Говядину пропустить через мясорубку. Лук мелко нарубить, морковь натереть на терке, обжарить вместе в растительном масле. Добавить мясной фарш, соль, перец, быстро обжарить на сильном огне. Помидоры и картофель нарезать кружочками, баклажаны – длинными пластинками. Подготовленные овощи по отдельности слегка обжарить в масле с обеих сторон. Выложить в форму слоями, перекладывая мясным фаршем с луком. Залить смесью молока с яйцом, посыпать тертым сыром. Запекать в духовке при 200 °С около 30 минут.