Множества и классы
В 1880-х гг. Готлоб Фреге попытался решить эту концептуальную проблему, конструируя натуральные числа из еще более простых объектов – множеств, или, как он сам назвал их, классов. Его отправной точкой была стандартная ассоциация чисел со счетом. Согласно Фреге, два является свойством этих множеств, и только их, и его можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b} с несовпадающими элементами a и b. Тогда:
{один кот, другой кот}
{один велосипед, другой велосипед}
{один ломоть, другой ломоть}
могут соответствовать {a, b}, а значит, все они определены – что бы это ни значило – одинаковым числом.
К несчастью, использование списка стандартных множеств в качестве чисел, скорее всего, породит вопросы: слишком легко спутать символ с тем, что он представляет. Но как еще описать свойство этих множеств, которое можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством? Что есть это свойство? Фреге посетила превосходная идея. Есть четко определенное множество, связанное с любым свойством, буквально состоящее из всего обладающего этим свойством. Свойство «простой» ассоциируется со множеством всех простых чисел; свойство «равнобедренный» – со множеством всех равнобедренных треугольников и т. д.
Фреге предположил, что число два есть множество, включающее в себя все множества, которые можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b}. В более общем виде число является множеством всех множеств, которые можно сопоставить с любым заданным множеством. Так, например, число три – множество: {… {a, b, c}, {один кот, другой кот, еще один кот}, {X, Y, Z}, …}, хотя, пожалуй, лучше использовать математические объекты вместо котов или букв.
Исходя из этого Фреге открыл, что может подвести под всю арифметику целых чисел логическую основу. Вся она упрощается до явных свойств множеств. Всё это он изложил в своем труде «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа» в 1884 г. Но, к его великому разочарованию, Георг Кантор, ведущий специалист в области математической логики, отмел эту книгу как бесполезную. В 1893 г. Фреге, не утративший решимости, опубликовал первый том другой книги, «Основные законы арифметики», в которой представил интуитивно правдоподобную систему аксиом арифметики. Пеано просмотрел ее, а все остальные проигнорировали. Через десять лет Фреге наконец-то подготовил к печати второй том, но к тому моменту сам успел обнаружить большой недостаток в своих аксиомах. Другие тоже заметили его недочеты. Том еще не вышел из-под пресса, а уже разразился скандал. Фреге получил письмо от известного философа и математика Бертрана Рассела. Говорилось там примерно следующее: «Дорогой Готлоб, представьте себе множество всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Искренне Ваш, Бертран».
Как безупречный логик, Фреге тут же понял намек Рассела – тем более что уже был готов к неприятностям. В целом его подход подразумевал, хотя и без доказательств, что любое описываемое свойство определяет значимое множество, состоящее из объектов, что обладают упомянутым свойством. Но здесь подразумевалось именно свойство, а не элемент множества как таковой, который явно не соответствовал множеству.
ПАРАДОКС РАССЕЛА
Менее формальный вариант парадокса, предложенного Расселом, – брадобрей, который бреет всякого, кто не бреется сам. Кто же тогда бреет его самого? Если он бреется сам, то определенно его бреет сельский брадобрей – т. е. он сам! Если он не бреется сам, его должен брить брадобрей, т. е. опять-таки он сам.
Если не прибегать ко всяким трюкам – например, брадобрей женского пола, – единственный возможный вывод таков: этого брадобрея не существует. Рассел переформулировал этот парадокс в рамках множеств. Допустим, множество X состоит из всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Будет ли тогда X элементом самого себя или нет? Если нет, то по определению оно принадлежит X – самому себе. Если да и оно элемент себя, то, подобно всем элементам X, оно не должно являться элементом самого себя. Но на этот раз выхода нет: женские множества пока не стали частью математических построений.
Мрачный Фреге был вынужден выпустить приложение к своему грандиозному опусу, в котором обсуждал возражения Рассела. Он нашел кратковременное решение: исключить из царства множеств те из них, которые являются элементами самих себя. Но даже ему самому это предложение не показалось достойным.
Рассел же попытался заполнить пробел Фреге в построении натуральных чисел с помощью множеств. Его идея состояла в ограничении того типа свойств, которые могут быть использованы для определения множества. Конечно, ему нужно было найти доказательство, что этот ограниченный тип свойств не приведет к парадоксу. В сотрудничестве с Альфредом Нортом Уайтхедом он пришел к сложной и искусственной теории типов, казавшейся достаточно объективной по крайней мере им самим. Они изложили свой подход в увесистом трехтомнике «Принципы математики», выпущенном в 1910–1913 гг. Определение числа два попало в конец первого тома, а теорема 1 + 1 = 2 доказана на с. 86 второго тома. Но и «Принципам математики» не суждено было положить конец фундаментальным спорам. Теория типов сама по себе была спорной. Математики желали получить что-то более простое и изящное.
