Глава 7
Термодинамика черных дыр

До сих пор мы рассматривали черные дыры как астрофизические объекты, которые образовались при взрывах сверхновых или лежат в центрах галактик. Мы наблюдаем их косвенно, измеряя ускорения близких к ним звезд. Знаменитая регистрация гравитационных волн приемником LIGO 14 сентября 2015 г. стала примером более прямых наблюдений столкновения черных дыр. Математические инструменты, которыми мы пользуемся для достижения лучшего понимания природы черных дыр, таковы: дифференциальная геометрия, уравнения Эйнштейна и мощные аналитические и численные методы, применяемые для решения уравнений Эйнштейна и при описании геометрии пространства-времени, которое порождают черные дыры. И как только мы сможем дать полное количественное описание порождаемого черной дырой пространства-времени, с астрофизической точки зрения тема черных дыр сможет считаться закрытой. В более широкой теоретической перспективе остается еще очень много возможностей для исследования. Цель этой главы – рассказать о некоторых теоретических достижениях современной физики черных дыр, в которых идеи термодинамики и квантовой теории объединяются с общей теорией относительности, порождая неожиданные новые концепции. Основная идея заключается в том, что черные дыры не просто геометрические объекты. У них есть температура, они обладают огромной энтропией и могут демонстрировать проявления квантовой запутанности. Наши рассуждения о термодинамических и квантовых аспектах физики черных дыр будут более отрывочными и поверхностными, чем представленный в предыдущих главах анализ чисто геометрических особенностей пространства-времени в черных дырах. Но и эти, и в особенности квантовые, аспекты являются существенной и жизненно важной частью ведущихся теоретических исследований черных дыр, и мы очень постараемся передать если не сложные детали, то по крайней мере дух этих работ.

В классической общей теории относительности – если говорить о дифференциальной геометрии решений уравнений Эйнштейна – черные дыры являются истинно черными в том смысле, что из них ничто не может выбраться наружу. Стивен Хокинг показал, что эта ситуация полностью меняется, когда мы принимаем во внимание квантовые эффекты: черные дыры, оказывается, испускают излучение определенной температуры, известной как температура Хокинга. Для черных дыр астрофизических размеров (то есть от черных дыр звездных масс до сверхмассивных) температура Хокинга пренебрежимо мала по сравнению с температурой космического микроволнового фона – излучения, заполняющего всю Вселенную, которое, кстати, само может рассматриваться как вариант излучения Хокинга. Расчеты, выполненные Хокингом для определения температуры черных дыр, являются частью более обширной программы исследований в области, называемой термодинамикой черных дыр. Другую большу́ю часть этой программы составляет изучение энтропии черных дыр, которая характеризует количество информации, теряющейся внутри черной дыры. Обычные объекты (такие, как кружка воды, брусок из чистого магния или звезда) тоже обладают энтропией, и одним из центральных утверждений термодинамики черных дыр является то, что черная дыра данного размера обладает большей энтропией, чем любая другая форма материи, которую можно вместить в область такого же размера, но без образования черной дыры.

Но прежде чем мы глубоко погрузимся в разбор проблем, связанных с излучением Хокинга и энтропией черных дыр, давайте предпримем быстрый экскурс в области квантовой механики, термодинамики и запутанности. Квантовая механика была разработана в основном в 1920-х годах, и ее основной целью было описание очень маленьких частиц материи, таких как атомы. Разработка квантовой механики привела к размыванию таких базовых понятий физики, как точное положение индивидуальной частицы: оказалось, например, что положение электрона при его движении вокруг атомного ядра не может быть точно определено. Вместо этого электронам были приписаны так называемые орбиты, на которых их действительные положения могут быть определены только в вероятностном смысле. Для наших целей, однако, важно не переходить к этой – вероятностной – стороне дела слишком быстро. Возьмем простейший пример: атом водорода. Он может находиться в определенном квантовом состоянии. Самое простое состояние водородного атома, называемое основным, – это состояние с наименьшей энергией, и эта энергия точно известна. В более общем смысле, квантовая механика позволяет нам (в принципе) знать состояние любой квантовой системы абсолютно точно. Вероятности выходят на сцену, когда мы задаем определенного вида вопросы о квантово-механической системе. Например, если определенно известно, что атом водорода находится в основном состоянии, мы можем спросить: «Где находится электрон?» и по законам квантовой механики получим на этот вопрос лишь некоторую оценку вероятности, приблизительно что-то вроде: «вероятно, электрон находится на расстоянии до половины ангстрема от ядра атома водорода» (один ангстрем равен 10^–10 метров). Но у нас есть возможность посредством определенного физического процесса найти положение электрона гораздо точнее, чем до одного ангстрема. Этот довольно обычный в физике процесс состоит в том, чтобы запустить в электрон фотон с очень короткой длиной волны (или, как говорят физики, рассеять фотон на электроне) – после этого мы сможем реконструировать местоположение электрона в момент рассеяния с точностью, примерно равной длине волны фотона. Но этот процесс изменит состояние электрона, так что после этого он уже не будет находиться в основном состоянии водородного атома и не будет иметь точно определенной энергии. Зато на некоторое время его положение будет почти точно определено (с точностью до длины волны использованного для этого фотона). Предварительная оценка положения электрона может быть проведена только в вероятностном смысле с точностью около одного ангстрема, но как только мы измерили его, мы точно знаем, чему оно было равно. Короче говоря, если мы некоторым способом измеряем квантово-механическую систему, то, по крайней мере в общепринятом смысле, мы «насильно» придаем ей состояние с определенным значением величины, которую измеряем.

Квантовая механика приложима не только к малым, но и (как мы полагаем) ко всем системам, однако для больши́х систем квантово-механические правила быстро становятся очень сложными. Ключевой концепцией является квантовая запутанность, простым примером которой может служить понятие спина (вращения). Индивидуальные электроны обладают спином, поэтому на практике единичный электрон может иметь спин, направленный вверх или вниз по отношению к выбранной пространственной оси. Спин электрона является наблюдаемой величиной, потому что электрон порождает слабое магнитное поле, подобное полю магнитного бруска. Тогда спин, направленный вверх, означает, что северный полюс электрона указывает вниз, а спин, направленный вниз, означает, что северный полюс «смотрит» вверх. Два электрона могут быть поставлены в сопряженное квантовое состояние, в котором у одного из них спин направлен вверх, а у другого вниз, но сказать, у какого из электронов какой спин, при этом невозможно. В сущности, в основном состоянии атома гелия два электрона находятся именно в таком состоянии, называемом спин-синглетным, так как суммарный спин обоих электронов равен нулю. Если мы разделим эти два электрона, не меняя их спинов, то сможем продолжать утверждать, что они вместе спин-синглетны, но по-прежнему не сможем сказать, каков будет спин у любого из них по отдельности. Вот если мы измерим один из их спинов и установим, что он направлен вверх, тогда мы будем полностью уверены, что второй направлен вниз. В этой ситуации мы говорим, что спины запутаны – ни один сам по себе не имеет определенного значения, в то время как вместе они находятся в определенном квантовом состоянии.

Эйнштейна очень беспокоило явление запутанности: оно, казалось, угрожает основным принципам теории относительности. Рассмотрим случай двух электронов в спин-синглетном состоянии, когда они отстоят далеко друг от друга в пространстве. Для определенности, пусть один из них возьмет себе Алиса, а другой – Боб. Допустим, что Алиса измерила спин своего электрона и обнаружила, что он направлен вверх, а Боб ничего измерять не стал. Пока Алиса не выполнила свое измерение, невозможно было сказать, каков спин его электрона. Но как только она свое измерение завершила, она абсолютно точно узнала, что спин электрона Боба направлен вниз (в направлении, обратном направлению спина ее собственного электрона). Значит ли это, что ее измерение мгновенно перевело электрон Боба в состояние, когда его спин направлен вниз? Как это могло произойти, если электроны пространственно разделены? Эйнштейн и его сотрудники Натан Розен и Борис Подольский чувствовали, что история с измерением запутанных систем настолько серьезна, что угрожает самому существованию квантовой механики. Сформулированный ими парадокс Эйнштейна−Подольского−Розена (ЭПР) использует мысленный эксперимент, похожий на тот, что мы сейчас описали, чтобы сделать вывод: квантовая механика не может быть полным описанием реальности. Сейчас на основании последовавших за этим теоретических изысканий и множества измерений установилось общее мнение, что ЭПР-парадокс содержит ошибку, а квантовая теория верна. Квантово-механическая запутанность реальна: измерения запутанных систем будут коррелировать, даже если эти системы далеко разнесены в пространстве-времени.

Вернемся к ситуации, где мы поставили два электрона в спин-синглетное состояние и раздали их Алисе и Бобу. Что мы можем сказать об электронах до того, как проведены измерения? Что оба вместе они находятся в определенном квантовом состоянии (спин-синглетном). Спин Алисиного электрона с одинаковой вероятностью направлен вверх или вниз. Точнее, квантовое состояние ее электрона с одинаковой вероятностью может быть одним (спином вверх) или другим (спином вниз). Теперь для нас понятие вероятности приобретает более глубокий смысл, чем раньше. Прежде мы рассматривали определенное квантовое состояние (основное состояние атома водорода) и видели, что есть некоторые «неудобные» вопросы, такие, например, как «Где находится электрон?», – вопросы, ответы на которые существуют только в вероятностном смысле. Если бы мы задавали «хорошие» вопросы, например: «Какова энергия этого электрона?», мы получали бы на них определенные ответы. Теперь же нет «хороших» вопросов, которые мы могли бы задать об Алисином электроне, ответы на которые не зависели бы от электрона Боба. (Мы не говорим о глупых вопросах вроде «А есть ли у Алисиного электрона вообще спин?» – вопросах, на которые существует только один ответ.) Таким образом, для определения параметров одной из половин запутанной системы нам придется использовать вероятностный язык. Определенность возникает только, когда мы рассматриваем связь между вопросами, которые могут задать о своих электронах Алиса и Боб.

Мы нарочно начали с одной из простейших квантово-механических систем, которые нам известны: системы спинов индивидуальных электронов. Есть надежда, что на базе подобных простых систем будут построены квантовые компьютеры. Система спинов индивидуальных электронов или другие эквивалентные квантовые системы сейчас называются кубитами (сокращение от «квантовые биты»), что подчеркивает их роль в квантовых компьютерах, аналогичную роли, которую играют обычные биты в компьютерах цифровых.

Представим себе теперь, что мы заменили каждый электрон гораздо более сложной квантовой системой со многими, а не только двумя квантовыми состояниями. Например, дали Алисе и Бобу бруски из чистого магния. Прежде чем Алиса и Боб разойдутся по своим делам в разные стороны, их бруски могут взаимодействовать, и мы договоримся, что при этом они приобретают определенное общее квантовое состояние. Как только Алиса и Боб расходятся, их магниевые бруски перестают взаимодействовать. Как и в случае с электронами, каждый брусок находится в неопределенном квантовом состоянии, хотя вместе, как мы считаем, они образуют состояние вполне определенное. (В этом обсуждении мы предполагаем, что Алиса и Боб способны перемещать свои магниевые бруски, никак не нарушая их внутреннего состояния, точно так же как прежде мы предполагали, что Алиса и Боб могли разделять свои запутанные электроны, не меняя их спинов.) Но различие между этим мысленным экспериментом и экспериментом с электронами заключается в том, что неопределенность квантового состояния каждого бруска огромна. Брусок вполне может приобрести больше квантовых состояний, чем число атомов во Вселенной. Вот тут-то на сцену и выходит термодинамика. Очень неточно определенные системы могут, тем не менее, иметь некоторые хорошо определенные макроскопические характеристики. Такой характеристикой является, например, температура. Температура – это мера того, с какой вероятностью любая часть системы имеет определенную среднюю энергию, причем более высокая температура соответствует большей вероятности иметь большую энергию. Другой термодинамический параметр – энтропия, по сути, равная логарифму количества состояний, которые система может принимать. Еще одна термодинамическая характеристика, которая была бы существенна для бруска магния, – это его суммарная намагниченность, то есть, в сущности, параметр, показывающий, насколько больше в бруске может быть электронов со спином, направленным вверх, чем со спином, направленным вниз.

Мы привлекли к нашему рассказу термодинамику как способ описывать системы, квантовые состояния которых точно неизвестны из-за их запутанности с другими системами. Термодинамика – мощный инструмент анализа таких систем, но ее создатели вовсе не предполагали такого ее применения. Сади Карно, Джеймс Джоуль, Рудольф Клаузиус были деятелями промышленной революции XIX столетия, и интересовал их самый практический из всех вопросов: как работают двигатели? Давление, объем, температура и теплота – плоть и кровь двигателей. Карно установил, что энергия в виде теплоты никогда не может быть полностью превращена в полезную работу вроде подъема грузов. Часть энергии всегда будет расходоваться впустую. Клаузиус внес основной вклад в создание идеи энтропии как универсального инструмента определения энергетических потерь в ходе любого процесса, связанного с теплотой. Главным его достижением было осознание того, что энтропия никогда не уменьшается – почти во всех процессах она растет. Процессы, в которых энтропия увеличивается, называются необратимыми – именно потому, что они не могут пойти вспять без уменьшения энтропии. Следующий шаг на пути развития статистической механики был сделан Клаузиусом, Максвеллом и Людвигом Больцманом (в числе многих других) – они показали, что энтропия является мерой беспорядка. Обычно чем больше вы действуете на что-то, тем больше вносите туда беспорядка. И даже если вы разработали процесс, целью которого является наведение порядка, в ходе его неизбежно образуется больше энтропии, чем будет уничтожено, – например, при выделении теплоты. Подъемный кран, который укладывает стальные балки в идеальном порядке, создает упорядоченность в смысле расположения балок, но в ходе его работы выделится столько тепла, что общая энтропия все равно растет. Но всё же отличие взгляда на термодинамику физиков XIX века от взгляда, связанного с квантовой запутанностью, не так велико, каким кажется. Каждый раз, когда система взаимодействует с внешним агентом, ее квантовое состояние запутывается с квантовым состоянием агента. Обычно эта запутанность ведет к увеличению неопределенности квантового состояния системы, другими словами, к росту числа квантовых состояний, в которых система может находиться. В результате взаимодействия с другими системами энтропия, определяемая в терминах количества доступных системе квантовых состояний, как правило, растет.

В общем, квантовая механика дает новый способ характеризовать физические системы, в которых некоторые параметры (например, положение в пространстве) становятся неопределенными, зато другие (например, энергия) часто известны точно. В случае квантовой запутанности две принципиально раздельные части системы имеют известное общее квантовое состояние, а каждая часть по отдельности – состояние неопределенное. Стандартный пример запутанности – пара спинов в синглетном состоянии, в котором невозможно сказать, какой спин направлен вверх, а какой – вниз. Неопределенность квантового состояния в большой системе требует термодинамического подхода, при котором макроскопические параметры, такие как температура и энтропия, известны с большой точностью, несмотря на то что у системы существует множество возможных микроскопических квантовых состояний.

Закончив наш краткий экскурс в область квантовой механики, запутанности и термодинамики, попробуем теперь понять, как всё это приводит к пониманию того факта, что черные дыры имеют температуру. Первый шаг к этому сделал Билл Унру – он показал, что ускоряющийся наблюдатель в плоском пространстве будет обладать температурой, равной своему ускорению, деленному на 2π. Ключ к вычислениям Унру в том, что наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением в определенном направлении, может видеть только половину плоского пространства-времени. Вторая половина, по сути, находится за горизонтом, подобным горизонту черной дыры. Сначала это выглядит невозможным: как может плоское пространство-время вести себя как горизонт черной дыры? Чтобы понять, как это выходит, призовем на помощь наших верных наблюдателей Алису, Боба и Билла. По нашей просьбе они выстраиваются в линию, причем Алиса оказывается между Бобом и Биллом, а между наблюдателями в каждой паре расстояние составляет ровно 6 километров. Договорились, что в нулевой момент времени Алиса прыгнет в ракету и полетит в сторону Билла (а значит, от Боба) с постоянным ускорением. Ракета у нее очень хорошая, способная развивать ускорение в 1,5 триллиона раз больше гравитационного ускорения, с которым движутся объекты вблизи поверхности Земли. Конечно, выдерживать такое ускорение Алисе нелегко, но, как мы сейчас увидим, эти цифры выбраны с определенной целью; в конце концов, мы просто обсуждаем потенциальные возможности, вот и всё. Ровно в тот момент, когда Алиса прыгает к себе в ракету, Боб и Билл машут ей рукой. (Мы вправе употреблять выражение «ровно в тот момент, когда…», потому что пока Алиса еще не начала полет, она находится в той же системе отсчета, что и Боб с Биллом, так что все они вполне могут синхронизировать свои часы.) Машущего ей Билла Алиса, конечно, видит: правда, находясь в ракете, она увидит его раньше, чем это случилось бы, если бы она оставалась там, где была, ведь ее ракета вместе с ней летит именно к нему. От Боба же она, наоборот, удаляется, так что мы можем резонно предположить, что она увидит, как он ей машет, несколько позже, чем увидела бы, останься она на прежнем месте. Но истина еще более удивительна:

Боба она вообще не увидит! Иначе говоря, фотоны, которые летят от машущего рукой Боба к Алисе, никогда ее не догонят, даже учитывая, что она никогда не сможет достичь скорости света. Если бы Боб начал махать, находясь чуть ближе к Алисе, тогда фотоны, которые улетели от него в момент ее отправления, ее бы настигли, а если бы он находился чуть дальше, то тем более не настигли бы. Именно в этом смысле мы говорим, что Алисе видна только половина пространства-времени. На момент, когда Алиса начинает движение, Боб находится чуть-чуть дальше горизонта, который наблюдает Алиса.

В нашем обсуждении квантовой запутанности мы уже привыкли к идее, что даже если квантово-механическая система в целом обладает определенным квантовым состоянием, какие-то ее части могут им не обладать. На самом деле, когда мы обсуждаем сложную квантовую систему, какая-то ее часть может быть наилучшим образом охарактеризована именно в рамках термодинамики: ей может быть приписана вполне определенная температура, несмотря на в высшей степени неопределенное квантовое состояние всей системы. Наша последняя история с участием Алисы, Боба и Билла немного похожа на эту ситуацию, но квантовая система, о которой мы здесь говорим, является пустым пространством-временем, и Алиса видит только его половину. Оговоримся, что пространство-время в целом находится в своем основном состоянии, что означает отсутствие в нем частиц (конечно, не считая Алисы, Боба, Билла и ракеты). Но та часть пространства-времени, которую видит Алиса, будет находиться не в основном состоянии, а в состоянии, запутанном с той его частью, которой она не видит. Воспринимаемое Алисой пространство-время находится в сложном неопределенном квантовом состоянии, характеризуемом конечной температурой. Вычисления Унру показывают, что эта температура составляет примерно 60 нанокельвинов. Коротко говоря, по мере своего ускорения Алиса как бы окунается в теплую ванну излучения с температурой, равной (в соответствующих единицах) ускорению, деленному на 2π.

Рис. 7.1. Алиса движется с ускорением из состояния покоя, в то время как Боб и Билл остаются неподвижными.

Ускорение Алисы как раз такое, чтобы она никогда не увидела фотонов, которые отправляет в ее сторону Боб в момент t = 0. Однако она получает фотоны, которые в момент t = 0 ей послал Билл. В результате получается, что Алиса способна наблюдать только одну половину пространства-времени.

Странность вычислений Унру состоит в том, что хотя они от начала до конца относятся к пустому пространству, они противоречат известным словам короля Лира «из ничего не выйдет ничего». Как может пустое пространство быть столь сложным? Откуда в нем могут взяться частицы? Дело в том, что согласно квантовой теории пустое пространство отнюдь не пустое. В нем здесь и там постоянно появляются и исчезают короткоживущие возбуждения, называемые виртуальными частицами, энергия которых может быть и положительной, и отрицательной. Наблюдатель из далекого будущего – назовем ее Кэрол, – которая способна видеть практически всё пустое пространство, может подтвердить, что в нем нет продолжительно существующих частиц. При этом присутствие частиц с положительной энергией в той части пространства-времени, которую Алиса может наблюдать, благодаря квантовой запутанности связано с возбуждениями равной и противоположной по знаку энергии в ненаблюдаемой для Алисы части пространства-времени. Вся правда о пустом пространстве-времени в целом открыта для Кэрол, и эта истина в том, что там нет частиц. Однако опыт Алисы говорит ей, что частицы там есть!

Но тогда выходит, что вычисленная Унру температура, похоже, просто фикция – она является не столько свойством плоского пространства как такового, сколько свойством наблюдателя, испытывающего в плоском пространстве постоянное ускорение. Однако и само тяготение является такой же «фиктивной» силой в том смысле, что «ускорение», которое им вызывается, есть не что иное, как движение по геодезической в искривленной метрике. Как мы уже объясняли в главе 2, эйнштейновский принцип эквивалентности состоит в том, что ускорение и тяготение, в сущности, эквивалентны. С этой точки зрения нет ничего особенно шокирующего в том, что горизонт черной дыры имеет температуру, равную вычисленной Унру температуре ускоряющегося наблюдателя. Но, можем мы спросить, какое же значение ускорения нам следует использовать для определения температуры? Удаляясь на достаточно большое расстояние от черной дыры, мы можем сделать ее гравитационное притяжение сколь угодно слабым. Следует ли из этого, что для определения измеряемой нами эффективной температуры черной дыры нам надо использовать соответствующее малое значение ускорения? Этот вопрос оказывается довольно коварным, ведь, как мы полагаем, температура объекта не может произвольно уменьшаться. Предполагается, что она обладает некоторым фиксированным конечным значением, которое может измерить даже очень удаленный наблюдатель.

Точка зрения, более или менее соответствующая духу трактовки температуры черной дыры Хокинга, заключается в том, что для ее определения мы должны использовать ускорение наблюдателя, «висящего» в непосредственной близости от горизонта черной дыры, но затем уменьшить это значение температуры на коэффициент гравитационного красного смещения, испытываемого этим наблюдателем. Такой взгляд в наибольшей степени соответствует хокинговской процедуре вычисления температуры. Давайте шаг за шагом рассмотрим эту процедуру для случая шварцшильдовской черной дыры. Говоря о «парящем» или «подвешенном» наблюдателе, мы имеем в виду такого, который остается на фиксированном радиусе над горизонтом, но при этом не совершает орбитального движения вокруг черной дыры. Для того чтобы этого добиться, этому статическому наблюдателю – назовем ее Анной – придется постоянно отталкиваться от черной дыры, к примеру, при помощи ракетного двигателя. Если Анна пользуется только своей локальной геометрией, то принцип эквивалентности говорит ей, что она не сможет отличить ее от плоского пространства, через которое она движется с постоянным ускорением. Чем ближе Анна к фактическому горизонту черной дыры, тем большим становится это видимое ускорение. В соответствии с вычислениями Унру, Анна будет ощущать температуру, равную своему ускорению, деленному на 2π. Похоже, мы снова оказываемся в той же ловушке: ощущаемая наблюдателем температура зависит от его положения. Выход из этого тупика в том, что Анна также испытывает и значительное гравитационное красное смещение по сравнению с другим наблюдателем – назовем его Барт, – который держится от черной дыры на почтительном расстоянии. (В данном контексте это значит, что расстояние от Барта до черной дыры многократно превышает радиус Шварцшильда.) Чем ближе будет Анна к горизонту, тем выше будет ей казаться температура Унру. Но то, что ее гравитационное красное смещение возрастает, означает, что к тому моменту, как видимое Анной излучение выкарабкается из гравитационного поля черной дыры и достигнет Барта, оно будет соответствовать конечной температуре, которая не будет изменяться по мере того, как Анна будет приближаться к горизонту. Эта конечная температура и есть температура Хокинга, и, умножая ее на 2π, мы получим величину, называемую поверхностным тяготением черной дыры, – это ускорение, которое бы понадобилось испытать Алисе в плоском пространстве, чтобы почувствовать такую же температуру излучения Унру, как температура излучения Хокинга, которую чувствует Барт.

Выше мы говорили, что выбрали численные величины для иллюстрации эффекта Унру с определенной целью. Дело в том, что ускорение Алисы, в полтора триллиона раз превышающее гравитационное ускорение на Земле, как раз равно поверхностному тяготению на горизонте черной дыры с массой Солнца. Соответственно, и хокинговская температура этой черной дыры такая же, как ощущаемая Алисой температура Унру: 60 нанокельвинов. У больших черных дыр температуры будут меньше: они обратно пропорциональны массе.

Говоря о температуре Унру, подчеркнем тот факт, что инерциальный наблюдатель в далеком будущем (как помните, мы назвали ее Кэрол) обладал бы полной квантовой истиной: что квантовое состояние пространства-времени в целом представляет собой вакуум без каких-либо возбуждений. Тепловое состояние Алисы включает в себя положительные энергетические возмущения, квантово-механически запутанные с отрицательными возмущениями в области пространства-времени, которую она воспринимать не может. Оказывается, что аналогичная ситуация возникает и в случае излучения Хокинга, однако с некоторыми существенными отличиями.

Рис. 7.2. Схема возникновения излучения Хокинга. Анну, остающуюся на фиксированном радиусе у горизонта, можно считать ускоряющимся наблюдателем, так как она испытывает гравитационное притяжение черной дыры. Она видит излучение по тем же причинам, по которым возникает эффект Унру. Это излучение на своем пути наружу к Барту подвергается гравитационному красному смещению. Барт, так же как и Анна, находится в стационарном состоянии, но он настолько далеко от черной дыры, что едва ли чувствует ее притяжение. Падающий в черную дыру извне наблюдатель Брюс при пересечении горизонта не видит излучения Хокинга.

Когда мы начали обсуждать эффект Унру, аналогом ускоряющейся наблюдательницы Алисы была висящая над горизонтом черной дыры статическая наблюдательница Анна, а Боб находился за горизонтом, скрывающим от Алисы половину плоского пространства-времени. В контексте черной дыры аналогом Боба будет свободно падающий внутрь горизонта наблюдатель – пусть его зовут Брюсом. Будущее у бедняги Брюса незавидное: он неизбежно окажется в сингулярности. Однако если черная дыра достаточно большая, этого печального конца ему, возможно, придется ждать долго, и есть смысл узнать, какие наблюдения Брюс успеет за это время сделать. Ответ: за горизонтом он не сможет измерить вообще никакую температуру, поскольку внутрь черной дыры не поступает никакого излучения от какого-либо источника. По крайней мере, локально, вблизи горизонта черной дыры, Брюс сможет сказать, что никаких квантовых возбуждений он не видит.

Описания, которые дают Анна и Барт, отличаются от описания Брюса тем, что они видят частицы с положительной энергией. Точно так же как это было с эффектом Унру, эти положительные энергетические возбуждения должны быть квантово-механически связаны с возбуждением отрицательной энергии внутри горизонта черной дыры. Вспомним каверзную аргументацию, которая тогда применялась: когда Брюс, двигаясь внутрь, пересекает горизонт, он на самом деле не только не видит возбуждений отрицательной энергии – он не видит вообще никаких возбуждений. Возбуждения отрицательной энергии внутри горизонта необходимы только для того, чтобы внешние наблюдатели Анна и Барт согласовали свои наблюдения с квантовой теорией. И все же эти необычные возбуждения играют важную физическую роль. Они служат для уменьшения общей массы черной дыры, которое компенсирует энергию, излучаемую ею с точки зрения Анны и Барта.

Исходящие положительные и входящие отрицательные возбуждения энергии квантово-механически запутаны, и по крайней мере вблизи горизонта мы можем утверждать, что эта запутанность служит цели согласования в рамках квантовой теории описания ситуации наблюдателем, падающим в черную дыру (Брюс), и статическим наблюдателем (Анна и Барт). Именно это достигаемое посредством запутанности квантовое согласование лежит в основе эффекта Хокинга. Таким образом, наложение одной тонкости на другую дает вполне осязаемый результат: излучение черными дырами положительных энергетических возбуждений!

Разительный контраст этой ситуации с эффектом Унру заключается в том, что для наблюдателя из далекого будущего очень трудно обеспечить возможность видеть всё пространство-время: ведь внутри черной дыры никакого далекого будущего не существует, а снаружи ее мы не можем заглянуть внутрь. Может быть, если черная дыра полностью испарится, о наблюдателе, который видит весь этот процесс, можно будет сказать, что он обладает полной квантовой истиной, описывающей пространство-время. Или, наоборот, возможно, что никакой наблюдатель не может иметь полной информации о пространстве-времени, заключающем в себе черные дыры, что означает, что информация о квантовом состоянии действительно потеряна. Загадка сосуществования квантовой эволюции из прошлого в будущее и черных дыр известна под названием парадокса потери информации, и она до сих пор не решена.

В общем и целом картина возникновения излучения Хокинга такова: квантово-механические возбуждения покидают черную дыру, претерпевая при этом красное смещение, и наблюдаются удаленным наблюдателем в виде потока излучения с температурой, равной поверхностному тяготению черной дыры, деленному на 2π. Тем временем потеря энергии на это излучение приводит к тому, что масса черной дыры медленно уменьшается, или «испаряется». Над трудным вопросом о квантовом опыте наблюдателей, перемещающихся по различным путям в пространстве-времени черной дыры, ломают головы поколения теоретиков. Но ясно одно: если мы остаемся на достаточно большом расстоянии от черной дыры и если рассматриваемая черная дыра столь велика, что не успевает полностью испариться, то мы будем наблюдать от нее тепловое излучение с температурой Хокинга.

Излучение Хокинга – наиболее знаменитое термодинамическое свойство черных дыр. Однако не менее важно для них понятие энтропии Бекенштейна – Хокинга, названной в честь Якоба Бекенштейна и Стивена Хокинга. Вспомним, что энтропия – это мера количества доступных системе квантовых состояний, а точнее, логарифм этого количества. Самое важное свойство энтропии заключается в том, что в ходе физических процессов она никогда не уменьшается, а, как правило, увеличивается. Другим ее важным свойством является то, что энтропия объединения двух систем не может превосходить сумму энтропий этих систем по отдельности. В обычном веществе мы, как правило, обнаруживаем, что энтропия целого равна сумме энтропий частей. Например, энтропия двух обычных чашек воды при комнатной температуре вдвое больше энтропии одной чашки. Если две системы запутаны, тогда их объединенное квантовое состояние может быть точно известно, и в этом случае они как целое вообще не имеют энтропии; и все же каждая из них сама по себе может обладать значительной энтропией!

В случае черных дыр энтропия оказывается равной площади горизонта, деленной на постоянную, связанную с силой тяготения. Она вычисляется по формуле S = A/4G_N, где G_N – постоянная Ньютона, которая появляется и в уравнениях Эйнштейна. Эта формула столь много значит в теории черных дыр, что она обычно называется законом площадей. Из теорем классической общей теории относительности следует, что в ходе таких процессов, как столкновения черных дыр, общая площадь горизонтов черных дыр должна расти. Этот результат легко понять как версию второго начала термодинамики в приложении к черным дырам. При этом важно не забывать, что эти теоремы остаются классическими, то есть они справедливы только при отсутствии квантовых эффектов, таких как излучение Хокинга. Действительно, излучение Хокинга приводит к тому, что черные дыры медленно теряют массу, что означает уменьшение площади их горизонтов, однако этот процесс протекает крайне медленно.

Закон площадей говорит о том, что термодинамика черных дыр весьма отличается от термодинамики обычного вещества. И в самом деле, обычное вещество обычно имеет энтропию, пропорциональную объему. Вспомним, например, что две чашки воды обычно имеют энтропию, равную двойной энтропии одной чашки. Мы могли бы с тем же основанием утверждать, что энтропия воды пропорциональна ее массе, так как масса двух чашек воды равна удвоенной массе одной чашки. Пропорциональность энтропии черных дыр их площади, по-видимому, свидетельствует о том, что большие черные дыры имеют гораздо меньшую энтропию, чем мы могли бы наивно предполагать на основании информации об их объемах, но гораздо большую, чем на основании их масс. Чтобы проверить, насколько это предположение оправдывается, рассмотрим слияние двух черных дыр, каждая из которых имеет массу, равную солнечной, в одну. Наш мысленный эксперимент будет грубым, так как мы собираемся проигнорировать выброс гравитационных волн, который, как мы знаем из главы 6, непременно произошел бы при этом слиянии. Итак, образовавшаяся черная дыра будет иметь массу в две солнечных – вдвое больше, чем каждая из исходных. А энтропия слившейся черной дыры будет вчетверо больше энтропии каждой из исходных дыр. Это больше, чем мы могли бы предположить на основании наших сведений о массах компонентов, – ведь если энтропия пропорциональна массе, энтропия слившейся черной дыры была бы всего вдвое больше энтропии каждой из исходных черных дыр. С другой стороны, это меньше, чем мы могли бы предположить, опираясь на то, что мы знаем об объемах: с наивной точки зрения результирующая черная дыра заключает в себе восемь объемов каждого из исходных объектов, а у нас получается, что энтропия выросла только вчетверо. Правильное масштабирование вытекает из связи между энтропией и горизонтом: каждый раз при добавлении нового кубита энтропии горизонт увеличивается в G_N раз.

Бекенштейн сформулировал необыкновенно сильное утверждение: черные дыры несут в себе больше энтропии, чем любая другая форма вещества, способная занять тот же объем пространства-времени. Более простая версия этого утверждения выглядит так: для того, чтобы обычное вещество, уложенное в конечную область пространства-времени, обладало большой энтропией, этого вещества должно быть очень много – настолько, что дело начинает пахнуть гравитационным коллапсом. Прежде чем энтропия обычного вещества превысит теоретическую энтропию черной дыры, это вещество сколлапсирует в черную дыру. В этом смысле коллапс в черную дыру представляет собой самое неупорядоченное и необратимое событие из всех возможных.

Микроскопическое обоснование закона площадей предлагает – при некоторых ограниченных условиях – теория струн, но в целом этот закон из фундаментальных физических принципов не выводится. Однако Тед Якобсон утверждает, что если мы будем исходить из термодинамики черных дыр, в частности из закона площадей, объединив этот подход с некоторыми основными положениями дифференциальной геометрии, то придем к уравнениям Эйнштейна – основе общей теории относительности. Более того, известно, что если модифицировать уравнения Эйнштейна с сохранением их внутренней симметрии, закон площадей изменится, а вычисления Хокинга по сути останутся теми же. Так что выходит, что энтропия черной дыры – хороший инструмент для описания динамики пространства-времени. И все-таки, что же представляет собой энтропия черной дыры?

Недавно Хуан Малдасена и Леонард Сасскинд внесли предложение, которое должно более тесно увязать энтропию запутанности с энтропией черной дыры. Вот в чем это предложение состоит. Вспомним парадокс ЭПР, где два спина были вначале запутаны, а затем разделены, и парадоксальным образом ни один из них не имел определенного квантового состояния сам по себе, хотя оба вместе его имели. Каждый спин является кубитом, и каждый сам по себе имеет равное кубиту количество энтропии. Не могли бы мы предположить, что на некотором микроскопическом уровне каждый из них является черной дырой и что их запутанность геометрически проявляется в виде кротовой норы между ними? Тут есть два очевидных возражения. Во-первых, черная дыра только с одним кубитом энтропии так мала, что геометрические соображения могут для нее не иметь никакого значения. Во-вторых, как уже говорилось в главе 3, кротовые норы непроходимы. Чтобы понять, как можно обойти эти возражения, давайте сначала представим себе системы большего размера с большим числом возможных квантовых состояний и, следовательно, с большими значениями энтропии. Но при этом будем настаивать на том, что две из этих более крупных систем, которыми распоряжаются, как обычно, наши Алиса и Боб, идеально запутаны, так что их объединенное квантовое состояние точно определено. Выше мы в качестве примеров систем больших размеров брали бруски чистого магния, но теперь мы хотим использовать более сложное состояние вещества, которое через некоторое время должно сколлапсировать в черную дыру. Короче говоря, Алиса и Боб оказываются вдалеке друг от друга, каждый по отдельности в окрестности своей черной дыры, и по крайней мере значительная часть энтропии каждой из этих черных дыр обязана своим существованием квантово-механической запутанности между этими двумя системами. Затем мы предполагаем, что эти черные дыры соединены кротовой норой, и она является геометрическим проявлением их запутанности.

Но как можно было бы проверить эту идею? Рассмотрим мысленный эксперимент, в котором и Алиса, и Боб занимаются измерениями каждый в своей системе. Изучать на близком расстоянии систему, в которой происходит гравитационный коллапс, – рискованная затея, так как, по всей вероятности, в процессе измерений наблюдатель будет всосан в черную дыру. Это безрадостная перспектива даже в концептуальном смысле, так как она исключает возможность для Алисы и Боба выполнить свои измерения и затем сравнить их результаты для того, чтобы убедиться, что их системы действительно были запутаны.

Рис. 7.3. Кротовая нора, соединяющая области пространства-времени вблизи Алисы и Боба соответственно. Кротовые норы, возникающие из запутанных квантовых состояний, позволяют Алисе и Бобу встретиться друг с другом, прыгая в черные дыры. Затем они еще могут успеть сверить свои квантовые запутанности, прежде чем их ждет роковое поглощение сингулярностью черной дыры.

Но постойте! Мы же допустили, что две наши черные дыры соединены кротовой норой! Алиса и Боб действительно могут быть затянуты в недра своих черных дыр, но так как их соединяет кротовая нора, то на самом деле эти черные дыры имеют одно и то же внутреннее пространство. Для единственного наблюдателя невозможно перебраться по кротовой норе из одного внешнего пространства в другое, но это оказывается вполне возможно для двух наблюдателей, которые входят в кротовую нору с двух противоположных концов внутреннего пространства и встречаются. Так что выходит, Алиса и Боб все же могли бы сравнить свои измерения. Это важный аргумент в первую очередь в пользу возможности образования кротовой норы: ведь если бы такая нора не могла образоваться, Алиса и Боб не могли бы сравнить результаты своих измерений, и сам принцип квантовой запутанности оказался бы в опасности. Для Алисы и Боба такой аргумент был бы слабым утешением, потому что за конечное время падения в свои черные дыры они бы столкнулись с обычными для черных дыр сингулярностями. Но, по крайней мере, они могли бы под конец выполнить последнюю и окончательную проверку принципов квантовой механики!

Отступим на минуту от этих интенсивных теоретических обсуждений и зададим резонный вопрос: есть ли хоть какой-то практический интерес в мысленных экспериментах только что описанного вида, в ходе которых наблюдателям приходится прыгать в черные дыры? Наблюдатели, остающиеся снаружи, никогда не смогут удостовериться (по крайней мере, классическими средствами) в том, встретились Алиса и Боб или нет. Может, все это просто схоластика? По общему мнению теоретиков, нет. Мы должны помнить о том, что горизонты черной дыры – это вопрос нашей будущей судьбы, а не сиюминутного опыта. Возможно, мы все в этот момент пересекаем горизонт космической черной дыры, чья сингулярность отстоит от нас в будущем на большее время, чем то, которое отделяет нас от начала Вселенной. Многие космологи провидят в конце непрекращающегося расширения Вселенной ее окончательный коллапс. Так не может ли некоторое созидательное разрушение в конце самого пространства-времени открыть нашему восприятию нечто, о чем мы сейчас не можем и мечтать?