Такие задачи дали толчок к развитию области знаний, которую мы называем алгеброй: где числа представлены буквами. Неизвестная величина по традиции называется x, а сопутствующие условия излагаются в виде математических формул. Ученикам предлагается с помощью стандартных методов вычислить значение x по формулам. Например, упомянутую выше вавилонскую задачу мы запишем в виде уравнения x + ¹/₂ x = 15, и мы должны узнать, как вычислить x = 10.

На школьном уровне алгебра – ветвь математики, в которой неизвестные числа обозначены буквами, арифметические действия – специальными символами, а главная задача – вывести неизвестные из уравнений. Типовая задача школьной алгебры – поиск x, заданного в уравнении x² + 2x = 120. Это квадратное уравнение имеет одно положительное решение, x = 10.

Здесь x² + 2x = 10² + 2 × 10 = 100 + 20 = 120. Также оно имеет одно отрицательное решение, x = –12.

Тогда x² + 2x = (–12)² + 2 × (–12) = 144 – 24 = 120. Древние принимали положительные результаты, но не отрицательные. Мы признаем оба варианта: во многих задачах отрицательные числа имеют реальное значение и соответствуют физически возможным ответам. Вдобавок математика становится проще, если принять их существование.

В продвинутой математике использование символов для обозначения чисел сводится к ничтожной части этой области знаний, отражающей ее первые шаги. Алгебра рассказывает о свойствах выражений и уравнений с использованием буквенных символов, и речь уже о структуре и форме, а не только о числе. Этот более широкий взгляд развился в период, когда математики пошли дальше простой алгебры школьного уровня. Вместо того чтобы пытаться решать конкретные уравнения, они предпочли всмотреться в глубинные структуры процесса решения.

Как развивалась алгебра? Сначала это были задачи и методы. Со временем она приобрела символическую систему обозначений, которую мы считаем ее главным достоинством. Было много систем обозначений, но постепенно одна вытеснила конкурентов. Само название «алгебра» тоже возникло в процессе, и оно имеет арабские корни (об этом говорит начальное «аль», арабский эквивалент артикля the, что и указывает на происхождение).

Табличка из Старого Вавилона с клинописной записью алгебро-геометрической задачи