Мир мозаик

Прежде чем мы начнем знакомиться с самой работой, поговорим об одном широко распространенном виде изобразительного искусства. Что такое мозаика, вероятно, знает каждый. Это орнамент или картина, собранная из кусочков какого-либо материала, имеющих всевозможную форму и окраску. Материал кусочков может быть разнообразным: картон (например, пазлы), дерево, керамика, цветное стекло и др. Широко известна мозаика, созданная М.В. Ломоносовым из кусочков смальты (цветное стекло), представляющая собой картину размером 4,2 × 2,7 м, изображающую Петра Первого во время Полтавской битвы (рис. 5.54).

Мозаики имеют большое значение и при решении различных научных вопросов. Вначале ими интересовались лишь математики. Они изучали мозаики, которые составлены из фигур одной формы, причем только таких, которые могут заполнить неограниченную плоскость без зазоров и перекрываний. Таких фигур оказалось немного: правильные треугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы (по существу, это сдвоенные треугольники) и правильные шестиугольники. Мозаики такого типа часто встречаются в повседневной жизни (рис. 5.55).

В отличие от перечисленных выше фигур, плотно замостить плоскость (например, тротуар) пяти-, семи- или десятиугольниками невозможно: они будут либо налезать друг на друга, либо между ними останутся зазоры (рис. 5.56).

У читателя, возможно, возникнет возражение: плоскость можно замостить не только перечисленными выше фигурами (треугольниками, ромбами, квадратами, прямоугольниками и шестиугольниками), но и другими одинаковыми фигурами. Например, можно собрать паркет из пластин с вырезами и выступами, такая конструкция хороша тем, что соединяет паркетины в замок типа «ласточкин хвост» и не позволяет им расползаться (рис. 5.57). Приблизительно так же устроены пазлы, только там отдельные элементы неодинаковы, мы же рассматриваем мозаики, собранные из одинаковых элементов. Существуют и более затейливые мозаики: например, работы широко известного голландского графика Мориса Эшера (рис. 5.58). Как видите, рисунок 5.58 заполнен изображением одной ящерицы.

Какие есть общие признаки во всех мозаиках? Прежде всего, в них соблюдается строгий порядок: отдельные элементы узора (точки на паркете или глаза ящериц) располагаются (в выбранном направлении) на одинаковом расстоянии друг от друга.

Второе важное свойство – каждая мозаика может расширяться во все стороны путем прикладывания одинаковых фрагментов (назовем их условно кафельными плитками) к уже имеющемуся участку мозаики. Такое свойство называют периодичностью, каждая «кафельная плитка» составляет такой период. Итак, это упорядоченные периодические мозаики.

Для того чтобы воспроизвести показанные выше сложные узоры, совсем необязательно изготавливать такие причудливые плитки. На паркете показан прямоугольник, а на мозаике из ящериц – ромб, которые расположены так, что их вершины попадают на одинаковые элементы узора (точки на паркете или правые глаза у ящериц). Если воспроизвести на прямоугольнике или ромбе тот узор, который они охватывают, то получим «кафельные плитки», представляющие собой период, о котором сказано выше. Из таких плиток можно собрать мозаику, точно повторяющую исходный узор. С точки зрения математики такие мозаики весьма просты, у них периоды – прямоугольник или ромб. Итак, нам не удалось получить периодическую мозаику, построенную из каких-то новых фигур, отличающихся от тех, что были упомянуты ранее: треугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы и шестиугольники.

Попробуем составить мозаику из набора разных геометрических фигур: шестиугольника, квадрата и двух различных треугольников (рис. 5.59).

Полученная мозаика отчетливо упорядоченная и периодическая. Если соединить прямыми линиями центры четырехлучевых звездочек (серый квадрат) или центры шестиугольников (белый квадрат), то сможем убедиться, что эта мозаика составлена из квадратных «кафельных плиток», т. е. это обычная «квадратная «мозаика, но только разрисованная причудливым узором.

Окончательный вывод – периодические мозаики можно составлять только из треугольников, ромбов, квадратов, прямоугольников и шестиугольников.

«Заглянуть» внутрь кристалла

История того, как ученые нашли способ изучать строение кристаллов, своеобразна. В конце XVII в. шотландский математик и астроном, предшественник Ньютона Джеймс Грегори (1638–1675), обратил внимание на то, что белый свет, прошедший через птичье перо, приобретает радужную окраску. Это привело к тому, что исследователи стали специально изготавливать решетчатые конструкции, которые позволяли разложить проходящий свет на спектральные составляющие. Такие решетки назвали дифракционными (от лат. diffractus – разломанный, переломанный). В процессе дифракции волна огибает препятствие, но, чтобы такое происходило, само препятствие должно быть по размерам соизмеримо с длиной волны. Ствол дерева, торчащий из воды, не меняет картину волнения на воде, а широкий щит создаст позади себя спокойную поверхность без волн. Когда речь идет о световых волнах, то при прохождении через узкую щель (если размер щели близок к длине волны света) происходит их отклонение, причем угол отклонения зависит от длины волны, свет «расщепляется» на составляющие, потому и возникает радужная картина.

Известно также, что свет превращается в радугу, если проходит через стеклянную призму. Но стекло сильно ослабляет инфракрасную и ультрафиолетовую части спектра, а в дифракционных решетках световые лучи постоянно находятся в одной среде (в воздухе), потому их стали широко использовать в спектроскопии.

Естественно, размер штрихов на дифракционной решетке должен быть близок к длине волны света, в среднем 0,0005 мм. Изготовление таких решеток находится на пределе технических возможностей. Пример дифракционной решетки, распространенной в быту, – компакт-диск с расстоянием между спиральными бороздками 0,0016, 0,00074 или 0,00032 мм (в зависимости от того, какой компакт-диск вы держите в руках – CD, DVD или blu-ray). Как и любая дифракционная решетка, он отражает падающий свет, окрашивая его в радужные цвета.

Длина волны рентгеновых лучей по крайней мере в сотню раз меньше, чем у видимого света, и изготовить подходящую для них дифракционную решетку со столь «мелкой насечкой «технически невозможно. Однако проблему удалось решить. В 1912 г. немецкий физик-теоретик Макс Лауэ сделал смелое предположение: в качестве дифракционной решетки для рентгеновых лучей использовать кристаллы. Сама кристаллическая структура и будет играть роль «мелких насечек», размер которых соизмерим с длиной волны рентгеновского излучения.

В том же 1912 г. предположение Макса Лауэ экспериментально проверили два его студента – В. Фридрих и П. Книппинг. Они пропустили рентгеновы лучи через кристалл медного купороса и получили на фотопластинке дифракционную картину – набор равномерно расположенных светлых точек. С тех пор такие картинки называют лауэграммами (рис. 5.60).

Даже неспециалисту в этой области науки отчетливо видно, что точки одинаковой яркости располагаются по вершинам треугольника, квадрата или шестиугольника.

Если дифракционные решетки для видимого света играли роль полезного инструмента в спектроскопии, то в случае рентгеновых лучей сами дифракционные решетки, т. е. кристаллы, стали объектом изучения. Возникла новая научная дисциплина – кристаллография. В 1914 г. Максу Лауэ была присуждена Нобелевская премия по физике «За открытие дифракции рентгеновых лучей на кристаллах». Альберт Эйнштейн назвал открытие Лауэ одним из самых красивых в физике.