Решаем уравнения

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

История теории групп уходит корнями в древние таблички вавилонян с решениями квадратных уравнений. Методы вавилонян преследуют прежде всего практические цели. Это была вычислительная методика, и, судя по всему, никто из древних особо не задавался глубокими вопросами, когда ею пользовался. Если вы умеете извлекать квадратные корни и владеете основами арифметики, то сумеете решить и квадратные уравнения.

Было найдено несколько свидетельств на глиняных табличках, что вавилоняне также подступались к решению кубических уравнений и даже уравнений четвертой степени. Греки, а вслед за ними и арабы открыли геометрические способы решения кубических уравнений с помощью конических сечений. (Мы сейчас знаем, что традиционные евклидовы линии и окружности не могут точно решить эту проблему. Здесь необходимо нечто более изощренное; так случилось, что эту работу взяли на себя конические сечения.) Одной из самых заметных фигур в этой области был персидский мыслитель Омар Хайям. Он решил все возможные виды кубических уравнений с помощью целой системы геометрических методов. Однако, как мы видели, алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени появилось в эпоху Возрождения в работах дель Ферро, Тартальи, Фиоре, Кардано и его ученика Феррари.

Формулы, которые появились в их работах, были простыми, но зачастую с беспорядочными деталями. Вы можете решить любое кубическое уравнение, используя арифметические операции плюс квадратные корни плюс корни кубические. Вы можете решить любое уравнение четвертой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой степени, – хотя последние могут быть сведены к двум последовательно взятым квадратным корням. Создавалось впечатление, что эту закономерность можно продолжать, так что вы сможете решить любое уравнение пятой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой и пятой степеней. И так далее – для уравнений любой степени. Да, понятно, что все эти формулы чрезвычайно сложны, и их поиск – еще более трудное дело, но практически ни у кого не возникало сомнений, что они существуют.

Шли века, но почему-то ни одна из этих формул не была открыта. И кое-кто из маститых математиков решил присмотреться повнимательнее к данной области, чтобы понять, что действительно происходит за ее кулисами, унифицировать известные методы и упростить их так, чтобы стало понятно, почему они работают. Тогда, как они полагали, это будет просто вопрос применения одних и тех же общих принципов, и уравнение пятой степени раскроет свои тайны.

Самую успешную и систематичную работу в этом направлении проделал Лагранж. Он переосмыслил классические формулы с точки зрения решений, которые собирался найти. Он утверждал, что важнее всего понять, как ведут себя в этих решениях определенные алгебраические выражения, когда вы ищете корни. Они будут перегруппированы, перестроены, примут другой вид. Он знал, что любое полностью симметричное выражение, зависящее от корней, которое остается неизменным, как бы ни менялся порядок корней при решении, может быть выражено через коэффициенты уравнения, становясь таким образом известной величиной. Более интересны были выражения, получавшие несколько разных значений, когда корни решения переставлялись. Казалось, здесь и зарыт ключ к общему принципу решения уравнений.

СИММЕТРИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Возьмем квадратное уравнение, немного упростив его форму:

x² + px + q = 0.

Предположим, есть два решения (корня) x = a и x = b:

x² + px + q = (x – a) (x – b).

Нам известно из школьного курса, что

a + b = –p ab = q.

Значит, хотя мы всё еще не знаем корней, нам известны их сумма и произведение.

Почему так вышло? Сумма a + b равна сумме b + a – она не меняется от перестановки корней. То же верно и для ab = ba. Получается, любая симметричная функция, зависящая от корней, может быть выражена через коэффициенты p и q. Верно и обратное: любое выражение для p и q всегда является симметричной функцией от a и b. Если смотреть шире, связь между корнями уравнения и коэффициентами определяется свойствами симметрии.

Асимметричные функции так себя не ведут. Хороший пример – разница a – b. Если мы меняем местами a и b, получаем b – a, т. е. другое значение. Однако – и это важнейшее наблюдение – оно не совсем другое. Это то, что мы получим из a – b, сменив его знак. Так что квадрат (a – b)² полностью симметричен. Но любая полностью симметричная функция от корней должна быть неким выражением в коэффициентах. Извлеките квадратный корень, и вы получите выражение для a – b через коэффициенты, где не используется ничего более загадочного, чем квадратный корень. Мы уже знаем: a + b = –p. Также нам известно и a – b; сумма двух этих чисел равна 2а, а разница 2b. Поделив на 2, мы получим формулы для a и b.

Всё это мы проделали, чтобы доказать, что должна существовать формула для корней a и b, не включающая ничего более загадочного, чем квадратный корень, основанная на общих свойствах симметрии алгебраических выражений. Это впечатляет: мы доказали, что у задачи есть решение, не вдаваясь в запутанные детали и объяснения, что есть что. И в каком-то смысле мы отследили, почему древние вавилоняне смогли найти свой метод. Это небольшое исследование наделяет слово «понимать» новым смыслом. Вы можете понять, как метод вавилонян привел к решению, пройдя поочередно все этапы и убедившись в их логике. Но теперь мы знаем, почему здесь непременно должен быть такой метод, – не показав конкретное решение, но рассмотрев общие свойства предполагаемых корней. В данном случае таким ключевым свойством оказалась симметрия.

Не требуя больших усилий для того, чтобы вывести точное выражение для (a – b)², этот прием дает нам формулу решения. Она эквивалента и той формуле, которую мы учили в школе, и методу, использованному в Вавилоне.

Чувство математической формы и красоты, очень высоко развитое у Лагранжа, подсказало ему, что здесь и кроется главная идея. Если что-то похожее можно получить для кубических уравнений и уравнений четвертой степени, должна быть возможность найти решения и для пятой степени.

Используя ту же основную идею, мы выясняем, что частично симметричные функции от корней позволяют свести кубическое уравнение к квадратному. Для его решения нужен квадратный корень, а благодаря сведению можно избавиться от необходимости использовать кубический корень. Так же и любое уравнение четвертой степени может быть сведено к кубическому, которое называется кубическая разрешающая (резольвента). Вы можете решить уравнение четвертой степени, используя квадратные и кубические корни, имея дело с кубической разрешающей и четырьмя корнями, и получить в ответ искомое решение. В обоих случаях ответы идентичны классическим формулам, открытым в эпоху Возрождения. Да иначе и быть не могло: это те же самые ответы. Но теперь Лагранж знал, почему это так, и был в курсе, почему эти ответы могут быть найдены. Наверное, на этом этапе исследований он испытал немалый подъем. Переходя к уравнениям пятой степени и используя те же техники, вы ожидаете, что получите разрешающую уравнения четвертой степени, – дело сделано! Но, забегая вперед в истории его разочарования, он так и не нашел разрешающее уравнение четвертой степени. Он получил разрешающее уравнение шестой степени. И вместо того, чтобы упростить решение, его метод превратил уравнение в еще более сложное.

В чем же крылся недостаток его метода? Мог ли какой-то более талантливый математик решить уравнение пятой степени? Судя по всему, Лагранж в это верил. Он выражал надежду, что его новый подход будет полезен любому, кто отважится на поиски решения уравнения пятой степени. Кажется, ему даже не приходило в голову, что здесь не может быть такого метода, что его подход ошибочен, потому что уравнения пятой степени вообще не имеют решений в «радикалах» – выражениях, включающих арифметические операции и корни разной степени, в том числе и пятой. Еще большую путаницу привносит то, что все-таки у некоторых уравнений пятой степени есть такие решения. Например, уравнение x⁵ – 2 = 0 имеет решение x =

. Но это простой случай, и уж точно не типичный.

Кстати, все уравнения пятой степени имеют решения: как правило, это комплексные числа, и их можно численно выразить довольно точно. Проблема кроется в алгебраических формулах для поиска этих решений.

Назад: Теория групп

Дальше: Поиск решения