То, что мы сейчас называем решением уравнений (когда неизвестная величина должна быть найдена на основе имеющейся информации), почти так же старо, как и арифметика. Есть косвенные доказательства тому, что вавилоняне умели решать весьма сложные уравнения еще в 2000 г. до н. э., и прямые свидетельства решения несложных задач в виде клинописных табличек, датируемых примерно 1700 г. до н. э.

Сохранившаяся часть таблички YBC 4652, из периода Старого Вавилона, содержит 11 простых задач для решения, а по сопроводительному тексту можно понять, что изначально их было двадцать две. Вот типичный вопрос:

«Я нашел камень, но не знаю его вес. После того как я взял его вес шесть раз, добавил 2 джина и добавил одну треть от одной седьмой [этого нового веса], умноженной на 24, я взвесил его. В результате получилось 1 ма-на. Сколько весил исходный камень?»

Вес 1 ма-на равен 60 джинов.

В современных обозначениях мы примем за x вес исходного камня в джинах. Тогда решение будет выглядеть так:

и стандартные алгебраические методы дают результат 4 ¹/₃ джина. На табличке есть этот ответ, но нет решения, объясняющего, как он был получен.

Явно его получили не с использованием символических методов, похожих на современные, поскольку ниже в табличке прописаны методы решения с точки зрения типичных учебных примеров: «Поделите пополам это число, добавьте сумму этих двух, извлеките квадратный корень…» и т. д.

Эта задача, заодно с прочими на табличке YBC 4652, представляет то, что сейчас мы зовем линейными уравнениями: неизвестное x входит в него только в первой степени. Любое из линейных уравнений можно представить в виде

ax + b = 0,

с решением x = –b/a. Но в древние времена, когда не было понятий отрицательных чисел и символьных операций, поиск результата был не так прост. Даже сейчас некоторые школьники не сразу решат задачи с таблички YBC 4652.

Интереснее квадратные уравнения, в которых неизвестное возведено во вторую степень – квадрат. В современной формулировке это уравнение вида:

ax² + bx + c = 0,

и здесь тоже есть стандартная формула для вычисления x. Подход древних вавилонян к этим уравнениям изложен в задаче на табличке BM 13901:

«Я семь раз добавил сторону моего квадрата и 11 раз – его площадь, [получив] 6;15».

Здесь 6;15 – упрощенная форма вавилонской шестидесятиричной системы и означает 6 плюс ¹⁵/₆₀, или 6 ¹/₄ в современных обозначениях. Предлагаемое решение начинается так:

«Запиши 7 и 11. Умножь 6;15 на 11, [получи] 1,8;45. Раздели 7 на 2, [получи] 3;30 и 3;30. Перемножь, [и получи] 12;15. Сложи [это] с 1,8;45, [получи] результат 1,21. Это есть квадрат 9. Вычти 3;30, которое ты перемножал, из 9. Результат вычисления 5;30. Величину, обратную к 11, нельзя найти. На что надо умножить 11, чтобы получить 5;30? [Ответ равен] 0;30, сторона квадрата равна 0;30».

Обратите внимание: табличка указывает читателю, что делать, но не почему. Это не более чем алгоритм. Кому-то необходимо было понять, как это работает, прежде всего чтобы записать способ решения. Но, будучи однажды открытым, он становится доступным каждому обученному. Мы так и не знаем, то ли вавилоняне заучивали алгоритм наизусть, то ли должны были сами объяснять, почему он работает.

Приведенный выше алгоритм выглядит размытым, однако интерпретировать его всё же проще, чем мы могли бы подумать. И здесь очень помогает использование рациональных чисел: мы сразу понимаем, какие правила пошли в ход. Чтобы обнаружить их, достаточно просто привести всё к системе. В современной записи имеем:

Тогда уравнение примет вид:

соответственно с данными значениями для a, b и c. Нам нужно найти x. Вавилонское решение диктует нам следующее.

1. Умножить с на а, чтобы получить ас.

2. Разделить b на 2, чтобы получить ^b/₂.

3. Возвести в квадрат ^b/₂, чтобы получить ^b2/₄.

4. Сложить это с ас, что даст ас + ^b2/₄.

5. Извлечь из этого квадратный корень, чтобы получить

6. Вычесть из этого ^b/₂, чтобы получить

7. Разделить это на а, и ответ будет

Это эквивалентно формуле

Вавилоняне явно отдавали себе отчет в том, что их решения являются неким обобщением. Приведенный пример слишком сложен, и его можно считать специальным, подобранным только для данной задачи.

Как относились к своему методу сами вавилоняне и что о нем думали? Похоже, должна была быть некая упрощенная идея, лежавшая в основе такого сложного процесса. Возможно, хотя напрямую это и не доказано, что они изобрели некую геометрическую идею, дополняющую квадрат. Алгебраическая версия этого метода также рассматривается в наши дни. Для ответа на этот вопрос мы его для ясности запишем в виде x² + ax = b и приведем на рисунке его геометрическую интерпретацию.

Здесь квадрат и первый прямоугольник имеют высоту x; их ширина равна соответственно x и a. Меньший прямоугольник имеет площадь b. По вавилонскому рецепту мы легко делим первый прямоугольник на две половины:

Два новых прямоугольника мы можем переместить и совместить с краями квадрата:

Получившаяся слева фигура так и просится быть дополненной до большого квадрата, с добавлением затененного квадрата.

Чтобы уравнение оставалось верным, такой же квадрат должен быть добавлен и к левой фигуре. Но теперь мы определяем площадь последней как квадрат стороны (x + ^a/₂), и геометрическая схема эквивалентна алгебраическому выражению:

Поскольку левая часть – квадрат суммы, мы можем переписать это так:

чтобы потом извлечь из него квадратный корень:

и наконец переписать в виде

что в точности повторяет вавилонский вариант решения.

Ни на одной из табличек не найдено подтверждения гипотезе, что вавилоняне воспользовались этой геометрической схемой для получения своего алгоритма. Но такое объяснение не лишено смысла, так как косвенно подтверждается схемами, изображенными на других табличках.