Отправной точкой для Кантора стала наивная концепция множества как совокупности объектов, или его элементов. Один из способов описать множество – перечисление его членов с использованием фигурных скобок. Например, множество всех натуральных чисел от 1 до 6 будет описано так:

В другом варианте множество может быть описано с помощью правила для его элементов:

Множества, определенные выше, идентичны. Первое обозначение ограничено конечным множеством, второе не имеет такого ограничения. Таким образом, множества

и

точно указаны и оба бесконечны.

Самое простое, что вы можете сделать со множеством, – пересчитать его элементы. Насколько оно велико? Множество {1, 2, 3, 4, 5, 6} имеет шесть элементов. То же относится к множеству {1, 4, 9, 16, 25, 36}, состоящему из соответствующих квадратов. Мы говорим, что мощность множества равна 6, и называем 6 кардинальным числом. (Есть и другая концепция: ординальное (порядковое) число, связанное с построением чисел по порядку, и поэтому прилагательное «кардинальное» здесь не лишнее.) Множество всех натуральных чисел невозможно пересчитать таким образом, но Кантор отметил, что вы можете установить между множеством всех натуральных чисел и множеством всех квадратов взаимно однозначное соответствие, используя ту же схему, что и Галилей. Тогда каждое натуральное число n окажется в паре со своим квадратом n².

Кантор определил, что два множества равномощные (не его термин), если между ними есть взаимно однозначное соответствие. Если множества конечны, это свойство эквивалентно одинаковому количеству элементов. Но если они бесконечны, то нет смысла говорить о количестве элементов, а идея равномощности обретает очень важный смысл. Но Кантор пошел дальше. Он предложил систему трансфинитных чисел, или бесконечных кардинальных чисел, которые дали возможность определять, сколько элементов содержится в бесконечном множестве. Более того, два множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют равное количество элементов – равные кардинальные числа.

Начальной точкой стал новый вид чисел, который Кантор обозначил символом א₀. Это буква алеф из иврита с нижним индексом 0, или алеф-ноль. Это число по определению является кардинальным для множества всех натуральных чисел. Но, настаивая на том, что равномощные множества также имеют одно и то же кардинальное число, Кантор затем рассудил, что всякое множество, для которого может быть установлено взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел, также должно иметь мощность א₀. Например, множество всех квадратов имеет мощность א₀. То же относится ко множеству всех четных чисел:

и множеству всех нечетных:

Одно из следствий этого определения таково: меньшее множество может иметь мощность, равную мощности большего множества. Но здесь в определении Кантора не было логических противоречий, он решил считать эту особенность естественным следствием своей идеи и не прогадал. Главное – не считать, что бесконечные кардинальные числа могут вести себя точно так же, как и конечные. Да и с какой стати? Ведь они не конечны!

Как вы думаете, количество целых чисел (и положительных, и отрицательных) больше количества натуральных? Будет ли их вдвое больше? Нет, потому что мы можем сопоставить эти два множества вот так:

Арифметика бесконечных кардинальных чисел тоже довольно странная. Например, мы только что увидели, что множества четных и нечетных натуральных чисел имеют кардинальное число א₀. Поскольку у них нет одинаковых элементов, кардинальное число их объединения – множества, полученного в результате их совмещения, – должно быть א₀ + א₀. Номы знаем, что представляет собой такое объединение: это натуральные числа с кардинальным числом א₀. Видимо, придется заключить:

Так мы и поступим. Но и здесь нет противоречий: мы не можем поделить א₀, чтобы получить 1 + 1 = 1, потому что א₀ не является натуральным числом. Такое деление невозможно, поскольку не имеет смысла. Действительно, это равенство показывает, что деление на א₀ не имеет смысла. И снова мы принимаем это как плату за прогресс.

Всё это очень хорошо, однако кому-то может показаться, что א₀ не более чем новый забавный символ для старой доброй бесконечности и по сути ничего нового здесь не сказано. Разве это не тот случай, когда все бесконечные множества имеют кардинальное число א₀? Разве все бесконечности не равны?

Один из кандидатов на бесконечное кардинальное число, большее, чем א₀, – точнее, на бесконечное множество, для которого невозможно установить взаимно однозначное соответствие с множеством целых чисел, – это множество всех рациональных чисел, обычно обозначаемое Q. В конце концов, есть бесконечно много рациональных чисел в промежутке между двумя любыми последовательными целыми числами, и здесь уже не работает та хитрость, которая помогала нам с целыми числами.

Однако в 1873 г. Кантор доказал, что Q также имеет кардинальное число א₀. Взаимно однозначное соответствие основательно перемешивает числа, но никто и не говорил, что они должны располагаться согласно порядковым номерам. Кажется, всё выглядит замечательно: всякое бесконечное множество имеет кардинальное число א₀.

В том же году Кантор совершил важный прорыв. Он доказал, что последовательность всех действительных чисел не имеет кардинального числа א₀. Неожиданную теорему об этом он опубликовал в 1874 г. Так что даже в неординарном понимании Кантора существует больше действительных чисел, чем целых. Одна бесконечность может быть больше другой.

Насколько велика мощность действительных чисел? Кантор надеялся, что это будет א₁, следующее наибольшее кардинальное число после א₀. Но он не смог этого доказать и потому обозначил новое кардинальное число С, от первой буквы слова «континуум». Ожидаемое уравнение С = א₁ было названо континуум-гипотезой. Математики сумели вывести соотношение между С и א₀ только в 1960 г., когда Пол Коэн доказал, что ответ зависит от аксиом, которые вы выбираете для теории множеств. С одним разумным набором аксиом два кардинальных числа равны. Но с набором других, не менее обоснованных, аксиом они будут разными.

Обоснованность равенства С = א₁ зависит от выбранных аксиом, но связанное с ним равенство от этого не зависит. Это равенство С = 2^א0. Для любого кардинального числа A мы можем определить 2^A как кардинальное число множества (мощностью А) всех его подмножеств. И мы можем очень легко доказать, что 2^A всегда больше A. Это значит, что не только некоторые бесконечности больше, чем другие, но и нет бесконечно большого кардинального числа.