лейбница, связанной с приоритетом открытия дифференциального исчисления, и был на стороне Лейбница. А вот научная репутация маркиза была безупречна. Претензии Иоганна не привели ни к чему и вскоре были забыты.

Первые признаки того, что претензии Иоганна могут быть справедливыми, появились в 1922 году: в библиотеке Базеля нашли экземпляр курса Иоганна Cа`lculo diferencial («Дифференциальное исчисление»), который никогда не был опубликован. Его сравнение с книгой Лопиталя подтверждает горькие слова из письма.

Впрочем, окончательно определенность появилась только в 1955 году – тогда была обнаружена первая переписка между Бернулли и Лопиталем. Затем нашлось и необычное предложение, которое 17 марта 1694 года маркиз де Лопиталь сделал Иоганну Бернулли:

«Я Вам с удовольствием предоставлю содержание в 300 ливров, начиная с 1 января этого года, и пришлю Вам 200 ливров за первую часть года, за обзоры, которые Вы отправили, и дам еще 150 ливров за вторую половину этого года, так будет и дальше. Я обещаю, что эти суммы в ближайшее время увеличатся, так как я понимаю, что они скромные, и я это сделаю, как только мои дела прояснятся… Я не так неразумен, чтобы претендовать на все Ваше время, но прошу иногда уделять несколько часов, чтобы ответить на мои вопросы и чтобы сообщить мне о своих открытиях с условием не рассказывать о них другим. Также сообщаю, что не буду посылать Вариньону или другим копии этих записей, поскольку мне это не нравится. Ответьте мне на это».

Ответ Бернулли не сохранился, но вполне логично, что он согласился на сделку, – ему тогда было всего 24 года, и он был безработным. В последующих письмах Бернулли отвечал маркизу на его вопросы. Одно из них и содержит «правило Лопиталя». Даже примеры, приведенные Бернулли, практически идентичны тем, что были включены в работу маркиза. Правда, истины ради следует признать, что Лопиталь исправил некоторые ошибки, допущенные Бернулли.

Иоганн Бернулли умер в возрасте 80 лет. В его большое математическое наследие лишь немногие включают то, что сегодня мы называем правилом Лопиталя.