Геометры ответили на вторжение на их территорию алгебраистов, подвергнув гиперкомплексные числа геометрической интерпретации. Ключевой фигурой в этом действе стал Риман. Он работал над своей хабилитацией в надежде получить право брать плату с обучавшихся у него студентов. Кандидату на степень хабилитированного доктора полагалось прочесть публичную лекцию на тему его собственного исследования. Следуя привычной процедуре, Гаусс попросил Римана представить ему список тем, из которых он мог бы что-то окончательно выбрать. Одна из тем называлась «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», и Гаусс, также интересовавшийся этими вопросами, выбрал именно ее.

Риман был в ужасе: мало того, что он вообще терпеть не мог выступать на публике, так и тема была им почти не проработана. Но сама идея оказалась блестящей: геометрия для n измерений, под которой он подразумевал систему с n координатами (x₁, x₂, …, x_n), в которую введено понятие расстояния между близлежащими точками. Он назвал такое пространство многообразием. Предложение было весьма радикальным, но оно привело к еще более радикальному выводу: многообразия могут искривляться. Гаусс занимался изучением кривизны поверхностей и вывел изящную формулу, естественно описывающую кривизну по существу – исключительно в терминах поверхности, а не пространства, где та помещается.

Риман намеревался вывести похожую формулу для кривизны многообразия, обобщив формулу Гаусса для n измерений. Она тоже должна была стать неотъемлемой для многообразия – для нее не надо будет использовать какое-либо пространство. Попытки Римана развить понятие кривизны в пространстве с n измерениями привели его на грань нервного срыва. Положение усугубилось еще и тем, что он активно помогал коллеге Гаусса Веберу, занимавшемуся исследованием электричества. Риман не сдавался, и наблюдения за взаимодействием электрических и магнитных сил привели его к новой концепции силы, основанной на геометрии. На него снизошло такое же озарение, благодаря какому десятилетия спустя Эйнштейн открыл общую теорию относительности: силу может заменить искривление пространства.

В традиционной механике тела движутся по прямой, пока не подвергнутся воздействию силы. В криволинейных геометриях существование прямых вовсе не обязательно, а пути изогнуты. Если пространство искривлено, то, вынужденно отклоняясь от прямой линии, тело испытает не что иное, как силу. Теперь благодаря этому озарению Риман почувствовал себя вполне готовым к публичной лекции. Он прочел ее в 1854 г. Это был великий триумф. Идеи Римана быстро распространились, и восхищение его открытием только возрастало. Вскоре ученые принялись читать популярные лекции о новой геометрии. Среди них был и Герман фон Гельмгольц, первым заговоривший о существах, обитающих на сфере или иной криволинейной поверхности.

Технические аспекты римановой геометрии многообразий, в настоящее время известной как дифференциальная геометрия, получили дальнейшее развитие в трудах Эудженио Бельтрами, Эльвина Бруно Кристоффеля и ученых итальянской школы под руководством Грегорио Риччи и Туллио Леви-Чивита. Позже оказалось, что именно их разработок не хватало Эйнштейну для открытия его теории.