Книга: Большой роман о математике. История мира через призму математики
Назад: 14 Бесконечно малые величины
Дальше: 16 Появление машин
15
Измерить будущее
Марсель, 8 июня 2012 г.
Этим утром я встал на рассвете. Немного нервничая, но сгорая от нетерпения, я быстро позавтракал, надел свою лучшую рубашку и отправился в путь. Снаружи солнце ярко светило в небе над Провансом, и прохлада ночи быстро уходила. День обещает быть жарким. В Старом порту начинает работать рыбный рынок, и несколько туристов уже прогуливаются по Ла-Канебьер.
Но сегодня нет времени для прогулок. Я сажусь в метро и направляюсь в сторону квартала Шато-Гомбер, на север города. Здесь расположен Центр изучения математики и информатики (ЦМИ), в котором я работаю вот уже четыре года. Здесь занимаются исследованиями около ста математиков. Придя на рабочее место, я последний раз просматриваю свой материал. Три широких полукруглых контейнера, заполненных разноцветными шариками, и стопка бумаг, на последней из которых написано:
Сегодня мой последний день в ЦМИ. В 14 часов я буду защищать докторскую диссертацию.
Годы, проведенные за написанием докторской диссертации – это уникальное время в жизни любого ученого. Оставаясь формально в статусе учащихся, аспиранты не посещают занятия и не сдают экзамены. На самом деле наши будни больше напоминают жизнь ученых. Чтение последних статей, обмен мнениями с другими математиками, участие в семинарах, затем развитие в своей области исследований, выдвижение предположений, формулирование новых теорем и их последующее доказательство. Все это происходит под руководством опытного математика, ответственного за содействие в соискании научной степени. Мой научный руководитель – математик французско-хорватского происхождения Влада Лимик – помогает мне в проведении исследований на протяжении последних четырех лет. Ее работы, как и предмет моего исследования, относятся к подразделу математики, появившемуся в середине XVII в. и получившему название «теория вероятностей».
Для того чтобы понять проблематику этой дисциплины, нам снова придется погрузиться в глубь истории. Спустя 14 часов, покинув здание ЦМИ, позвольте мне проводить вас в увлекательный мир вероятностей. Случайность событий уже давно волнует умы человечества. С доисторических времен люди были свидетелями многих необъяснимых природных явлений, происходивших периодически без видимых причин. Первоначально, за неимением лучшего объяснения, эти события объяснялись волей богов. Затмения, радуга, землетрясения, эпидемии, паводки или появление комет интерпретировались как божественные послания, которые могут быть расшифрованы. Эта задача была возложена на колдунов, оракулов, священников или шаманов, которые зарабатывали на жизнь тем, что проводили многочисленные ритуалы, чтобы обратиться к богам, не дожидаясь, пока они соизволят сами проявить себя. Другими словами, люди начали искать способы влияния на наступление случайных событий.
Беломантия, или искусство гадания с помощью стрел, – это один из старейших способов принятия решения. Прикрепите к каждой из стрел один из вариантов ответа на вопрос, который вы задаете вашему богу, поместите их все в колчан, встряхните его и затем вытяните одну – это и будет ответ. Таким образом, например, поступил Навуходоносор II, царь Вавилона, когда выбирал врагов, которым он объявил войну в VI в. до н. э. Кроме стрел, выбираемые объекты могут принимать различные формы: цветные камешки, плитки, стержни или шарики. Древние римляне дали этим объектам название «жребий».
От этого слова происходит выражение «бросить жребий», а также слово «колдовство», которое первоначально означало вмешательство человека в волю богов. Постепенно увеличивалось количество механизмов случайного выбора, которые приобрели множество различных форм. Жребий использовался в некоторых политических системах, таких как, например, в Афинах, чтобы выбрать пятьсот граждан, которые будут заседать в буле, или, несколько столетий спустя, в Венеции, для избрания дожей. Случайность наступления событий будет также отличным источником вдохновения для создателей игр. Так появились игра «орел или решка», игральные кости в форме Платоновых тел, а также карточные игры.
Именно благодаря появлению азартных игр, управляемых волей богов, в итоге ряд математиков заинтересовались данным вопросом. Они начали изучать вероятность наступления тех или иных случайных событий в будущем.
Все началось в середине XVII в., когда в 1635 г. математик и философ Марен Мерсенн основал Парижскую академию наук, которая впоследствии была преобразована во Французскую академию наук. Однажды в ходе дискуссии между учеными из разных слоев общества, писатель Антуан Гомбо, занимавшийся математикой в свободное время, поднял интересовавший его вопрос. Представим ситуацию, когда два игрока поставили на кон определенную сумму денег и после трех раундов счет оказался равным 2: 1 в пользу первого игрока. Если при таком счете они решают не продолжать игру, то в какой пропорции должен быть разделен игровой банк?
Среди присутствовавших в тот день ученых данным вопросом заинтересовались двое французских математиков, Пьер де Ферма и Блез Паскаль. После короткого обсуждения оба пришли к выводу, что три четверти банка должны вернуться к первому игроку, а оставшаяся четверть – ко второму. Чтобы прийти к такому выводу, ученые проанализировали все возможные сценарии развития игры, оценивая шансы каждого из игроков. Таким образом, гипотетически в следующем раунде первый игрок будет иметь 50 %-ный шанс выиграть игру, в то время как второй игрок будет иметь 50 %-ную вероятность сравнять счет. И если счет будет сравнен, в последующем раунде у игроков окажутся равные шансы на победу, т. е. вероятность каждого на победу будет равна 25 %. Можно схематично изобразить это на следующей схеме:
Таким образом, мы видим: вероятность победы первого игрока 75 %, второго – 25 %. Вывод, сделанный Паскалем и Ферма, заключается в том, что необходимо поделить игровой банк в соответствии с вероятностью победы: первый игрок – 75 %, а второй – оставшиеся 25 %.
Рассуждения французских ученых лягут в основу дальнейших исследований в этой области. Такой подход применим к большинству азартных игр. Швейцарский математик Якоб Бернулли был одним из первых, кто стал заниматься исследованиями в этой области и в конце XVII в. написал книгу под названием «Искусство предположений» (итал. Ars Conjectandi), опубликованную только после его смерти в 1713 г. В этой книге он привел анализ традиционных азартных игр и впервые сформулировал один из основополагающих принципов теории вероятности: закон больших чисел.
Этот закон подтверждает, что чем больше раз будет повторяться описанный выше прием, тем более точным окажется определение вероятности, стремящееся к своему пределу. Иными словами, если продолжать эти рассуждения в долгосрочной перспективе, средние значения перестают быть случайными.
Понять это явление очень несложно. Закон больших чисел можно разобрать на примере игры «орел или решка». Если монета сбалансирована, то вероятность выпадения одной из двух сторон равна 50 %, что может быть представлено на следующей гистограмме.
Теперь представьте, что вы бросили монету два раза и затем подсчитываете общее количество выпавших орлов и решек. Возможны три варианта: два орла, две решки, орел и решка. Есть большой соблазн предположить, что вероятность наступления этих трех событий одинакова, но это не так. На самом деле вероятность выпадения орла и решки равна 50 %, а выпадения двух орлов или двух решек – по 25 % каждая.
Этот дисбаланс обусловлен тем фактом, что две различные комбинации дают один и тот же конечный результат. Если дважды подбросить монету, фактически есть четыре возможных варианта: орел-орел, орел-решка, решка-орел и решка-решка. Варианты орел-решка и решка-орел дают один и тот же конечный результат: один орел и одна решка, в связи с чем вероятность выпадения такой комбинации в два раза больше. Игроки также знают, что если подбросить два игральных кубика, то выпавшая сумма будет с большей вероятностью равна 7, чем 12, потому что есть много комбинаций, сумма которых равна 7 (1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1) и только одна, дающая 12 (6 + 6).
Чем больше раз подбросишь монету, тем более выраженным становится это явление. Сценарии отклоняются от среднего значения, постепенно становятся исключительно редкими по сравнению со средними значениями.
Если вы подбросите монету десять раз, есть примерно 66 %-ная вероятность того, что выпадет от 4 до 6 орлов.
Если подбросить ее сто раз, то с вероятностью 96 % выпадет от 40 до 60 орлов. А если подбросить ее тысячу раз, то вероятность выпадения от 400 до 600 орлов достигнет 99,99999998 %.
Если построить гистограммы, соответствующие 10, 100 и 1000 подбрасываниям монеты, то можно заметить, что ближе к центру концентрируются более длинные столбцы, соответствующие наибольшей вероятности, а крайние варианты становятся невидимыми невооруженным глазом.
Гистограмма возможных комбинаций при 10 подбрасываниях
Гистограмма возможных комбинаций при 100 подбрасываниях
Гистограмма возможных комбинаций при 1000 подбрасываниях
Таким образом, закон больших чисел доказывает: при бесконечном повторении экспериментов со случайным исходом среднее арифметическое значение выборки и значение с наибольшей вероятностью выпадения совпадут.
Этот принцип лежит в основе всех опросов и других статистических приемов. Опросим 1000 человек, какой шоколад они предпочитают: темный или молочный. Если 600 ответят – черный, а 400 – молочный, высока вероятность того, что доля предпочтений населения, даже если оно состоит из миллионов человек, также будет близка к 60 %, предпочитающих темный шоколад, и 40 % – молочный. Если задать вопрос о вкусе случайно выбранного человека, то его ответ будет аналогом выпадения орла или решки. Отличие лишь в том, что орел и решка заменяются темным и молочным шоколадом.
Конечно, может оказаться, что все 1000 опрошенных будут любить темный шоколад или, наоборот, опросят всех тех, кто любит только молочный шоколад. Но вероятность наступления крайних случаев ничтожно мала, и закон больших чисел гарантирует, что при опросе достаточно большой выборки людей полученное среднее значение будет близко к среднему значению для всего населения.
При дальнейшем анализе различных сценариев и вероятности их наступления можно также установить доверительный интервал и оценить вероятность ошибки. Можно, например, сказать, что существует 95 %-ная вероятность того, что доля людей, предпочитающих темный шоколад, составляет от 57 до 63 %. Все объективные исследования должны сопровождаться данными об их точности.
Треугольник Паскаля
В 1654 г. Блез Паскаль опубликовал книгу под названием «Трактат об арифметическом треугольнике». Он описывал треугольник, состоящий из ячеек, внутри каждой из которых содержатся числа.
Здесь представлены только первые семь строк, но треугольник может быть продолжен до бесконечности. Цифры в ячейках определяются двумя правилами. Во-первых, в крайних ячейках содержатся числа 1. Во-вторых, числа, записанные во внутренних ячейках, равны сумме чисел двух ячеек, расположенных непосредственно над ними. Например, число 6, записанное в ячейке на пятой строке, получено в результате сложения двух 3, которые расположены над ним.На самом деле этот треугольник был известен еще задолго до того момента, когда им заинтересовался Паскаль. Персидские математики аль-Караджи и Омар Хайям открыли его еще в XI в. В то же время его свойства изучал в Китае Цзя Сян, чью работу продолжит в XIII в. Ян Хуэй. В Европе Тарталья и Виет также знали о его существовании. Тем не менее Блез Паскаль был первым, кто посвятил этому явлению такой полный и подробный трактат. Он также был первым, кто заметил тесную связь между этим треугольником и подсчетом вероятности.Каждая строка треугольника Паскаля позволяет подсчитать количество возможных вариантов последовательности событий с двумя вариантами, как, например, орел и решка. Если подбросить монетку три раза, то получится восемь вариантов комбинаций: орел-орел-орел, орел-орел-решка, орел-решка-орел, орел-решка-решка, решка-орел-орел, решка-орел-решка, решка-решка-орел и решка-решка-решка. Проводя анализ возможных комбинаций, можно прийти к следующим выводам:• 1 комбинация с тремя орлами;• 3 комбинации с двумя орлами и одной решкой;• 3 комбинации с одним орлом и двум решкам;• 1 комбинация с тремя решками.Данная последовательность чисел, 1–3–3–1, точно соответствует четвертой линии треугольника. Это не случайность, что и было доказано Паскалем.Если, например, посмотреть на шестую строчку, можно увидеть, что если подбросить монету пять раз, то в 10 случаях выпадут 2 орла и 3 решки. Двигаясь вниз по треугольнику, можно оценить варианты комбинаций при десяти подбрасываниях монеты: они находятся на 11-й строчке. Вероятности для ста бросков будут находиться на 101-й строчке и так далее. С помощью треугольника Паскаля можно легко проверить представленные выше гистограммы. Без этого последующие числа были бы настолько велики, что совсем скоро их было бы невозможно перечислить по отдельности.Кроме теории вероятности, треугольник Паскаля будет также применим в других областях математики. Числовые ряды треугольника, например, очень полезны в алгебре для решения некоторых уравнений. Можно также найти в этом треугольнике некоторые последовательности, например треугольные числа (1, 3, 6, 10…) на его диагоналях или последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8…), получаемую в результате сложения чисел, расположенных на параллельных наклонных линиях.
Последовательность треугольных чисел в треугольнике Паскаля
Числа Фибоначчи в треугольнике Паскаля
В последующие века в рамках теории вероятности были разработаны более точные и эффективные методы оценки вероятностей. Вскоре в теории вероятности успешно начало применяться исчисление бесконечно малых величин. Многие случайные явления, влияющие на будущее, могут иметь бесконечно малые вариации. В метеорологической модели, например, непрерывно изменяется температура. Так же как и отрезок имеет длину, в то время как составляющие его точки – нет, некоторые потенциальные события могут случиться, но вместе с тем не каждый возможный вариант, который вошел в выборку возможных вариантов, наступит. Вероятность того, что через неделю температура будет равна ровно 23,41 градуса или составлять любую другую точную величину, приблизительно равна 0. Однако вероятность того, что температура будет находиться в интервале от 0° до 40°, в самом деле большая!
Еще одной задачей в рамках исследований теории вероятности было изучение поведения случайных систем, способных модифицировать самих себя. Монета сохраняет свои свойства, даже если подкинуть ее тысячу раз, но во многих реальных ситуациях не все так просто. В 1930 г. венгерский математик Дьёрдь Пойа опубликовал статью, в которой анализировал скорость распространения эпидемии. Особенность предложенной им модели заключается в том, что эпидемия распространяется быстрее, когда многие люди уже заражены.
Если в вашем окружении много зараженных людей, вероятность того, что вы заболеете, будет выше. И если вы заболели, то вы сами уже повышаете риск заразиться для людей вокруг вас. Короче говоря, данное явление усиливает само себя, и вероятности постоянно меняются. Этот феномен принято называть усиленная случайность.
Процессы с усиленной случайностью часто используются сегодня в различных ситуациях. Одна из самых эффективных областей применения – это анализ динамики изменения численности популяции. Возьмем для примера популяцию животных, эволюцию биологических или генетических признаков которых вы хотите проследить в течение нескольких поколений. Представьте, например, что 60 % людей имеют темные глаза и 40 % – голубые. Таким образом, с генетической точки зрения вероятность рождения детей с темными глазами будет равна 60 %, а с голубыми – 40 %. Изменение цвета глаз имеет аналогичное свойство, как и распространение эпидемии: чем больше в этой группе людей с одним цветом глаз, тем выше шансы того, что родится ребенок именно с таким цветом глаз. Процесс сам себя усиливает.
Таким образом, модель Пойа позволяет спрогнозировать вероятность развития различных биологических характеристик вида. Некоторые из них могут в итоге исчезнуть. Другие, наоборот, – распространиться на всю популяцию. Третьи равномерно распределиться с небольшими изменениями в течение нескольких поколений. Невозможно предсказать заранее, по какому из этих сценариев будет происходить развитие, но, как и в игре орел и решка, можно оценить шансы в долгосрочной перспективе и спрогнозировать наиболее вероятную динамику изменений.
В 1985 г., когда Дьёрдь Пойа умер, мне едва исполнился один год. Таким образом, можно сказать, что несколько месяцев своей жизни я был современником ученого, основавшего теорию, в рамках которой я сам работаю и разрабатываю собственные теоремы.
Не вдаваясь в подробности, результаты моих исследований касаются нескольких случайных процессов, которые периодически оказывают влияние друг на друга. Представьте себе, к примеру, несколько стад одного вида, живущих отдельно на одной и той же территории; иногда некоторые животные переходят из одной группы в другую. Какие варианты развития событий возможны и как вычислить вероятность их наступления? Вот те вопросы, на которые частично отвечают мои исследования.
Да, конечно, мои теоремы весьма скромные и будет смелым шагом упомянуть их в середине этой большой истории среди многочисленных великих имен. Даже если бы я был одним их них, рассуждал я в течение четырех лет написания своей диссертации, добросовестно выполняя свою исследовательскую работу, следует признать, что мои выводы имеют небольшое значение по сравнению со многими другими более одаренными математиками, чем я. Тем не менее этого оказалось достаточно для того, чтобы 8 июня 2012 г. аттестационная комиссия присвоила мне по итогам защиты, длившейся целый час, степень доктора математических наук.
Эта церемония волнительна, так как через нее ты становишься сопричастным великой истории. Само слово «доктор» происходит от латинского слова docere – «преподавать». Доктор – это тот, кто достаточно хорошо изучил свой предмет, чтобы передавать свои знания. Начиная с позднего Средневековья в университетах, современных аналогах Мусейона в Александрии или Байт аль-Хикма в Багдаде, докторантура заняла прочное место в институциональной системе и обеспечивала ученым возможность для проведения своих исследований.
С тех пор в науке столетие за столетием происходила преемственность ученых, преподавателей и учеников, что обеспечило практически непрерывную сменяемость поколений. Забавно, но благодаря этому можно проследить происхождение научных руководителей ученых. Научным руководителем моего научного руководителя, математика Влады Лимик, был Дэвид Олдаус за несколько лет до этого. И этот ряд можно продолжить. Поднимаясь от учителя к ученику, можно проследить полную «родословную» любого математика. Посмотрите, моя родословная начинается с XVI в., и в ней более двадцати поколений!
Мой самый далекий предок – математик Никколо Тарталья, о котором мы уже раньше говорили. Невозможно продолжить этот ряд, так как итальянский ученый был самоучкой. Родившийся в бедной семье, молодой Тарталья, согласно легенде, даже вынужден был украсть в своей школе книги, чтобы познать математику.
В этом генеалогическом древе вы также можете найти Галилея и Ньютона, ученых, не требующих представления. В одной из частей схемы можно увидеть имя Марена Мерсенна, основавшего Парижскую академию наук, место, где была разработана теории вероятностей. Его ученик Жиль Роберваль изобрел весы, которые носят его имя. Чуть выше Джордж Дарвин, сын Чарльза Дарвина, автора теории эволюции.
Нет ничего удивительного в том, что здесь так много великих математиков, т. к. если проследить генеалогию большинства математиков достаточно далеко, то в конце концов можно встретить известные имена. Следует также отметить, что на этой схеме представлены только мои прямые предки, и в ней отсутствуют многочисленные «кузены». На сегодня у Тартальи уже больше тринадцати тысяч потомков, и это число продолжает расти с каждым годом.
Назад: 14 Бесконечно малые величины
Дальше: 16 Появление машин
