Следующий важный шаг был сделан Давидом Гильбертом, пожалуй, самым великим математиком своего времени. Он имел привычку заниматься одной областью математики примерно десять лет, полируя решения основных задач, а затем переходить в другую. По убеждению Гильберта, рано или поздно удастся доказать, что математика никогда не может привести к логическому противоречию. Также он осознал, что в этом проекте не будет пользы от физического восприятия. Если математика противоречива, то должно быть возможно доказать, что 0 = 1, и тогда физическая интерпретация уравнения будет: 0 коров = 1 корова, т. е. коровы могут растворяться в воздухе, как дым. Это непохоже на правду. Но нет никакой гарантии, что математика натуральных чисел обязана отвечать физике коров, или, по крайней мере, нельзя себе представить, что коровы способны внезапно исчезнуть (это может произойти в квантовой механике, но с крайне малой вероятностью). В конечной Вселенной числу коров есть предел, но нет предела в математике количеству целых чисел. Значит, наша интуиция может оказаться обманчивой, и ее следует игнорировать.

Гильберт пришел к такой точке зрения в своей работе над аксиоматическим обоснованием евклидовой геометрии. Он обнаружил в системе аксиом Евклида логические недостатки и понял, что Евклид был введен в заблуждение своим зрением. Поскольку он воспринимал линию как длинный тонкий предмет, окружность как круг и точку как крапинку, он безоговорочно признавал за этими предметами определенные свойства, не придавая им форму аксиом. После нескольких попыток Гильберт сумел составить список из 21 аксиомы и обсудил их роль в евклидовой геометрии в 1889 г. в своем труде «Основания геометрии».

Гильберт также настаивал, что логический вывод должен быть обоснованным независимо от особенностей его интерпретации. Всё, что удовлетворяет какой-то интерпретации аксиом, но не удовлетворяет другой, чревато логическими ошибками. И именно этот подход к аксиоматике, а не частные исследования геометрии стал в итоге самым весомым вкладом Гильберта в основания математики. Его точка зрения повлияла на саму суть математики, делая ее намного проще – и респектабельнее – при изобретении новых концепций путем составления для них списка аксиом. Большинство абстрактных исследований в математике начала ХХ в. исходит как раз из позиции Гильберта.

Часто говорят, что Гильберт отстаивал утверждение, будто математика – отвлеченная игра в символы, но это преувеличение. Гильберт считал, что если вы хотите подвести под свою идею надежную логическую основу, следует рассуждать о ней так, как если бы она была отвлеченной игрой в символы. Всё остальное не имеет отношения к логической структуре. Но ни один человек, достаточно серьезно относящийся к математическим открытиям Гильберта и имеющий представление о его беззаветной преданности науке, не сказал бы, что этот ученый считал, будто дело его жизни – это отвлеченная игра.

Преуспев в геометрии, Гильберт обратил взор на гораздо более амбициозный проект: подвести под всю математику непоколебимый логический фундамент. Для этого он внимательно изучал труды современных ему логиков и составил подробную программу для того, чтобы раз и навсегда привести в порядок основания математики. В дополнение к доказательству того, что математика свободна от противоречий, он полагал, что нерешаемых проблем не существует в принципе и любое математическое утверждение может быть или доказано, или опровергнуто. Успех на первых порах убедил Гильберта в том, что он на верном пути и приблизился к своей основной цели.