Математики помешаны на определениях. Мы требуем, чтобы все концепции базировались на кристально ясных, недвусмысленных определениях. Потому любая математическая идея основана на более простых идеях. Треугольник состоит из отрезков. Рациональные числа – это отношения целых чисел.

Спускаясь с башни математических определений, рано или поздно мы дойдем до фундамента. Для греков в основании всего лежала геометрия.

Евклид не пытался дать определения базовым геометрическим объектам – точке, прямой линии, плоскости. Он поступил иначе: принял за данность определенные фундаментальные свойства, которыми обладают эти объекты. Тезисы Евклида называют постулатами, или аксиомами.

Чтобы дать старт геометрии, Евклид сформулировал пять основных постулатов. В грубом переводе они звучат так:

1. Если даны две точки, есть одна и только одна прямая, проходящая через эти точки.

2. Если дан отрезок, его можно неограниченно продолжать по прямой.

3. Если дана точка и отрезок, есть одна и только одна окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

4. Любые два прямых угла равны между собой.

5. Если две прямые пересекают данную прямую и внутренние углы, получившиеся при пересечении, вместе меньше двух прямых углов, эти две прямые рано или поздно пересекутся (см. рисунок).

Первые четыре постулата просты, их легко понять. Но пятый вносит некоторую неразбериху. Подумаем, о чем он говорит.

Обозначим исходную прямую L₀, а две другие – L₁ и L₂. Прямые L₀ и L₁, а также L₀ и L₂ пересекаются под некоторыми углами.

Постулат требует от нас рассмотреть ситуацию, при которой внутренние углы (лежащие по одну сторону от L₀) меньше прямых. Стрелочки на рисунке указывают на углы, которые имел в виду Евклид. Они лежат по одну сторону L₀ и обращены друг к другу.

Переходим к сути постулата. Если эти два угла меньше прямых, L₁ и L₂ вынуждены пересечься. Точки пересечения нет на рисунке, но несложно видеть, что прямые действительно неминуемо встретятся.

Приняв эти пять постулатов за данность, Евклид перешел к доказательству сонма дивных теорем.

Пятый постулат Евклида кажется неуклюжим. Его неприглядность контрастирует с изяществом и простотой первых четырех постулатов. Математика основана не только на практике, но и на эстетике, поэтому формулировка Евклида взывает к редактуре.

Мы предлагаем вашему вниманию более простой вариант.

Эта альтернативная версия пятого постулата Евклида известна под названием постулат о параллельных прямых. Посмотрим, что он означает.

Нам даны прямая L и точка P, не лежащая на ней. Посмотрите на рисунок. Постулат 5' утверждает, что существует другая прямая, проходящая через точку P и параллельная данной (обозначена пунктирной линией), причем одна-единственная.

Математики показали, что пятый постулат Евклида и постулат о параллельных прямых эквивалентны. Это означает, что теоремы, которые мы можем доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5, – те же самые, что можно доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5'.

Несмотря на то что формулировка 5' несколько проще, чем 5, все же она не настолько изящная и блестящая, как первые четыре. Можно ли избавиться от нее? Можно ли доказать постулат о параллельных прямых как теорему и не принимать в качестве фундаментального утверждения?

Постулат о параллельных прямых накладывает два условия: во-первых, существует прямая, проходящая через точку P и не пересекающая прямую L; во-вторых, все другие прямые, проходящие через эту точку, будут пересекать L.

Естественный способ справиться с проблемой – попробовать доказательство от противного. Мы обсуждали этот метод в главе 1. Вот его логика.

Дальше мы выстраиваем цепочку умозаключений, пока не дойдем до противоречия. Оно свидетельствует о фундаментальной ошибочности утверждения (A) или (B) – смотря что мы предположили:

• Если предположение об отсутствии вышеописанной прямой приводит к противоречию, она существует.

• Если предположение о существовании нескольких вышеописанных прямых приводит к противоречию, такая прямая единственная.

Математики бились как проклятые – и потерпели поражение. Говоря точнее, результат казался диким (треугольник с суммой углов не 180°), но противоречия в нем не было.

Ничего страшного. Математики не тешат себя надеждой, что могут справиться с любой проблемой, встающей на их пути. Мы продолжаем работать как проклятые и передаем пас следующим поколениям, уповая, что у наших преемников возникнут идеи получше.

В случае постулата о параллельных прямых идеи получше возникли, но не такого рода, как можно было ожидать.

Прямая представляет собой множество точек, как и окружность или треугольник. Это множество точек обладает определенными свойствами.

Интуитивно мы понимаем, что такое прямая: она тонкая (у нее нет толщины), ровная и бесконечно продолжается в обоих направлениях. Но такое описание – еще не математическое определение. Чем прямая линия отличается от кривой? Закрепить эту идею не так-то просто.

Как мы уже отмечали, у Евклида был собственный подход к определению базовых объектов, сегодня мы воспринимаем точки и прямые иначе. У нас есть объекты под названием «точки» и множества этих объектов под названием «прямые». Если оба рода объектов удовлетворяют постулатам Евклида, получается система под названием евклидова геометрия.

Если мы изменим утверждения Евклида о фундаментальных свойствах точек и прямых, мы получим геометрию иного типа. Рассмотрим простой пример. Для начала мы сохраним первый постулат Евклида, который гласит:

1. Если даны две точки, есть одна и только одна прямая, проходящая через эти точки.

А дальше включим новый постулат, переворачивающий роли прямых и точек:

Должным образом выбранные «точки» и «прямые» могут удовлетворить тому и другому условию. Пусть у нас есть семь точек. Назовем их незамысловатым образом: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Кроме того, у нас есть семь прямых: {1, 2, 3}, {1, 5, 6}, {1, 4, 7}, {2, 5, 7}, {2, 4, 6}, {3, 4, 5} и {3, 6, 7}.

Эти «прямые» не имеют ничего общего с «прямыми» Евклида. Каждая состоит всего из трех точек!

Мы легко удостоверимся, что в этой системе из семи точек и семи прямых верны оба постулата.

• Проверим постулат 1. Возьмем любые две точки, скажем 2 и 5. Они принадлежат прямой {2, 5, 7}, и нет другой прямой, содержащей эти две точки. Вы можете самостоятельно рассмотреть все пары среди семи точек и увидеть, что всегда есть прямая, и только одна, содержащая обе точки.

• Проверим постулат 1'. Выберем любые две прямые, например {1, 4, 7} и {3, 4, 5}. Обе содержат точку 4, и это единственная общая для них точка. Вы можете рассмотреть все пары среди семи прямых и увидеть, что они всегда имеют общую точку, причем всего одну.

Странно рассуждать о геометрии без чертежей. К счастью, можно изобразить данную систему с помощью диаграммы. Семь точек помечены кружочками, а прямые представляют собой отрезки (в большинстве случаев) и окружность (в случае прямой {2, 4, 6}).

Хитрость заключается в том, что мы подобрали некие объекты, назвали их «точками», а затем по определенному принципу сформировали множества этих объектов и назвали их «прямыми». Если все объекты удовлетворяют нашим постулатам, мы по праву можем называть их точками и прямыми, даже если они не имеют ничего общего с точками и прямыми в понимании Евклида.

Евклидовы точки и линии можно определить следующим образом. Точка – пара действительных чисел (x, y). Прямая – множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению ax + bx + c = 0, где числа a и b не равны нулю. С помощью этих определений (и соответствующих определений окружности и угла) можно доказать, что постулаты Евклида выполняются.

Если мы воспринимаем точки как пары чисел, а прямые как решения уравнений, то оказываемся на декартовой плоскости, названной в честь математика и философа Рене Декарта.

Мы стали своевольничать с употреблением слов «точка» и «прямая». Мы можем назвать что угодно «точкой» и сгруппировать эти точки в множества под названием «прямые», если все они удовлетворяют надлежащим постулатам. Что значит надлежащим? Для Евклида несомненными утверждениями были те пять постулатов, которые мы привели в начале главы.

Я сейчас расскажу о новых определениях «точек» и «прямых», необходимых для создания гиперболической геометрии. В этой геометрии все точки лежат внутри одной окружности. Область внутри нее мы будем называть гиперболической плоскостью.

Прямые на гиперболической плоскости представляют собой дуги окружностей. Это обескураживает: как дуга может быть прямой? Разве дуга не кривая? Давайте говорить «гиперболическая прямая», отличать ее от негибкой тезки.

Вот два способа построения гиперболических прямых:

• Начертите окружность, пересекающую гиперболическую плоскость под двумя прямыми углами. Часть окружности внутри гиперболической плоскости представляет собой гиперболическую прямую.

• Проведите прямую через центр гиперболической плоскости. Часть прямой внутри гиперболической плоскости тоже представляет собой гиперболическую прямую.

На чертеже вы можете видеть три прямые на гиперболической плоскости.

Гиперболическая плоскость – это область внутри обозначенной точками окружности. Две гиперболические прямые – дуги пунктирных окружностей, еще одна гиперболическая прямая – диаметр окружности, обозначенной точками. Замечу, что конечные точки дуг и диаметра не относятся к соответствующим гиперболическим прямым. (Обозначенные пунктиром окружности не входят в гиперболическую плоскость, они просто показывают, по какому принципу мы вычерчиваем гиперболические прямые – это части окружностей, пересекающих обозначенную точками окружность под прямыми углами.)

На следующем чертеже вы видите три гиперболические прямые. Две из них пересекаются, а третья параллельна и той и другой! Такое совершенно невозможно на евклидовой плоскости.

Здесь все не так, как мы привыкли. Многие геометрические «факты» на евклидовой плоскости не работают в случае гиперболической плоскости.

Для начала: все не так с треугольниками. На евклидовой плоскости сумма углов треугольника равна 180° (мы доказали это обстоятельство в главе 13, однако опирались на постулат о параллельных прямых). На гиперболической плоскости сумма углов треугольника меньше 180°.

На евклидовой плоскости площадь треугольника может быть настолько большой, насколько мы того хотим. На гиперболической плоскости максимальная площадь треугольника не может превышать некоторой величины, и есть простая формула для подсчета площади. Если сумма углов треугольника равна s, площадь треугольника равна K × (180 – s), где K – определенное число. В соответствии с этой формулой два разных треугольника с равными углами имеют равную площадь. В евклидовой геометрии это не так: скажем, треугольники с углами 35°, 60° и 80° имеют одну и ту же форму (другими словами, подобны), но не обязательно совпадают по размеру. На гиперболической плоскости два треугольника с углами 35°, 60° и 80° не просто совпадают по площади – они конгруэнтны!

Квадрат – это четырехугольник, в котором все углы равны 90°. Вот интересный факт о квадратах на гиперболической плоскости: их попросту не существует! На рисунке изображена фигура на гиперболической плоскости, у которой три угла равны 90°, а четвертый меньше 90°.

Почему прямоугольников здесь нет? Подумаем о четырехугольнике R на гиперболической плоскости. Рассечем его на две части по линии, соединяющей два противоположных угла. Получатся два треугольника. Сумма углов в каждом меньше 180°, поэтому сумма углов образованного ими четырехугольника меньше 360°. Следовательно, все четыре угла не могут быть равны 90°.

Можно замостить евклидову плоскость равносторонними треугольниками или шестиугольниками. Однако нельзя замостить ее правильными пятиугольниками. Почему? Углы правильного пятиугольника равны 108°. Углы при общей вершине трех правильных пятиугольников дают в сумме 324°, что меньше полного угла. Остается зазор. Четыре правильных пятиугольника не могут иметь общую вершину, в противном случае углы при ней давали бы в сумме 432°, что превышает 360°.

В то же время углы правильного n-угольника на гиперболической плоскости зависят не только от n. Мы можем построить правильный пятиугольник, все углы которого равны 90° (посмотрите на иллюстрацию).

Углы при общей вершине четырех таких пятиугольников дают в сумме ровно 360°. Таким образом, ими можно замостить всю гиперболическую плоскость, как показано на рисунке.

Все пятиугольники на рисунке совпадают по размеру и по форме. Они выглядят все меньше и меньше, приближаясь к границе, но это всего лишь особенность изображения гиперболической плоскости. На самом деле все «паркетины» на иллюстрации абсолютно идентичны. Это правильные многоугольники с пятью углами по 90° каждый, и их можно плотно пригнать друг к другу.

Вот еще два примера замощения гиперболической плоскости для услаждения ваших глаз.