Ньютон

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Еще одним создателем методов исчисления считается Ньютон. Двое его друзей, Исаак Барроу и Эдмунд Галлей, отдавали должное таланту ученого и убеждали в необходимости опубликовать его труды. Ньютон же очень плохо переносил критику и когда в 1672 г. издал свои исследования природы света, то услышал много нелестного о своей работе, что надолго отбило у него охоту предавать огласке свои открытия. Но эпизодически он всё же отваживался издать некоторые работы и даже написал две книги. А для себя Ньютон продолжал развивать свои идеи о тяготении, и в 1684 г. Галлей снова попытался уговорить его опубликовать эти труды. Но для этого, помимо страха перед критикой, существовало и техническое препятствие. В своих рассуждениях ученый был вынужден объявить планеты точечными частицами с массой, не равной 0, но нулевыми размерами, что не соответствовало действительности и заведомо привлекло бы к нему нежелательное внимание критиков. Он хотел бы заменить эти невероятные точки на сферические тела, но не мог доказать, что силы взаимного тяготения между сферами такие же, как и между предельно малыми точками с равной массой.

Только в 1686 г. Ньютону удалось заполнить этот пробел, и в 1687 г. свет увидели «Математические начала натуральной философии». Они содержали множество свежих идей. Самыми важными стали математические формулы законов движения, расширяющие работы Галилея, и тяготения, основанные на законах Кеплера.

Главный закон движения по Ньютону (есть и дочерние, следующие из него) утверждал, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. Иными словами, скорость является производной от положения тела, а ускорение – производная от скорости. Значит, даже для выражения закона Ньютона нам не обойтись без второй производной положения тела относительно времени, что в современном написании выглядит так:

Только Ньютон вместо этого над x ставил две точки:

Закон тяготения утверждает, что все материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Так, сила тяготения между Землей и Луной станет сильнее в четыре раза, если Луна будет ближе к Земле в два раза, или в девять, если расстояние уменьшится втрое. И снова, поскольку речь идет о воздействии силы, здесь имеется вторая производная.

Ньютон вывел свой закон из трех законов Кеплера о движении планет. Опубликованный им труд стал высшим достижением классической евклидовой геометрии. Ньютон сознательно избрал этот способ подачи материала, поскольку тот был основан на знакомых математических понятиях, а значит, менее уязвим для критиков. И всё же многие аспекты «Начал» появились на свет исключительно благодаря неопубликованным методам исчисления, открытым Ньютоном.

Среди первых его работ в этой области есть статья под названием «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», которую он распространил среди немногочисленных друзей в 1669 г. В современной терминологии он задается вопросом, как будет выглядеть уравнение для функции f(x), если площадь под графиком равна x^m. (На самом деле вопрос касался более общих явлений, но давайте упростим.) К своему полному удовлетворению, он пришел к выводу, что ответ будет: f(x) = mx^m ^{− 1}.

ИСААК НЬЮТОН 1642–1727

Ньютон рос на ферме в небольшой деревушке Вулсторп в графстве Линкольншир. Его отец скончался за два месяца до его рождения, и мать одна управлялась на ферме. Исаака отправили учиться в ближнюю школу, где он не выделялся особыми талантами, разве что отлично умел мастерить механические игрушки. Однажды он наполнил надувной шар горячим воздухом и испытал это средство воздухоплавания, посадив вместо пилота своего кота. Ни шар, ни кота никто больше не видел. Исаак поступил в Тринити-колледж в Кембриджском университете, где вполне успешно обучался по всем предметам – за исключением геометрии. Студентом он не производил впечатления будущего светила науки.

Чума

Позже, когда в 1665 г. великая эпидемия чумы опустошила Лондон и окрестности, студентов поспешно разослали по домам, пока мор не дошел до Кембриджа. Вернувшись на родительскую ферму, Ньютон стал серьезнее относиться к науке в целом и в частности к математике.

Тяготение

В 1665–1666 гг. он вывел свой закон тяготения, объясняющий движение планет, развил законы механики, чтобы проанализировать движения любого рода для всех физических тел, изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, совершил важные открытия в оптике. Что характерно, он не спешил публиковать свои труды, но как ни в чем не бывало вернулся в колледж, получил степень магистра и стал членом Тринити-колледжа. Затем его избрали на должность Лукасовского профессора математики, а в 1669 г. подал в отставку предыдущий профессор, Барроу. Ньютон не прославился как преподаватель, на его лекциях было мало студентов.

Подход Ньютона к вычислению производных в основном напоминает подход Лейбница, только вместо dx он использовал o, а значит, его метод грешил той же логической проблемой: он давал приблизительный результат. Однако Ньютону удалось показать: если принять о за бесконечно малую величину, приближение станет намного точнее. И когда мы дойдем до предела, где o станет такой малой, какой нам угодно, ошибка исчезнет. Поэтому Ньютон утверждал, что его результат точен. Он изобрел новое слово «флюксия», чтобы подчеркнуть главную идею: величина стремится к 0, но никогда не достигает его.

В 1671 г. он создал более обширный труд, «Метод флюксий и бесконечных рядов». Первая книга, посвященная исчислению, так и не была опубликована вплоть до 1711 г., вторая увидела свет в 1736 г. Однако несомненно, что уже к 1671 г. Ньютон оперировал всеми основополагающими идеями исчисления.

Сановный противник этого метода епископ Джордж Беркли в 1734 г. в своей книге «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» указывал, что это противоречит логике: делить числитель и знаменатель на о, если впоследствии о будет равно 0. В итоге вся процедура сводится к тому, что дробь на самом деле выглядит как 0/0, а это, как всем известно, полная бессмыслица. Ньютон возражал, что он не уменьшает о до нуля, он исследует результаты того, что она сколь угодно близко подходит к 0, не становясь ему равной, и вообще его метод исследует флюксии, а не числа.

Математики пытались найти выход в аналогиях с физикой: Лейбниц прибегал к определениям «дух утонченности» и противоположному ему «дух логики», но по сути Беркли был прав. Ученым потребовался век, чтобы обнаружить убедительные ответы на его возражения, найдя для интуитивно открытого «приближения к пределу» строгое определение. Тогда-то исчисление преобразилось в более искусную науку – математический анализ. Но на протяжении этих 100 лет никого, кроме Беркли, так и не обеспокоили логические изъяны, и исчисление развивалось невзирая на них.

Метод процветал, потому что Ньютон был прав, но лишь через 200 лет его интуитивная концепция флюксий была сформулирована с безупречной логикой, в терминах пределов. К счастью для математиков, задержка с этим открытием не застопорила процесс развития науки в целом. Исчисление оказалось слишком востребованным и важным методом, чтобы отказаться от него из-за нескольких логических софизмов. Беркли в негодовании утверждал, что метод только кажется действенным, поскольку в нем различные ошибки взаимно компенсируют друг друга. Он был прав – однако понятия не имел о том, почему ошибки компенсируют друг друга. Ведь если это правда – то это и не ошибки вовсе!

С дифференцированием неразрывно связан обратный ему процесс – интегрирование. Интеграл от f(x), или ∫ f(x)dx, восстановит значение функции f(x) до ее дифференцирования. Определенный интеграл

это площадь под графиком между значениями x = a и x = b.

Определенный интеграл

Производные и интегралы решили проблемы, из-за которых буксовали исследования предшественников. Скорости, касательные, максимумы и минимумы можно было вычислить при помощи дифференцирования. Длины, площади и объемы поддавались вычислению с помощью интегрирования. Но и это не всё. Как ни удивительно, но оказалось, что и законы природы могут быть изложены на языке исчисления.

Назад: Лейбниц

Дальше: Англия в отстающих