Что такое исчисление? Метод, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, проще понять, ознакомившись с более ранними идеями. Исчисление – это математика мгновенных изменений: насколько быстро изменяется определенная величина в это самое мгновение. Вот пример из физики: поезд движется по рельсам; как быстро он едет прямо сейчас? Исчисление делится на две главные ветви. Дифференциальное исчисление обеспечивает методы измерения скорости изменений и в большинстве случаев приложимо к геометрии, в частности при нахождении касательных к кривым. Интегральное исчисление подразумевает противоположное действие: исходя из скорости изменения некой величины, оно позволяет найти саму величину. Геометрические приложения интегрального исчисления включают способы вычисления площадей и объемов. Пожалуй, самым значительным открытием как раз и стала эта неожиданная связь между двумя внешне независимыми геометрическими вопросами: нахождение касательных к кривым и нахождение площадей.

Геометрический смысл производной

Исчисление неразрывно связано с функциями – действиями, когда берется некое исходное число и определяется другое, связанное с ним. Как правило, такое действие описывается формулой, где данному числу, обозначенному как x (возможно, с некими дополнительными условиями), вводится в соответствие число f(x). В качестве примеров можно привести функцию квадратного корня f(x) = √x (в этом случае x должно быть неотрицательным числом) и квадратную функцию f(x) = x² (в этом случае для x нет никаких условий).

Первой ключевой идеей исчисления является дифференцирование, т. е. взятие производной функции. Производная – это скорость изменения функции f(x), сравниваемая с изменением x, т. е. скорость изменения f(x) относительно x.

Геометрически скорость изменения – это тангенс угла наклона графика f в точке х. К нему можно приблизиться, определив угол наклона секущей – линии, пересекающей график в двух наиболее близких точках, соответствующих x, и x + h, где h невелико. Угол наклона секущей равен:

Теперь предположим, что h – очень малая величина. Тогда секущая приблизится к касательной на графике в точке x. Так что в определенном смысле необходимый угол наклона – производная f в точке x – будет пределом для этого выражения, поскольку h становится сколько угодно малым.

Попробуем произвести это вычисление для простого примера, f(x) = x². Получаем:

А поскольку h становится всё меньше, угол наклона 2x + h всё ближе к 2x. Производная f – это функция g, равная g(x) = 2x.

Здесь главный концептуальный вопрос в том, что мы подразумеваем под пределом. У математиков ушел почти век на то, чтобы дать ему логичное определение.

Другой ветвью исчисления стало интегральное. Этот процесс проще всего представить как обратный дифференцированию. Интеграл g, описанный формулой

является любой функцией f(x), производная которой – g(x). Например, поскольку производная f(x) = x² есть g(x) = 2x, интеграл от g(x) = 2x равен f(x) = x².