Первый прорыв в этой области сделал Готфрид Вильгельм Лейбниц, юрист по профессии, посвятивший практически всю жизнь математике, логике, философии, истории и многим другим отраслям науки. Примерно в 1673 г. он начал работу над классической проблемой проведения касательной к кривой и обнаружил, что это обратная сторона проблемы измерения площадей и объемов. Последняя требовала найти кривую по заданной касательной, а первая подразумевала в точности обратное действие.

Воспользовавшись этой связью, в итоге Лейбниц сумел открыть то, что мы называем интегралами, используя сокращение omn (сокр. оmnia, лат. «всё»). В его бумагах можно найти такие формулы:

К 1675 г. он уже заменил omn на знак ∫, используемый и по сей день и представляющий собой вытянутую букву s, обозначающую сумму. Он работал с понятиями бесконечно малых приращений dx и dy для величин x и y и использовал их соотношение dy/dx для определения скорости изменения y как функции x. Получается, что если f – это функция, Лейбниц мог написать:

dy = f(x + dx) – f(x),

таким образом,

что и является обычной аппроксимацией секущей угла наклона касательной.

Лейбниц обнаружил, что это определение имеет свои недостатки. Если dy и dx не равны нулю, соотношение dy/dx будет не мгновенной скоростью изменения y, а лишь приближенным значением. Он попытался обойти эту проблему, предположив, что dy и dx – бесконечно малые числа. Бесконечно малым считается число, не равное 0, но меньшее, чем любое другое число, не равное 0. К несчастью, сразу ясно, что таких чисел не существует (половина от бесконечно малого тоже будет не равна 0 и будет еще меньше), и такой подход – не что иное, как игнорирование проблемы.

К 1676 г. Лейбниц знал, как интегрировать и дифференцировать любую степень x, составив формулу

dxⁿ = nx^{n – 1}dx,

которую сейчас мы пишем так:

В 1677 г. он вывел правила дифференцирования суммы, произведения и частного для двух функций, а к 1680-му – формулу длины дуги кривой и объема тела вращения как интегралов от различных связанных величин.

Нам известны все эти факты, а также относящиеся к ним даты из его неопубликованных записок, но впервые свои идеи о методах исчисления он опубликовал намного позже, в 1684 г. Якоб и Иоганн Бернулли сочли эти записи туманными, назвав их «скорее загадкой, чем объяснением». Но теперь понятно, что к тому моменту Лейбниц успел открыть значительную часть основ исчисления, с возможностью применить их для таких сложных кривых, как циклоида, и приблизиться к пониманию таких концепций, как кривизна. К несчастью, его записки слишком отрывочны и не поддаются прочтению.