Простые конечные группы

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Высшим достижением исследований XX в., посвященных конечным группам, стала успешная классификация самых простых из них. Это открытие Киллинг совершил, работая с группами и алгебрами Ли. Это буквально привело к полному описанию всех возможных базовых элементарных кирпичиков для конечных групп, а именно простых групп. Если под группой подразумеваются молекулы какого-то вещества, простыми группами будут образующие их атомы.

ЭНДРЮ УАЙЛС род. 1953

Эндрю Уайлс родился в Кембридже в 1953 г. В возрасте десяти лет он прочел о Великой теореме Ферма. Тогда он решил стать математиком и доказать ее. К тому времени, как ученый получил докторскую степень, он практически отказался от этой идеи, поскольку теорема казалась неразрешимой. Уайлс предпочел заняться теорией чисел эллиптических кривых – вроде бы совершенно другой областью математики. Он переехал в США и стал профессором в Принстоне.

К 1980-м гг. уже стало ясно, что между Великой теоремой Ферма и глубокими и трудными вопросами по эллиптическим кривым есть неожиданная связь. Герхард Фрай сделал ее явной с помощью так называемой гипотезы Таниямы – Симуры. Когда Уайлс узнал об идее Фрая, он прекратил все другие исследования, чтобы полностью сосредоточиться на Великой теореме Ферма. После семи лет исследований он убедил себя, что нашел доказательство, основанное на особом случае гипотезы Таниямы – Симуры. Как выяснилось, в этом доказательстве была серьезная дыра, но Уайлсу с Ричардом Тейлором удалось ее закрыть: полное доказательство было опубликовано в 1995 г.

Другие математики вскоре расширили доказательство гипотезы Таниямы – Симуры, продолжая развивать новый метод. За свою работу Уайлс удостоился больших почестей, в том числе премии Вольфа. В 1998 г., уже не подходя по возрасту для конкурса на Филдсовскую премию и медаль, по традиции присуждаемые ученым до 40 лет, он был награжден специальной серебряной тарелкой от Международного математического союза. В 2000 г. он был посвящен в рыцари-командоры ордена Британской империи.

Классификация Киллинга для простых групп Ли доказала, что они могут относиться к одному из четырех бесконечных семейств A_n, B_n, C_n и D_n с пятью исключениями: G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. Возможными классификациями всех простых конечных групп занимались слишком многие математики, чтобы перечислить их поименно, но общее направление в решении этой проблемы было задано Даниэлем Горенштейном. Его ответ, опубликованный в 1988–1990 гг., до странности знаком: список бесконечных семейств и список исключений. Но в нем уже гораздо больше семейств, а число исключений увеличилось до 26.

Семейства включают знакопеременные группы (известные еще Галуа) и ряд групп типа Ли, похожих на простые, но заданных над разными конечными полями, а не над комплексными числами. В этой области есть несколько любопытных вариаций. Исключениями оказываются 26 отдельных групп с некоторыми намеками на общие свойства, но без унифицированной структуры. Первое доказательство того, что классификация полная, пришло из совокупности трудов сотен математиков общим объемом около 10 тыс. страниц. Ряд самых важных частей доказательства так и не был опубликован. Последние работы тех, кто продолжает исследовать эту область, посвящены построению более простой и прозрачной классификации, – подход, ставший возможным благодаря тому, что ответ уже известен. Результаты выходят в свет в виде сборников статей, объем которых в сумме уже составляет около 2000 страниц.

Самой загадочной из входящих в число исключительных простых групп и самой большой из них остается так называемый монстр. Его порядок таков:

2⁴⁶ × 3²⁰ × 5⁹ × 7⁶ × 11² × 13³ × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71,

что равно

808017424794512875886459904961710757005754368000000000,

это приблизительно 8 × 10⁵³. Существование монстра предположили в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс. В 1980 г. Грисс доказал, что он существует, и построил его алгебраическую конструкцию как группу симметрии алгебры с 196 884 измерениями. Этот монстр, судя по всему, имеет неожиданные связи с теорией чисел и комплексным анализом, сформулированные Джоном Конвеем как «гипотеза чудовищного вздора». Гипотеза была доказана в 1992 г. Ричардом Борчердсом, за что он получил Филдсовскую медаль – самую престижную награду для математика.

Назад: Кольца, поля и алгебры

Дальше: Великая теорема Ферма