Архимед

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Величайшим из древних математиков считается Архимед. Он сделал важнейший вклад в геометрию, был первопроходцем в деле приложения математики ко всем явлениям мира и непревзойденным инженером. Но для математиков он будет памятен прежде всего исследованиями формы круга, шара и цилиндра. Для нас они связаны с числом π (пи), приблизительно равным 3,14159. Конечно, греки не работали с π напрямую: они представляли его геометрически, как отношение длины окружности к диаметру.

Ранние культуры уже имели представление о том, что длина окружности всегда одинаково соотносится с ее диаметром и что она длиннее примерно в три раза, может, чуть больше. Вавилоняне считали это число равным 3 ¹/₈. Известное нам по школе знаменитое приближение для числа π – «архимедово число», равное 3 ¹/₇, – ближе к истине, но тоже неточное. Архимед пошел намного дальше, в духе Евдокса подведя твердые доказательства под свои результаты. Насколько смогли установить древние греки, отношение между длиной окружности и диаметром должно быть иррациональным числом. И сейчас мы точно знаем, что так оно и есть, хотя с доказательством пришлось подождать до 1761 г., когда его открыл Иоганн Генрих Ламберт. Но как бы то ни было, Архимед, не сумев доказать, что π – рациональное число, вынужден был принять, что оно иррациональное.

Греческая геометрия лучше всего работает с многоугольниками – фигурами, образованными прямыми линиями. Но окружность – кривая, и Архимед подбирается к ней с помощью аппроксимирующих многоугольников. Чтобы вычислить π, он сравнил длину круга с периметрами многоугольников двух последовательностей: в одной фигуры были вписаны в круг, в другой – описаны вокруг него. Периметр прямоугольника в круге должен был быть меньше длины окружности, а периметр наружного – больше. Для простоты Архимед брал правильные многоугольники, деля их стороны пополам, начиная с шестиугольника и получая соответственно 12 сторон, 24, 48 и т. д. Он остановился на 96. Его вычисления дали результат 3 ¹⁰/₇₁ < π < 3 ¹/₇, т. е. значение π оказалось между 3,1408 и 3,1429.

Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим доказательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен ⁴/₃ πr³, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4πr². Эти формулы используются и по сей день.

В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.

АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ 287–212 гг. до н. э.

Архимед родился в греческих Сиракузах в семье астронома Фидия. Он побывал в Египте, где предположительно изобрел архимедов винт, который вплоть до наших дней широко используется для подъема воды из Нила в ирригационные каналы. Предположительно он побывал и в Александрии у Евклида; по крайней мере, он точно вел переписку с александрийскими математиками.

Его математические способности были непревзойденными и обширными. Он использовал их в полном объеме и построил огромные боевые машины, пользуясь своим законом рычага, чтобы забрасывать врагов тяжелыми обломками камней. Его машины оказались незаменимы во время обороны Сиракуз, осажденных римлянами в 212 г. до н. э. Он даже сумел использовать оптическую геометрию отраженного света, чтобы поджечь атаковавшие город с моря римские корабли.

До наших дней сохранились его работы «Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «О равновесии плоских фигур», «О плавающих телах», «Измерение круга», «Псаммит» («Исчисление песчинок»), а также «Стомахион» и «Послание к Эратосфену о методе», обнаруженные в 1906 г. Йоханом Гейбергом.

Архимедов винт

π С БОЛЬШОЙ ТОЧНОСТЬЮ
С помощью более изощренных методов значение π несколько раз определялось с точностью до миллиардных долей. Эти вычисления интересны использованными методами, в качестве теста для компьютеров, а также из научного любопытства, хотя их результат не имеет особого значения. На практике обычно достаточно пяти-шести цифр после запятой. Последним рекордом было число с 1,24 трлн цифр, вычисленное Ясумаса Канадой и командой из девяти сотрудников в декабре 2002 г. Работа длилась 600 часов и проводилась на суперкомпьютере фирмы Hitachi.

Назад: Золотое сечение

Дальше: Проблемы древних греков