Очередной значительный шаг в развитии теории групп сделал Вильгельм Киллинг. В 1888 году он заложил основу теории структуры для алгебр Ли, в частности создал классификацию всех простых алгебр Ли – основных строительных блоков, из которых собираются все остальные алгебры Ли. Киллинг начал с известной структуры для самой понятной простой алгебры Ли – специальной линейной алгебры sl(n) для n ≥ 2. Начнем со всех матриц размера n × n с комплексными числами при условии, что скобка Ли для двух матриц A и B равна AB − BA. Эта алгебра Ли не только простая, но и подалгебра sl(n). Для всех матриц, чьи диагональные значения в сумме дают 0, она действительно простая. Она имеет размерность n² − 1.

Ли знал структуру этой алгебры, и он показал, что любая простая алгебра Ли имеет схожую структуру. Замечательно, что он смог это доказать, исходя лишь из знания того, что алгебра Ли простая. Его метод состоял в привязке любой простой алгебры к геометрической структуре под названием «система корней». Он использовал методы линейной алгебры для изучения и классификации системы корней, а затем выводил структуру соответствующей алгебры Ли от этой системы. Значит, классификация возможной геометрии системы корней равнозначна классификации простых алгебр Ли.

Результат работы Киллинга трудно переоценить. Он доказал, что простые алгебры Ли укладываются в четыре бесконечных семейства, ныне известных как A_n, B_n, C_n и D_n. Вдобавок есть пять исключений: G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. На самом деле Киллинг считал, что исключений шесть, но два оказались равнозначными алгебрами, описанными в разных выражениях. Размерности в исключительных алгебрах Ли равны 14, 56, 78, 133 и 248. Они по-прежнему несколько загадочны для ученых, хотя мы четко понимаем, почему они существуют.