Когда Гамильтон совершил прорыв, математики уже принимали многомерные пространства как нечто вполне естественное и даже открыли ряд физических толкований того, почему основными элементами пространства может быть что-то кроме точек. В 1846 г. Юлиус Плюккер указывал, что для описания линии в пространстве необходимы четыре числа. Два определяют, где линия пересекает некую фиксированную плоскость, а еще два – направление относительно этой плоскости. Значит, если наше знакомое пространство считать набором линий, оно имеет не три, а четыре измерения. Но оставалось ощущение, что такое построение чересчур умозрительно и что пространство, образованное четырьмя измерениями, неестественно. Кватернионы Гамильтона можно естественным образом проинтерпретировать как вращения, и их алгебра безупречна. Они так же естественны, как комплексные числа, – а значит, и четырехмерное пространство так же естественно, как плоскость.

Идея быстро вышла за рамки четырех измерений. Гамильтон продвигал свои возлюбленные кватернионы, а преподаватель математики Герман Гюнтер Грассман в это время занимался открытием расширения числовой системы для пространства с любым количеством измерений. Он опубликовал свою идею в 1844 г. в своем «Учении о линейной протяженности». Его выкладки оказались слишком загадочными и абстрактными, поэтому не привлекли особого внимания. В 1862 г., не желая с этим мириться, ученый выпустил переработанную версию своего труда, «Учение о протяженности», уверенный, что на этот раз материал изложен более доступно. Увы, это было не так.

Несмотря на холодный прием, работа Грассмана была фундаментально важной. Он открыл, что можно заменить четыре единицы 1, i, j и k кватернионов любым количеством единиц. Комбинации последних он назвал гиперчислами. Он отдавал себе отчет в том, что его подход имеет ограничения, ему стоит быть осторожным и не возлагать лишних надежд на арифметику гиперчисел: рабское подчинение законам традиционной алгебры никуда его не приведет.

Тем временем физики развивали свое видение многомерных пространств, опираясь не на геометрию, а на уравнения Максвелла для электромагнетизма. Здесь и магнитное, и электрическое поля были векторами – обладали направлением в трехмерном пространстве наряду со скалярной величиной (численным значением). Векторы при желании изображаются стрелками, выстроенными в линии магнитного или электрического поля. Длина стрелки показывает силу поля, а острие – направление, куда оно обращено.

Со временем уравнений Максвелла набралось всего восемь, причем туда входило две группы по три уравнения: по одному для каждого компонента электрического или магнитного поля с учетом всех трех измерений пространства. Жизнь была бы намного легче, если бы удалось собрать каждую из этих троек в единое векторное уравнение. Максвеллу удалось достичь этого благодаря кватернионам, но его подход оказался грубоватым. Независимо друг от друга физик Джозайя Уиллард Гиббс и инженер Оливер Хевисайд нашли более простой путь для алгебраического представления векторов. Гиббс в 1881 г. тайно напечатал свою статью «Элементы векторного анализа» в помощь своим студентам. Он пояснил, что его идеи необходимы скорее для практического использования, чем для математической изысканности. Над его заметками поработал также Эдвин Уилсон, и в 1901 г. они опубликовали совместный труд «Векторный анализ». Хевисайд высказал те же самые общие идеи в первом томе своей «Электромагнитной теории» в 1893 г. (следующие два тома вышли в 1899 и 1912 гг. соответственно).

Изначально различные системы: кватернионы Гамильтона, гиперкомплексные числа Грассмана и векторы Гиббса – очень быстро сошлись к одному и тому же математическому описанию вектора. Это тройка чисел (x, y, z). Так спустя 250 лет и математики, и физики из разных частей света нашли свой путь обратно к Декарту – только теперь его идея координат оказалась лишь частью истории. Тройки представляли не просто точки, а направленные величины. Здесь заключалась огромная разница – и это не был формализм; это стало новой интерпретацией, физическим толкованием.

Математики гадали, какими свойствами порадуют их системы гиперкомплексных чисел. Для них вопрос звучал не «Есть ли от них польза?», а «Интересны ли они ученым?». Так математики сосредоточились на алгебраических свойствах систем n-х гиперкомплексных чисел для любого n. Фактически здесь уже шла речь о n-мерных пространствах плюс алгебраических действиях, но на первых порах все предпочитали мыслить алгебраически, оставляя геометрические аспекты проблемы под спудом.