Говоря о непостижимой эффективности математики, мы неоднократно упоминали о поразительной способности математических методов описывать реальный мир. Численное моделирование позволяет не просто воспроизводить в компьютере отдельные экземпляры или ситуации, но и создавать искусственные галактики и вселенные, конечно во многом упрощенные и идеализированные. Однако даже такое моделирование позволяет эффективно использовать математические методы для детального сопоставления предсказаний и данных наблюдений. В астрофизике одним из успешных и общеизвестных методов подобных исследований является популяционный синтез.

Суть метода состоит в воспроизведении свойств одной или нескольких популяций астрономических объектов. Для этого задаются начальные условия (например, параметры объектов при рождении или параметры среды, в которой что-то будет происходить) и законы эволюции. Естественно, и начальные распределения, и законы эволюции обычно задаются в виде аналитических математических выражений (иногда используются и таблицы, но это просто значит, что в конечном счете они были рассчитаны на основе каких-то аналитических соотношений). Вид этих формул и значения коэффициентов, входящих в них, могут быть как обусловлены чисто теоретическими соображениями, так и следовать из данных наблюдений.

Когда все уравнения заданы, можно начинать моделировать. Как правило, моделируется именно эволюция с каким-то шагом по времени, который может меняться, быть разным для разных объектов и т. д. Как бы то ни было, искусственная популяция начинает жить своей идеальной жизнью. На каждом шаге параметры с предыдущего шага пересчитываются, согласно заданным законам, их изменения со временем, если надо, учитывается, как объекты взаимодействуют друг с другом, и… делается новый шаг.

Величина шага определяется скоростью изменения объектов. Чаще всего она достаточно велика, и, чтобы проследить эволюцию на протяжении астрономически интересного времени, требуются миллионы шагов. Если мы моделируем популяцию хотя бы из тысячи объектов (а это обычно мало, чаще бывают миллионы), то получается, что нам нужны уже миллиарды этапов. На каждом из них нужно проделать довольно много вычислений, поэтому нередко для этого используют если не суперкомпьютеры, то хотя бы кластеры. Но кое-что можно посчитать и на ноутбуке.

Представим, что расчеты завершены. У вас в компьютере есть эволюция каких-то объектов. Пусть для начала это будут радиопульсары в нашей Галактике. Идеальные радиопульсары в идеальной Галактике. Теперь мы можем попробовать сравнить их свойства с реальными, наблюдаемыми. Что это нам даст? Мы сможем проверить свои предположения: начальные распределения и законы эволюции. Если «компьютерные» пульсары в целом (как популяция) похожи на своих реальных собратьев, значит, в реальном мире работают те же законы, что были сформулированы для идеального. Таким образом, одной из задач популяционного синтеза является проверка нашего знания о начальных условиях и законах эволюции путем сравнения синтезированных популяций с реальными.

Отметим, что крайне важно сравнивать именно популяции. В астрономии нередко бывает так, что среди источников какого-то типа есть один-два хорошо изученных объекта. Именно под них создаются модели строения и эволюции, а потом оказывается, что эти объекты не слишком типичны для своего класса, и все разваливается, так как не были учтены популяционные аспекты. При работе с большими группами источников мы зачастую не можем перейти на высокий уровень детализации в описании некоторых процессов, зато ухватываем целостную картину. Я бы сказал, что работа с отдельными объектами напоминает психологию, а с популяциями – социологию. И то и другое важно, и то и другое позволяет нам больше узнать о человеке. Так же и с астрономическими источниками: надо использовать и индивидуальный подход, и анализ общих характеристик.

На каждом шаге популяционного синтеза запоминаются не только внутренние параметры объектов. Важно рассчитывать и наблюдаемые величины, например спектральные характеристики, поток излучения от источников и т. д. Именно это и позволяет сопоставлять параметры модели с реальными данными. Однако это нельзя делать напрямую. Причина проста: за редчайшими исключениями не все существующие источники какого-либо типа мы можем наблюдать. Иначе говоря, необходимо также промоделировать наблюдения: сравнивать искусственно созданные и искусственно пронаблюдавшиеся источники с реально возникшими и реально зарегистрированными.

Нужно провести расчеты, позволяющие количественно отразить, как синтетические источники будут наблюдаться конкретными астрономическими инструментами, получившими данные об известных объектах, с которыми мы хотим провести сравнение. Зачастую это очень непростая задача, особенно если наблюдения были довольно разрозненными и проводились на сильно отличающихся друг от друга телескопах.

Еще до начала воспроизведения в расчетах того, как реальные инструменты наблюдали бы источники, нужно рассчитать, как сигнал мог измениться при распространении. Самое очевидное – это уменьшение принимаемого потока излучения с расстоянием. Но могут быть и другие эффекты: поглощение излучения средой, рассеяние сигнала, подмешивание в него сигналов других источников. Наконец, космологическое красное смещение. В конечном счете все это можно с некоторой степенью точности учесть, и тогда мы получаем «искусственную искусственно наблюдаемую вселенную». Теперь мы действительно имеем право сравнить синтезированные наблюдения с реальными и сделать выводы, что и является сутью первой задачи популяционного синтеза.

Вторая его важнейшая задача – предсказания свойств еще не открытых объектов. В первую очередь это важно при планировании новых крупных наблюдательных проектов: важно заранее знать хотя бы примерно, что они смогут увидеть. Это требуется и для оптимизации самих проектируемых инструментов, и для продвижения проекта (ведь чаще всего авторы должны доказывать его целесообразность в конкурентной борьбе с другими претендентами), и для планирования наблюдений (например, совместно с другими установками).

Популяционное моделирование помогает на основе известных свойств объектов предсказать параметры более слабых (т. е. пока не наблюдаемых) объектов. При этом, разумеется, мы уже не проверяем начальные распределения и эволюционные законы, а доверяем им и используем их для получения нового знания. Конечно, доверяя, мы понимаем, что какие-то неточности и неопределенности там все равно остаются, поэтому результаты популяционных расчетов будут отличаться от реальных данных, которые в будущем получит новый инструмент. И тогда мы вернемся к задаче номер один – уточнению распределений и уравнений эволюции.

Например, параметры установок LIGO и VIRGO рассчитывались исходя из данных по известным системам: нейтронная звезда плюс нейтронная звезда. А долгоживущие системы из нейтронной звезды и черной дыры или двух черных дыр неизвестны до сих пор. Тем не менее удалось достаточно точно предсказать ожидаемый темп слияний этих объектов во вселенной, что позволило зарегистрировать сигнал практически сразу же после выхода установок на плановую чувствительность.

А теперь дальнейшие наблюдения гравитационно-волновых всплесков позволяют набрать статистику по таким системам и существенно уточнить модели эволюции тесных двойных систем, используя совершенно новый канал информации. Соответственно, для популяционных расчетов, которые будут проводиться с целью предсказать темп событий на гравитационно-волновых антеннах нового поколения, мы сможем использовать более точные входные данные, а значит, получим и более точные результаты.

В качестве примера рассмотрим более подробно популяционный синтез других объектов – экзопланет. На сегодняшний день самые известные работы в области популяционного синтеза экзопланет относятся к процессу их формирования и ранней эволюции в протопланетном диске. Здесь целью является предсказание свойств сформировавшихся планет, переживших бурный этап роста и миграции в газопылевом диске материнской звезды. Начальными условиями служат параметры звезд и протопланетных дисков. Эволюционные законы связаны с поведением диска, процессами формирования и роста планет и их взаимодействием друг с другом и диском.

Масса звезды определяет гравитационный потенциал на заданном расстоянии от нее (вдобавок масса диска коррелирует с массой звезды). Кроме того, звезда является источником излучения, которое и нагревает диск, и испаряет его, а светимость в первую очередь зависит от массы. Наконец, химический состав звезды задает состав диска, что крайне важно для формирования планет.

Химический состав диска говорит нам, сколько там газа, пыли и льда (это три основные составляющие планет). От него же зависит поглощение излучения в диске, что будет определять распределение температуры в нем. От массы диска зависит, сколько вещества доступно для формирования планет и как они будут перемещаться по диску.

Законы эволюции в случае формирования и ранней истории планетных систем известны плохо. Отчасти этим данная область исследований и интересна – тут много загадок! В деталях пока неясно, как зародыши планет достигают размеров в сотни метров. Плохо понятно, как формирующиеся планеты перемещаются по газопылевому диску за счет гравитационного взаимодействия с ним. Список можно продолжать и продолжать.

Сложность процессов открывает возможность для постепенного совершенствования моделей. Проследив короткую историю популяционных расчетов образования планет, можно увидеть процесс последовательного приближения к все более и более адекватным сценариям. Вначале применяются модели, неизбежно вызывающие воспоминание о «сферическом коне в вакууме», но довольно быстро они начинают усложняться, и «искусственный мир молодых экзопланет» становится все более похожим на мир реальный.

Современные расчеты неплохо воспроизводят многие особенности распределения планет по массам и расстояниям от своих звезд. Однако, с одной стороны, остаются проблемы в согласовании теоретических построений с наблюдениями, а с другой – пока не хватает данных с телескопов для достаточно полной картины. В ближайшие годы продолжающиеся наземные наблюдения изменения лучевых скоростей звезд позволят обнаруживать планеты на довольно больших расстояниях от звезд. Находящийся на орбите спутник TESS откроет тысячи новых экзопланет, в первую очередь с орбитальными периодами меньше нескольких месяцев. Спутник Gaia должен представить свои данные по экзопланетам на основе астрометрических методов. Темп открытий в этой области велик и постоянно растет, поэтому нужны и новые модели популяционного синтеза.

Уже сейчас они учитывают многие детали изменения параметров диска, постепенного роста планет и планетезималей, взаимодействий между ними, миграции планет и т. д. Постепенно становится понятным, в каких частях диска начинают образовываться планеты разных типов.

Условия в разных частях диска отличаются друг от друга. Меняются температура и плотность, меняется состав. Все вместе это приводит и к изменению состояния вещества, от чего зависит процесс роста планет. Важным понятием является так называемая снеговая линия. Обсудим ее подробнее.

Мы уже указали, что три важнейшие составляющие протопланетного диска – газ, пыль и лед. В газовой составляющей доминируют водород и гелий. Это два самых обильных элемента во вселенной в целом, в Галактике, в межзвездной среде, в звездах… В типичном протопланетном диске в начале его эволюции водород и гелий могут составлять до 98–99 % массы. Неудивительно, что самые крупные планеты (как Юпитер в Солнечной системе) состоят в основном из них.

Пыль бывает очень разная, в том числе ледяная, но о ней позже. Начнем с более привычной. В ней могут доминировать углерод, кремний, железо (также будет наличествовать кислород, поскольку в состав пыли могут входить оксиды). Это тугоплавкие частицы, поэтому они выживают даже вблизи звезды (на расстояниях более нескольких звездных радиусов). Элементы, начиная с углерода и дальше, а особенно кремний и железо, составляют незначительную часть массы диска. Но поскольку они способны образовывать пылинки, а те в свою очередь могут слипаться друг с другом и таким образом наращивать массу, то именно они играют ключевую роль в начале процесса формирования планет во внутренних частях диска. Даже Юпитер начинался когда-то с пыли.

Правда, вероятнее всего, с другой пыли. С ледяной. Вдали от звезды такие вещества, как вода, метан, аммиак, могут существовать не в виде газа, а в виде льда. Это крайне важно, потому что их составляющие (водород, углерод, азот) более обильны, чем кремний и железо. Иначе говоря, ледяной пыли больше, чем кремниевой и железной, причем в несколько раз. А именно от пыли зависят первые фазы роста планеты. Поэтому там, где есть ледяная пыль, планеты растут быстрее и вырастают сильнее. Там – это за снеговой линией.

Снеговая линия разделяет области, где данное вещество (вода, метан и т. д.) может или не может формировать пылинки. Граница будет разной для разных веществ, но они довольно близки друг к другу. Кроме того, среди льдов чаще всего доминирует вода (молекула воды – одна из самых распространенных), поэтому для примера можно обсудить только водяной лед.

А теперь дадим совсем несложную оценку (аналогичным способом можно оценить в простейшем случае положение внешней границы зоны обитаемости; для точного расчета границ зоны обитаемости надо учитывать влияние атмосферы планеты и некоторые другие эффекты). Посчитаем, на каком расстоянии от звезды температура освещаемого ею объекта будет равняться нулю по шкале Цельсия.

Предположим, наш объект поглощает все падающее на него излучение (что не совсем точно). Представьте себе концентрические сферы распространения излучения вокруг звезды, начиная с ее радиуса. Разумеется, через каждую сферу проходит одинаковая энергия, т. е. мы можем себе представить, что поверхность звезды испустила какую-то энергию. Затем всю ее поглотила следующая сфера, после чего переизлучила ту же самую энергию дальше. При этом каждая сфера, начиная с поверхности, испускает тепловое излучение. Тогда для их светимости есть простая формула, которую мы уже использовали выше в других приложениях:

Напомним, что здесь L – светимость, T – температура, R – радиус сферы.

Чем дальше мы отдаляемся от звезды, тем ниже температура сферы, а значит, и каждого ее элемента. Следовательно, меньше будет и температура маленького поглощающего излучение объекта. Нам надо найти расстояние, на котором температура упадет до величины, соответствующей замерзанию воды.

Обозначив температуру поверхности звезды T_*, а ее радиус – R_*, получим:

Можем выполнить упражнение: подставим в формулу температуру и радиус Солнца (5800К и 696 000 км) и получим, что 273К (около ноля по Цельсию) достигается примерно на расстоянии 2 а.е. Параметры молодого Солнца отличались от теперешних, но качественно оценка остается верной: для звезд, похожих на молодое Солнце, снеговые линии находятся (для разных веществ) на расстоянии от 2 до 4 а.е. Соответственно, сразу за снеговой линией должно идти активное формирование планет, потому что там и ледяная пыль уже есть, и плотность вещества еще высока (она уменьшается с удалением от звезды).

Именно за снеговой линией формируются планеты-гиганты. Их ядра успевают быстро набрать массу около 10 земных, и тогда начинается быстрый процесс захвата газа из диска (надо торопиться, звезда своим ультрафиолетовым излучением испаряет диск). А внутри снеговой линии рост планетезималей идет медленнее, да и доступного вещества меньше, поэтому достичь критической массы для начала превращения в газовый гигант не удается. В итоге в Солнечной системе внутри снеговой линии мы видим Меркурий, Венеру, Землю и Марс, а за ней – массивные планеты-гиганты. Приятно, что планеты земного типа образуются как раз в зоне обитаемости! Таким образом, в Солнечной системе мы не видим противоречий с описанным выше сценарием.

Но одно дело – объяснять формирование единственной системы (пусть и очень хорошо изученной), и совсем другое – увязать в целостную картину не только весь комплекс данных по экзопланетам, протопланетным дискам и их звездам, но и наше теоретическое понимание процессов, ответственных за формирование и раннюю эволюцию планетных систем. Сделать это можно только с помощью популяционного синтеза, позволяющего сравнивать созданный нами в компьютере искусственный идеальный мир с миром реальным со всеми его «шероховатостями».