15 Стратегии и голосование

Когда речь заходит о голосовании, вы, наверное, в первую очередь вспоминаете о выборах президента, затем, возможно, о выборах мэра, а иногда даже о выборах старосты класса в школе. А кто-то вспоминает и об университетском футболисте, выигравшем в прошлом году кубок Хайсмана, или о фильме, получившем «Оскар», или о последнем решении Верховного суда. Все эти ситуации связаны с голосованием, хотя и отличаются по числу участников, длине списка кандидатов или количеству вариантов выбора, доступных голосующим, а также процедур подсчета голосов и определения победителя. В каждом случае стратегическое мышление может сыграть определенную роль в схеме заполнения бюллетеней для голосования. Кроме того, стратегические соображения могут иметь решающее значение при выборе метода проведения голосования и подсчета голосов.

Процедуры голосования существенно разнятся не потому, что одни подразумевают выбор лауреатов премии «Оскар», а другие — выбор президента, а потому, что конкретные процедуры обладают свойствами, которые делают их более (или менее) подходящими для тех или иных ситуаций, требующих голосования.

Например, в последнее десятилетие стали расти опасения, что выборы, которые проходят по мажоритарной системе (когда побеждает кандидат, набравший большее количество голосов), способствуют формированию двухпартийной системы, из-за чего в более чем десяти американских городах были изменены правила голосования. Кое-где эти изменения привели к результатам, отличавшимся от тех, которые были бы получены при прежней системе голосования по принципу относительного большинства. Например, мэр Окленда Джин Куан заняла этот пост в ноябре 2010 года, несмотря на то что ей отдали первое место только 24% избирателей, тогда как за кандидата, оказавшегося в итоге вторым, проголосовало 35% избирателей. В последнем туре преференциального голосования, проходившем в этом городе, Куан получила 51% голосов, а оставшиеся 49% достались кандидату, занявшему второе место. Мы проанализируем столь парадоксальные результаты в  данной главы.

С учетом того, что разные процедуры голосования способны обеспечить разные результаты, становится понятен диапазон возможностей стратегического поведения при выборе процедуры, которая может генерировать предпочтительный для вас результат. Нередки случаи, когда избиратели голосуют не за, а вопреки, то есть за того (или то), кто не является для них лучшим вариантом, но позволяет избежать худшего варианта. Данный тип стратегического поведения весьма распространен, когда это позволяют процедуры голосования. Как избиратель вы должны знать о преимуществах, обусловленных таким стратегическим искажением предпочтений, а также о том, что другие могут применить эту тактику против вас.

В следующих разделах главы мы сначала познакомим вас с диапазоном существующих процедур голосования, а также с некоторыми парадоксальными результатами, порой возникающими при использовании определенных процедур. Затем рассмотрим, как можно оценить эффективность этих процедур, прежде чем приступать к изучению стратегического поведения участников голосования и способов манипулирования его результатами. И наконец, представим два варианта результата, известного как теорема о медианном избирателе, в виде игры с нулевой суммой с двумя участниками, в которой используются дискретные и непрерывные стратегии.

1. Правила и процедуры голосования

Наличие многочисленных процедур голосования позволяет сделать выбор из списка альтернатив (кандидатов или вопросов). Но что примечательно, даже если таких альтернатив всего три, структура выборов существенно усложняется. В данном разделе мы опишем ряд процедур, используемых в трех широких классах методов голосования, или методов агрегирования голосов. Количество возможных процедур голосования огромно, и приведенную нами простую классификацию можно существенно расширить, включив в нее выборы, основанные на сочетании таких процедур. Этой теме посвящено немало работ как в области экономики, так и в области политологии. Мы не задавались целью представить их исчерпывающий обзор, а, скорее, хотели помочь вам составить о них общее представление. Если вас интересует эта тема, рекомендуем прочитать дополнительную литературу, в которой содержится более подробная информация.

А. Бинарные методы

Методы агрегирования голосов можно разделить на категории по числу вариантов, или кандидатов, рассматриваемых избирателями в любой момент времени. Бинарные методы подразумевают выбор одной из двух альтернатив за один раз. Во время выборов с участием ровно двух кандидатов голоса можно агрегировать посредством использования хорошо известного принципа простого большинства, согласно которому побеждает кандидат, получивший большинство голосов. При наличии более двух альтернатив можно применить парное голосование — метод, который сводится к повторению бинарного голосования. Парные про­цедуры голосования многоэтапны и подразумевают голосование по парам альтернатив в ходе нескольких туров по принципу относительного большинства для определения наиболее предпочтительной альтернативы.

Одна из процедур парного голосования, в соответствии с которой каждая альтернатива выставляется против каждой из оставшихся альтернатив в процессе парного сравнения по принципу большинства, обозначается термином «метод Кондорсе», по имени французского ученого XVIII столетия Мари Жана Антуана Николя де Карита, маркиза де Кондорсе. Он полагал, что выиграть выборы должен кандидат, который победит всех остальных кандидатов в серии состязаний один на один; такого кандидата (или альтернативу) в настоящее время называют победителем по Кондорсе. Другие парные процедуры голосования подразумевают вычисление таких показателей, как индекс Коупленда, который отражает количество побед и поражений альтернативы в процессе парного сравнения. В первом туре Чемпионата мира по футболу разновидность индекса Коупленда позволяет определить, какие команды из каждой группы перейдут во второй тур чемпионата.

Еще одна известная процедура парного сравнения, используемая при наличии трех возможных альтернатив, — это процедура внесения поправок, применения которой требует регламент Конгресса США в случае, когда законопроект ставится на голосование. Когда законопроект выносится на обсуждение Конгресса, его любой исправленный вариант сначала должен выиграть в голосовании против первоначального варианта. Вариант, победивший в первом туре голосования, выносится на голосование против действующего закона, и Конгрессмены голосуют за то, принимать ли ту версию закона, которая победила в первом туре; затем для определения победителя можно применить принцип простого большинства. Процедуру внесения поправок можно использовать для рассмотрения любых трех альтернатив: для этого сначала проводится первый тур голосования с участием двух альтернатив, а во время второго тура третья альтернатива выставляется против победившей альтернативы.

Б. Множественные методы

Множественные методы позволяют избирателям рассматривать три и более альтернативы одновременно. Одна группа множественных методов голосования подразумевает использование информации о позиции альтернатив в бюллетене для определения количества баллов, учитываемых при подсчете результатов голосования; такие методы голосования известны как позиционные методы. Уже знакомый вам принцип относительного большинства голосов — особый случай позиционного метода, когда каждый участник голосования отдает один голос за самую предпочтительную для него альтернативу. При подсчете голосов ей присваивается одно очко; победителем становится альтернатива, получившая наибольшее количество голосов (баллов). Обратите внимание, что победителю голосования, проведенного по принципу относительного большинства, не нужно набирать большинство (51%) голосов. Например, во время президентских выборов 2012 года в Мексике Энрике Пенья Ньето стал президентом, набрав 38,21% голосов; его оппоненты получили 31,6%, 25,4% и 2,3% голосов. Столь незначительный отрыв от соперников вызвал вопросы о легитимности выборов президента в Мексике, особенно в 2006 году, когда разрыв составлял всего 0,58%. Еще один особый случай позиционного метода — метод относительного антибольшинства, при котором избирателям предлагается голосовать против одного пункта в списке или, наоборот, за все пункты, кроме одного. В ходе подсчета голосов альтернативе, получившей голос против, присваивается −1 очко, или все альтернативы, кроме одной, получают по 1 баллу, а альтернатива, против которой подан голос, 0 баллов.

Один из самых известных позиционных методов голосования — подсчет Борда (рейтинговое голосование), названный так по имени соотечественника и современника Кондорсе Жана-Шарля де Борда. Борда описывал новую про­цедуру как усовершенствованный вариант принципа относительного большинства. Метод Борда подразумевает, что каждый голосующий располагает все возможные альтернативы в порядке предпочтения. Баллы присваиваются на основании позиции соответствующей альтернативы в бюллетене. Во время выборов из трех кандидатов кандидат, занимающий верхнюю позицию в бюллетене, получает 3 балла, второй кандидат 2 балла и последний — 1 балл. После сбора бюллетеней баллы каждого кандидата суммируются и выборы выигрывает тот, кто получил максимальное количество баллов. Подсчет Борда часто используется в некоторых видах спорта, например при определении кандидатов на получение приза Сая Янга в профессиональном бейсболе, а также во время проведения чемпионатов по американскому футболу среди университетских команд.

Многие другие позиционные методы можно разработать просто путем изменения правила, используемого для присвоения баллов альтернативам на основании их позиций в избирательном бюллетене. Одна система может подразумевать присвоение баллов таким образом, чтобы альтернатива с самым высоким рейтингом получила их сравнительно больше, чем другие, — например, 5 баллов наиболее предпочтительной альтернативе в выборах с участием трех кандидатов и только 2 и 1 балл второй и третьей альтернативам. В выборах с участием большего количества кандидатов (скажем, восьми) две первые альтернативы в избирательном бюллетене могут находиться в более выгодном положении, получая, соответственно, 10 и 9 баллов, тогда как остальные по 6 баллов и меньше.

Альтернативой позиционным множественным методам стал сравнительно недавно изобретенный метод одобрительного голосования, при котором его участники могут голосовать за каждую одобренную ими альтернативу. В отличие от позиционных методов, одобрительное голосование не проводит различия между альтернативами на основе их позиции в бюллетене. Все голоса, отданные в случае одобрительного голосования, рассматриваются как равноценные, а побеждает кандидат, получивший одобрение большинства голосующих. На выборах, в которых может быть больше одного победителя (например, выборах школьного совета), пороговый уровень одобрения устанавливается заранее и побеждают альтернативы, получившие число голосов, превышающее минимальный уровень одобрения. Сторонники этого метода утверждают, что он отдает предпочтение относительно умеренным альтернативам по сравнению с альтернативами, находящимися у любого конца общего диапазона. В свою очередь, противники полагают, что невнимательные избиратели могут избрать неподходящего новичка из списка кандидатов, отдав за него слишком много «поощрительных» голосов. Но, несмотря на эти разногласия, ряд профессиональных ассоциаций и Организация Объединенных Наций используют одобрительное голосование для избрания своих должностных лиц, а некоторые штаты уже применяют (или рассматривают такую возможность) этот метод во время выборов в органы власти.

В. Смешанные методы

Некоторые многоэтапные процедуры голосования совмещают множественный и бинарный методы в рамках смешанных методов. Например, двухэтапный метод голосования принцип простого большинства со вторым туром используется для уменьшения большой группы возможных вариантов до бинарного решения. Во время первого этапа выборов избиратели отмечают свои наиболее предпочтительные альтернативы, после чего подсчитываются голоса, отданные за каждую. Если один кандидат получает большинство голосов на первом этапе, он выигрывает выборы. Но если после первого тура большинства голосов не набирает ни один кандидат, между двумя наиболее предпочтительными альтернативами проводится второй тур выборов, победитель которого определяется по принципу простого большинства голосов. Такая процедура используется на президентских выборах во Франции. Но она может привести к неожиданным результатам, если в первом туре три или четыре сильных кандидата делят между собой голоса избирателей. Например, весной 2002 года кандидат от крайнего правого крыла Ле Пен в первом туре президентских выборов оказался вторым, опередив премьер-министра Франции, социалиста Жоспена. Это вызвало удивление и полное смятение среди французских граждан, 30% которых даже не потрудились пойти на выборы, в то время как другие воспользовались первым туром, чтобы выразить свои симпатии к кандидатам крайне левого толка. Тот факт, что Ле Пен вышел во второй тур, вызвал серьезные политические волнения, хотя в итоге он проиграл действующему президенту Шираку.

Еще одна смешанная процедура голосования сводится к проведению нескольких последовательных туров. Голосующие выбирают одну из альтернатив в ходе каждого тура голосования, после завершения которого альтернатива с самым низким результатом исключается из списка. В следующем туре рассматриваются оставшиеся альтернативы. Исключение альтернатив продолжается до тех пор, пока их не останется всего две; на этом этапе используется бинарный метод голосования и победитель определяется по системе простого большинства со вторым туром. Процедура проведения голосования в несколько туров применяется при выборе места проведения Олимпийских игр.

Необходимость в нескольких последовательных турах голосования можно устранить, сделав так, чтобы избиратели указывали порядок своих предпочтений в первом избирательном бюллетене. Тогда для подсчета голосов в следующих турах можно использовать систему единого передаваемого голоса, в которой каждый голосующий ранжирует кандидатов, включенных в один первоначальный бюллетень, в порядке предпочтения. Если ни одна альтернатива не получает большинства голосов, отданных за первое место, кандидат с самым низким рейтингом исключается из списка, а голоса избирателей, отдавших ему первое место, передаются кандидату, указанному в списке вторым. Аналогичное перераспределение голосов происходит в последующих турах по мере исключения из списка очередных альтернатив. Побеждает альтернатива, получившая большинство голосов. Этот метод голосования, чаще называемый системой мгновенного второго тура, в настоящее время применяется в нескольких американских городах, в том числе в Окленде и Сан-Франциско. В некоторых городах его стали называть голосование методом ранжирования из-за ожидания избирателями «мгновенных» результатов, тогда как для полного подсчета бюллетеней требуется два-три дня.

Систему единого передаваемого голоса используют иногда в сочетании с пропорциональным представительством на выборах, которое подразумевает, что электорат штата, состоящий, например, из 55% республиканцев, 25% демократов и 20% независимых избирателей, обеспечивает формирование представительского органа власти, отображающего партийную принадлежность данного контингента избирателей. Иными словами, 55% членов палаты представителей США от такого штата будут республиканцами и т. д. Этот результат резко отличается от системы голосования, основанной на принципе относительного большинства, которая обеспечила бы избрание всех республиканцев (при условии, что состав избирателей в каждом избирательном округе такой же, как в штате в целом). Избираются кандидаты, получившие определенную долю голосов, а остальные, набравшие меньше оговоренной доли, исключаются из списка (конкретные показатели зависят от точных требований процедуры голосования). Голоса, отданные за кандидатов, исключенных из списка, передаются другим кандидатам в соответствии с порядком предпочтений избирателей. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет набрано требуемое количество кандидатов от каждой партии. Разновидности этой процедуры голосования используются в ходе парламентских выборов в Австралии и Новой Зеландии.

Очевидно, что в процессе выбора метода агрегирования голосов есть место для стратегического мышления, к тому же стратегия играет важную роль и после выбора процедуры голосования. В  мы рассмотрим ряд вопросов, связанных с выработкой правил проведения голосования и утверждением повестки дня. Кроме того, стратегическое поведение участников голосования, которое часто называют стратегическим голосованием или стратегическим искажением предпочтений, также способно изменить результаты выборов при любой системе правил, как мы увидим чуть ниже в данной главе.

2. Парадоксы голосования

Даже когда люди голосуют в соответствии со своими истинными предпочтениями, конкретные условия, касающиеся предпочтений избирателей и процедур голосования, могут обусловить любопытные результаты. Кроме того, порой итоги выборов в значительной степени зависят от типа процедуры, используемой для агрегирования голосов. В данном разделе описаны несколько самых известных результатов такого рода (так называемых парадоксов голосования), а также ряд примеров того, как итоги выборов могут меняться вследствие применения разных методов агрегирования голосов без каких-либо изменений предпочтений и без использования стратегического голосования.

А. Парадокс Кондорсе

Парадокс Кондорсе — один из самых известных и важных парадоксов голосования. Как уже отмечалось ранее, согласно методу Кондорсе, победителем становится кандидат, получающий большинство голосов в каждом раунде парных сравнений. Парадокс Кондорсе возникает, когда этот процесс не позволяет определить победителя.

Для того чтобы проиллюстрировать данный парадокс, составим пример, в котором три человека голосуют за три альтернативных исхода посредством метода Кондорсе. Рассмотрим ситуацию, когда троим членам городского совета («левый», «центральный» и «правый») предлагают ранжировать свои предпочтения относительно трех альтернативных вариантов политики социального обеспечения: первый подразумевает увеличение размера имеющихся социальных пособий (назовем его «щедрым» и обозначим буквой Щ); второй предусматривает сокращение размера социальных пособий («сокращенный», С), а третий сохраняет существующее положение вещей («промежуточный», П). Членов городского совета просят проголосовать за каждую пару вариантов политики социального обеспечения, чтобы определить порядок их предпочтений, или ранжирование социальных предпочтений. Такое ранжирование призвано выяснить, как совет в целом оценивает преимущества возможных вариантов системы социального обеспечения.

Предположим, «левый» член совета ратует за более высокие социальные выплаты, тогда как «центральный» склонен сохранить статус-кво, но его беспокоит бюджет города, поэтому он не готов к увеличению размера социальных пособий. И наконец, «правый» член совета больше всего стремится сократить размер социальных пособий, но предпочитает их рост сохранению текущего уровня, поскольку полагает, что увеличение размера пособий вскоре приведет к серьезному бюджетному кризису, который настолько настроит общественное мнение против социальных выплат, что это надолго закрепит их низкие значения, тогда как статус-кво может сохраняться до бесконечности. Все эти предпочтения членов совета отражены на рис. 15.1, где изогнутый знак «больше» служит для обозначения того, что одна альтернатива предпочитается другой. (Строго говоря, знак  обозначается как бинарное отношение порядка.)

При таких предпочтениях в парном сравнении щедрого варианта с промежуточным выигрывает щедрый вариант. В следующем парном сравнении промежуточного и сокращенного вариантов побеждает промежуточный. А в последнем парном сравнении щедрого варианта с сокращенным голоса снова распределяются как 2 к 1, на этот раз в пользу сокращенного варианта. Следовательно, если городской совет проголосует за альтернативные пары вариантов политики социального обеспечения, то большинство предпочтет щедрый вариант промежуточному, промежуточный сокращенному и сокращенный щедрому, то есть предпочтения группы образуют цикл: Щ  П  С  Щ.

Такой цикл предпочтений представляет собой пример нетранзитивного ранжирования предпочтений. Концепция рациональности обычно подразумевает, что ранжирование индивидуальных предпочтений транзитивно (противоположность нетранзитивного). Если человек выбирает из вариантов А, Б и В и вы знаете, что он предпочитает А по сравнению с Б и Б по сравнению с В, то, согласно свойству транзитивности, он также предпочтет А по сравнению с В. (Эта терминология происходит от концепции транзитивности чисел в математике; например, если 3 > 2 и 2 > 1, значит, 3 > 1.) Транзитивное ранжирование предпочтений не образует цикл, в отличие от ранжирования социальных предпочтений, как в примере с городским советом, следовательно, мы говорим, что определение предпочтений в этом примере нетранзитивно.

Обратите внимание, что у каждого из трех членов совета транзитивные предпочтения в отношении трех альтернативных вариантов политики социального обеспечения, тогда как предпочтения совета в целом нетранзитивны. В этом и состоит парадокс Кондорсе: даже если ранжирование индивидуальных предпочтений транзитивно, нет никаких гарантий, что ранжирование социальных предпочтений, сформированное путем голосования по методу Кондорсе, также будет транзитивным. Этот результат имеет далеко идущие последствия для государственных служащих и широкой общественности, поскольку ставит под сомнение такую основополагающую концепцию, как «интересы общества», так как их не всегда легко определить или их может даже не быть вовсе. У нашего городского совета нет четко обозначенной системы коллективных предпочтений в отношении политики социального обеспечения. Из этого следует вывод: общества, учреждения и другие большие группы людей не всегда нужно рассматривать как субъекты, действующие подобно отдельным людям.

Парадокс Кондорсе может возникать и в более общем контексте. Нет никаких гарантий, что ранжирование социальных предпочтений, обусловленное любым формальным процессом коллективного голосования, будет транзитивным только по причине транзитивности ранжирования индивидуальных предпочтений. Тем не менее, по некоторым оценкам, такой парадокс чаще всего возникает, когда большие группы людей рассматривают большое количество альтернатив. В менее многочисленных группах людей с меньшим количеством альтернатив чаще наблюдаются схожие предпочтения в отношении этих альтернатив, поэтому в них появление парадокса Кондорсе менее вероятно. В нашем примере парадокс возник из-за разногласий членов совета не только по поводу того, какой вариант лучший, но и какой худший. Хотя чем меньше группа, тем ниже вероятность получения такого результата.

Б. Парадокс повестки дня

Второй парадокс, который мы рассмотрим, также подразумевает применение процедуры бинарного голосования, но касается порядка представленных в ней альтернатив. В контексте работы парламента, где председатель комитета устанавливает порядок голосования по выбору одного из трех альтернативных вариантов, именно от председателя в значительной мере зависит окончательный итог голосования. В действительности председатель может воспользоваться нетранзитивностью ранжирования социальных предпочтений, вытекающей из определенной совокупности индивидуальных предпочтений, для манипулирования результатами голосования по собственному усмотрению, выбирая для этого соответствующий порядок.

Снова рассмотрим членов городского совета («левого», «центрального» и «правого»), которые должны выбрать один из вариантов политики социального обеспечения — щедрый, промежуточный или сокращенный. Предпочтения членов совета в отношении этих альтернатив показаны на . Предположим, мэр города назначает одного из них председателем городского совета и наделяет правом решать, какие два варианта социальной политики ставить на голосование первыми и какой вариант будет состязаться с победителем первого тура голосования. При данной совокупности предпочтений членов совета и общем знании о ранжировании этих предпочтений председатель может получить любой желаемый результат. Например, если бы должность председателя занял «левый» член совета, он мог бы организовать победу щедрого варианта, выставив промежуточный вариант против сокращенного в первом туре голосования, победитель которого состязался бы со щедрым во втором туре. Ситуация, в которой любое окончательное ранжирование можно получить посредством выбора надлежащей процедуры, известна как парадокс повестки дня.

Порядок вопросов в повестке дня — единственный фактор, определяющий окончательный результат в примере с городским советом. В данном случае установление повестки дня — настоящая игра, а поскольку повестку дня определяет председатель городского совета, его назначение или избрание открывает возможность для стратегических действий. Здесь, как и в большинстве других стратегических ситуаций, то, что на первый взгляд кажется игрой (в данном случае имеется в виду выбор политики социального обеспечения), — вовсе не игра; ее участники делают стратегический ход на более раннем этапе (выбор председателя) и голосуют в соответствии с установленными предпочтениями во время последующего голосования.

Тем не менее влияние того, кто устанавливает повестку дня, дает основания полагать, что во время первого тура голосующие выбирают между двумя альтернативами (в нашем примере между промежуточным и сокращенным вариантами) исключительно исходя из своих предпочтений, не учитывая возможный результат всей процедуры голосования. Такое поведение называют искренним голосованием; на самом деле уместнее было бы назвать его близоруким или нестратегическим. Если «центральный» член совета — игрок, ведущий стратегическую игру, он должен осознавать, что если выберет сокращенный вариант в первом туре (хотя он и предпочитает промежуточный на данном этапе), то сокращенный вариант не только в нем победит, но и выиграет второй тур в противостоянии со щедрым вариантом при поддержке со стороны «правого» члена совета. В качестве окончательного результата «центральный» член совета предпочтет сокращенный вариант щедрому. Следовательно, он должен выполнить такой анализ методом обратных рассуждений и проголосовать стратегически в первом туре. Но следует ли ему это делать, если остальные также прибегнут к стратегическому голосованию? В  мы проанализируем игру «стратегическое голосование» и найдем ее равновесие.

В. Парадокс перестановки

Позиционные методы голосования также порой приводят к парадоксальным результатам. Например, подсчет Борда может обусловить парадокс перестановки при изменении списка кандидатов, предоставленного участникам голосования. Этот парадокс возникает в случае выборов с участием минимум четырех альтернатив, когда одна из них исключается из рассмотрения после подачи голосов, что влечет за собой необходимость их повторного подсчета.

Предположим, отобраны четыре кандидата (Стив Карлтон, Сэнди Коуфакс, Робин Робертс и Том Сивер) на получение специального (гипотетического) памятного приза Сая Янга, который присуждается питчеру высшей лиги бейсбола, завершившему бейсбольную карьеру. Семи известным спортивным комментаторам предлагают ранжировать предпочтения в отношении этих претендентов в своих бюллетенях. Питчер с самым высоким рейтингом в каждом бюллетене получает 4 балла; питчеры, занявшие второе, третье и четвертое места, набирают меньшее количество баллов.

У семи спортивных комментаторов, участвующих в голосовании, есть три разных варианта ранжирования предпочтений в отношении кандидатов на присуждение приза; количество комментаторов, соответствующее каждому варианту ранжирования предпочтений, указано в таблице на рис. 15.2. После подсчета голосов Сивер получает (2 × 3) + (3 × 2) + (2 × 4) = 20 баллов, Коуфакс (2 × 4) + (3 × 3) + (2 × 1) = 19 баллов, Карлтон (2 × 1) + (3 × 4) + (2 × 2) = 18 баллов и Робертс (2 × 2) + (3 × 1) + (2 × 3) = 13 баллов. Сивер побеждает в голосовании, за ним следуют Коуфакс, Карлтон и Робертс.

Но допустим, затем выясняется, что в действительности Робертс не имеет права на получение награды, потому что никогда не получал приз Сая Янга, достигнув пика своей карьеры еще до того, как в 1956 году он был учрежден. Это открытие требует пересчета баллов без учета имени Робертса в бюллетене. Таким образом, верхняя позиция в каждом бюллетене получает 3 балла, вторая и третья 2 и 1 балл соответственно. Бюллетени спортивных комментаторов, например с первым вариантом ранжирования предпочтений, теперь обеспечивают Коуфаксу и Сиверу 3 и 2 балла соответственно, а не 4 и 3 балла, как в предыдущем случае; эти же бюллетени дают Карлтону один балл за последнее место.

Подсчет голосов в случае пересмотренной системы присвоения баллов показывает, что Карлтон набирает 15 баллов, Коуфакс — 14 баллов, а Сивер — 13 баллов. В итоге победитель становится проигравшим, поскольку новые результаты меняют позиции, установленные в первом варианте голосования, причем этот исход получен при отсутствии каких бы то ни было изменений в ранжировании предпочтений. В  мы определим ключевой принцип агрегирования голосов, нарушенный при подсчете Борда, который приводит к парадоксу перестановки.

Г. Изменение метода голосования приводит к изменению результата

Как должно следовать из предыдущих объяснений, разные правила голосования могут обеспечивать разные результаты. В качестве примера рассмотрим 100 избирателей, которых можно разбить на три группы на основании их предпочтений в отношении трех кандидатов (А, Б и В). Выбор трех групп избирателей отображен на рис. 15.3. При таких предпочтениях в зависимости от применяемого метода агрегирования голосов у любого из трех кандидатов есть шанс выиграть выборы.

При использовании принципа относительного большинства выигрывает кандидат А, получивший 40% голосов, хотя 60% избирателей отдают ему наименьшее предпочтение из всех троих кандидатов. Очевидно, что сторонники кандидата А выбрали бы этот метод голосования. Если бы у них была возможность выбирать систему голосования, то принцип относительного большинства (на первый взгляд справедливый) обеспечил бы кандидату А победу на выборах, несмотря на сильную неприязнь к нему большинства избирателей.

Однако подсчет Борда привел бы к другому результату. В системе Борда 3 балла получает наиболее рейтинговый среди избирателей кандидат, 2 балла — кандидат, занявший среднюю позицию, и 1 балл — кандидат с наименьшим числом голосов. В таком случае кандидат А имеет 40 голосов за первое и 60 голосов за третье место, что в сумме дает 40(3) + 60(1) = 180 баллов. Кандидат Б получает 25 голосов за первое и 75 голосов за второе место; в сумме это 25(3) + 75(2) = 225 баллов. Кандидат В получает 35 голосов за первое, 25 голосов за второе и 40 голосов за третье место, что в сумме равно 35(3) + 25(2) + 40(1) = 195 баллов. При такой процедуре подсчета голосов побеждает кандидат Б, кандидат В становится вторым, а кандидат А — третьим. Кандидат Б выигрывает выборы и в случае применения метода относительного антибольшинства, при котором избиратели отдают голоса за всех кандидатов, кроме наименее предпочтительного.

А как насчет кандидата В? Он может выиграть выборы при использовании системы относительного большинства или мгновенного второго тура. В любом из этих случаев кандидаты А и В, получившие 40 и 35 голосов в первом туре, выходят во второй тур. Система простого большинства со вторым туром потребовала бы от избирателей повторного выбора между А и В, тогда как система мгновенного второго тура привела бы к исключению кандидата Б и передаче его голосов (из второй группы избирателей) альтернативе со следующим уровнем предпочтения, то есть кандидату В. В итоге кандидат В победит во втором туре с перевесом голосов 60 против 40, поскольку кандидат А — наименее предпочтительная альтернатива для 60 из 100 избирателей.

Еще одним примером получения разных результатов вследствие примене­ния разных процедур голосования могут служить выборы мэра Окленда в 2010 году, о которых мы упоминали во вступлении к данной главе. В настоящее время голосование по выбору места проведения Олимпийских игр проходит по системе мгновенного второго тура вместо нескольких этапов голосования по принципу относительного большинства с последовательным исключением. Такое изменение было сделано после получения весьма неожиданных результатов в ходе выбора городов для проведения игр 1996-го и 2000 годов. В обоих случаях победитель по принципу относительного большинства во всех турах голосования, кроме предпоследнего, проиграл в состязании с оставшимся городом в последнем туре. Афины проиграли Атланте в борьбе за право проведения Олимпийских игр 1996 года, а Пекин — Сиднею за право проведения Олимпийских игр 2000 года.

3. Оценка систем голосования

Анализ различных парадоксов голосования позволяет предположить, что методам голосования присущ ряд недостатков, которые приводят к необычным, неожиданным, а порой и несправедливым результатам. Кроме того, из этого предположения вытекает следующий вопрос: существует ли система голосования, удовлетворяющая определенным условиям регулярности, в том числе условию транзитивности, которая является самой «справедливой», то есть наиболее точно учитывает предпочтения электората? Теорема о невозможности Кеннета Эрроу говорит нам, что ответ на этот вопрос — нет.

Формальное описание теоремы Эрроу и ее полное доказательство выходят за рамки данной книги, но суть теоремы проста. Эрроу утверждал, что ни один метод агрегирования предпочтений не может удовлетворять всем шести установленным им условиям.

1. Ранжирование социальных или коллективных предпочтений должно охватывать все альтернативы (быть полным).
2. Ранжирование предпочтений должно быть транзитивным.
3. Ранжирование предпочтений должно удовлетворять условию, известному как условие положительного реагирования, или свойство Парето. Если при наличии двух альтернатив А и Б электорат единодушно отдает предпочтение А, то агрегированное ранжирование предпочтений должно ставить альтернативу А выше альтернативы Б.
4. Ранжирование предпочтений не должно определяться внешними факторами (такими как обычаи), не зависящими от предпочтений отдельных членов общества.
5. Ранжирование предпочтений не должно быть диктаторским: один избиратель не должен влиять на ранжирование предпочтений всей группы.
6. Ранжирование предпочтений должно быть независимым от посторонних альтернатив; другими словами, никакие изменения в группе кандидатов (включение кандидатов в группу или исключение из нее) не должны приводить к изменению рейтинга тех кандидатов, на которых это не распространяется.

Теорему Эрроу часто сокращают путем включения в нее только первых четырех условий, ссылаясь на сложность одновременного удовлетворения последних двух условий; упрощенная формулировка гласит, что достичь независимости от посторонних альтернатив без диктаторства невозможно.

Наверное, вы уже увидели, что некоторые из рассмотренных выше методов голосования не удовлетворяют всем условиям Эрроу. Требование о независимости от посторонних альтернатив, например, нарушается как в случае системы единого передаваемого голоса, так и в случае подсчета Борда, как мы убедились в . Однако метод Борда недиктаторский и непротиворечивый и удовлетворяет свойству Парето. Все остальные рассмотренные нами системы удовлетворяют условию независимости от посторонних альтернатив, но нарушают одно из оставшихся условий.

Теорема Эрроу положила начало обширным исследованиям относительно устойчивости его вывода к изменениям исходных предпосылок. Экономисты, политологи и математики искали способ уменьшить количество критериев или как минимум ослабить условия Эрроу с тем, чтобы найти процедуру, удовлетворяющую этим критериям при сохранении основных условий, однако их усилия в основном оказались тщетными.

В настоящее время большинство теоретиков в области экономики и политических наук признают, что при выборе метода агрегирования голосов или предпочтений необходим определенный компромисс. Ниже приведен ряд самых значимых примеров, каждый из которых представляет этот подход в определенной области — политологии, экономике и математике.

А. Условие Блэка

Обсуждение этой темы в  показало, что процедура парного голосования не удовлетворяет условию Эрроу о транзитивности ранжирования социальных предпочтений, даже когда каждый случай ранжирования индивидуальных предпочтений транзитивен. Один из способов преодолеть это препятствие на пути к удовлетворению условий Эрроу и предотвращения парадокса Кондорсе — ввести ограничение на упорядочивание предпочтений отдельными избирателями. Такое ограничение известно как требование о предпочтениях с одним максимумом и сформулировано Дунканом Блэком в конце 1940-х годов. В действительности фундаментальная работа Блэка была опубликована еще до появления теоремы Эрроу, и он писал ее с учетом парадокса Кондорсе, однако впоследствии теоретики в области голосования доказали ее связь с работой Эрроу. Требование о предпочтениях с одним максимумом называют также условием Блэка.

Чтобы ранжирование предпочтений имело один максимум, нужно, чтобы рассматриваемые альтернативы подлежали упорядочиванию по какому-то одному параметру (например, по уровню расходов, связанному с каждым политическим курсом). Для иллюстрации этого требования мы построили график (рис. 15.4), на котором указанный параметр отображен на горизонтальной оси, а ранжирование предпочтений избирателей (или выигрыш) — на вертикальной. Для выполнения требования о предпочтениях с одним максимумом каждый голосующий должен иметь одну идеальную или самую предпочтительную альтернативу, а остальные альтернативы с более низким рейтингом, отдаленные от точки самой предпочтительной альтернативы, должны стабильно обеспечивать более низкие выигрыши. На рис. 15.4 у двух избирателей, мистера Лефта и мистера Райта, разные идеальные точки, соответствующие такому параметру, как политика, но в каждом случае выигрыш неизменно уменьшается по мере удаления от идеальной точки.

Блэк демонстрирует, что если предпочтения каждого избирателя имеют один максимум, то парное голосование (по принципу простого большинства) должно обеспечивать транзитивное социальное ранжирование предпочтений. При этом парадокса Кондорсе удается избежать, а парное голосование удовлетворяет условию транзитивности Эрроу.

Б. Робастность

Альтернативный, более поздний метод поиска компромисса с Эрроу разработали теоретики в области экономики Парта Дасгупта и Эрик Максин, предложив новый критерий оценки методов голосования под названием робастность. Робастность определяется посредством анализа того, как часто процедура голосования, которая не является диктаторской и удовлетворяет условию независимости от посторонних альтернатив и свойству Парето, удовлетворяет также требованию о транзитивности ранжирования социальных предпочтений, то есть подсчитывается количество вариантов ранжирования предпочтений, когда такая процедура удовлетворяет условию транзитивности.

Критерий робастности позволяет доказать, что принцип простого большинства максимально робастный, то есть недиктаторский, удовлетворяет условию независимости от посторонних альтернатив и свойству Парето, а также обеспечивает транзитивное ранжирование социальных предпочтений по максимально возможному количеству вариантов ранжирования предпочтений избирателей. После принципа простого большинства на шкале робастности находятся другие процедуры голосования, в том числе подсчет Борда и принцип относительного большинства. Критерий робастности интересен тем, что позволяет определить одну из наиболее широко используемых процедур голосования (систему голосования, которая чаще всего ассоциируется с демократическим процессом) в качестве кандидата на лучшую процедуру агрегирования голосов.

В. Ранжирование интенсивности предпочтений

Еще одна серия попыток обойти отрицательный результат Эрроу сфокусирована на проблеме удовлетворения требования Эрроу о независимости от посторонних альтернатив. Одну из последних теорий такого типа предложил математик Дональд Саари. По его мнению, метод агрегирования голосов может учитывать больше информации о предпочтениях избирателей, чем одно только их ранжирование в отношении пары альтернатив X и Y; этот метод может также учитывать интенсивность предпочтений каждого отдельного избирателя в отношении данной пары альтернатив. Эту интенсивность можно измерить путем подсчета количества других альтернатив Z, W, V, …, которые участник голосования располагает между альтернативами X и Y. Таким образом, Саари заменяет условие независимости от посторонних альтернатив (шестое условие Эрроу) другим условием, которое он называет условием интенсивности бинарной независимости и обозначает номером 6´.

6´. Относительное ранжирование предпочтений общества касательно двух любых альтернатив должно определяться только 1) относительным ранжированием предпочтений каждого избирателя касательно этой пары альтернатив; 2) интенсивностью этого ранжирования.

Это более слабое условие по сравнению с условием независимости от посторонних альтернатив, поскольку оно, по сути, подразумевает его применение только по отношению к их включению или исключению, не меняющему интенсивности предпочтений избирателей касательно рассматриваемых альтернатив. При внесении такой поправки подсчет Борда (единственный из всех позиционных методов голосования) удовлетворяет модифицированной теореме Эрроу.

Кроме того, Саари считает подсчет Борда единственной процедурой голосования, надлежащим образом отслеживающей равное распределение голосов в пределах совокупности бюллетеней, — критерий, которому, по его мнению, должна отвечать эффективная система агрегирования голосов. Равное распределение голосов может происходить двумя способами: посредством элементов Кондорсе и элементов перестановки, присутствующих в ранжировании предпочтений избирателей. В выборах с участием трех кандидатов А, Б и В элементы Кондорсе представляют собой такие варианты ранжирования предпочтений: A  Б  B, Б  B  A и B  A  Б. Три бюллетеня с этими вариантами (по одному на каждый бюллетень) должны логически уравновешивать друг друга или создавать равное распределение голосов. Элементы перестановки — это варианты ранжирования предпочтений, отображающие изменение позиций пары альтернатив. В тех же выборах с участием трех кандидатов А, Б и В элементы перестановки — это два бюллетеня, в которых варианты ранжирования предпочтений A  Б  B и Б  A  B логически создают равенство распределения голосов в парном противостоянии между кандидатами А и Б. Только метод Борда позволяет отслеживать равное распределение голосов в совокупности бюллетеней с элементами Кондорсе и элементами перестановки. Хотя подсчет Борда может привести к парадоксу перестановки, как показано в предыдущем разделе, у него по-прежнему много сторонников. Единственный случай, когда метод Борда обеспечивает парадоксальные результаты, — исключение альтернатив из рассмотрения после сбора бюллетеней. Поскольку такие результаты легко предотвратить, включая в бюллетени только окончательные списки кандидатов, подсчет Борда считается в некоторых кругах одним из лучших методов агрегирования голосов.

Другие исследователи выдвинули разные предположения относительно критериев, которым должна удовлетворять эффективная система агрегирования голосов. Некоторые из них включают критерий Кондорсе (система голосования должна обес­печивать избрание победителя по Кондорсе, если таковой существует), критерий непротиворечивости (выборы с участием всех избирателей должны обеспечивать избрание той же альтернативы, что и выборы с участием двух групп избирателей, сформированных посредством произвольного разделения общей совокупности), а также отсутствие манипулирования (система голосования не должна поощрять манипуляции со стороны избирателей, или стратегическое голосование). Мы не будем здесь детально рассматривать все эти предположения, за исключением одного — стратегического манипулирования, к которому прибегают участники голосования.

4. Стратегическое манипулирование голосами

Некоторые из рассмотренных нами систем голосования открывают для избирателей широкие возможности для стратегического искажения предпочтений. В  мы продемонстрировали, как «центральный» член городского совета может уравновесить полномочия по утверждению повестки дня, которыми наделен «левый» председатель комитета, проголосовав в первом туре вопреки своим истинным предпочтениям, чтобы исключить из дальнейшей борьбы наименее предпочтительный вариант и протащить во второй тур наиболее предпочтительный. В более общем плане избиратели могут решить голосовать в первом раунде за кандидатов, вопросы или политический курс, которые на самом деле для них неприоритетны, если это может изменить итоги голосования в их пользу. В данном разделе мы проанализируем ряд способов, посредством которых стратегическое поведение во время голосования может повлиять на его результаты.

А. Принцип относительного большинства

Многие избиратели считают выборы по принципу относительного большинства самыми справедливыми, тем не менее такие выборы открывают немало возможностей для стратегического поведения. Например, на президентских выборах, как правило, есть только два реальных кандидата на победу, и когда между ними относительно небольшой разрыв, третий кандидат может включиться в пред­выборную гонку, чтобы лишить части голосов избирателей ведущего кандидата; если третий кандидат действительно снижает шансы лидера на победу, его называют спойлером.

Как правило, у спойлеров мало шансов выиграть выборы, но их роль в изменении их результатов несомненна. В выборах с участием кандидата-спойлера его приверженцы могут добиться максимально выгодного для них исхода, исказив свои предпочтения, чтобы предотвратить избрание нежелательного кандидата. Иными словами, вам следует голосовать за лидера, хотя вы предпочли бы спойлера, поскольку он вряд ли наберет относительное большинство голосов; а вот голосование за лидера помешает отстающему кандидату, который вам не нравится, выиграть выборы. Росс Перо сыграл такую роль во время выборов президента США в 1992 году, по всей видимости, потерпев поражение по причине искажения предпочтений. Результаты опроса, проведенного Newsweek, свидетельствуют о том, что, если бы больше избирателей поверили в вероятность победы Перо, он действительно мог бы выиграть; относительное большинство избирателей, принявших участие в опросе (40%), заявили, что проголосовали бы за Перо (вместо Буша или Клинтона), если бы считали, что у него есть шанс.

Ральф Нейдер сыграл аналогичную роль в ходе президентских выборов 2000 года, хотя его больше интересовала перспектива набрать 5% голосов избирателей, чтобы Партия зеленых получила право на встречное федеральное финансирование, чем должность президента. Поскольку Нейдер оттягивал на себя необходимые голоса сторонников кандидата от Демократической партии Эла Гора, несколько групп (а также ряд сайтов) начали реализацию различных схем «обмена голосами», позволяющих Нейдеру набрать необходимые ему голоса без ущерба для голосов, поданных за Гора членами коллегии выборщиков в его ключевых штатах. Сторонникам Нейдера в ключевых штатах Гора (Пенсильвания, Мичиган и Мэн) предложили «обменяться» голосами со сторонниками Гора в штате, которому было предопределено проголосовать за Джорджа Буша (например, в Техасе или Вайоминге). Доказательства эффективности таких схем носят противоречивый характер. Как известно, Нейдер так и не смог набрать 5% голосов избирателей, зато Гор одержал полную победу в Пенсильвании, Мичигане и Мэне.

Во время выборов в законодательные органы власти с участием большого количества кандидатов результативность третьих сторон в системе пропорционального представительства всей совокупности избирателей во всем законодательном органе существенно отличается от картины, складывающейся при использовании системы относительного большинства в отдельных избирательных округах. В Великобритании действует система избирательных округов и относительного большинства голосов. На протяжении последних 50 лет Лейбористская и Консервативная партии делят власть между собой. Либеральная партия, несмотря на значительную поддержку третьей части электората, страдает от стратегического голосования и по этой причине получает непропорционально малое количество мест в парламенте. В Италии используется общенациональный список кандидатов и система пропорционального представительства; в такой системе нет необходимости в стратегическом голосовании и даже небольшие партии могут иметь значительное представительство в законодательном органе власти. Нередки ситуации, когда ни у одной партии нет явного большинства мест, тогда мелкие партии могут оказывать влияние на политику путем переговоров о создании коалиции.

Если партия не оказывает значимого влияния на политику страны, она не может добиваться успехов на выборах. Именно поэтому в странах с системой относительного большинства голосов мы видим, как правило, всего две крупные партии, а в странах с системой пропорционального представительства — несколько партий. Политологи называют это явление законом Дюверже.

В случае выборов в законодательный орган власти система избирательных округов приводит к представительству в нем двух крупных партий, одна из которых зачастую получает явное большинство мест и, следовательно, играет более значимую роль в управлении страной. Однако такая система создает риск того, что интересы меньшинства будут игнорироваться, то есть возникнет так называемая тирания большинства. Система пропорционального представительства обеспечивает меньшинству больше голосов. Однако она может привести к без­результатному торгу за власть и законодательному тупику. Интересно, что каждая страна считает свою систему менее эффективной и рассматривает возможность перехода на другую. В частности, в Великобритании есть сильное лобби в пользу пропорционального представительства, а в Италии всерьез анализируют переход на систему избирательных округов.

Б. Парное голосование

Зная, что вам придется применять такую процедуру парного голосования, как внесение поправок, вы можете использовать прогноз результатов второго тура для определения оптимальной стратегии голосования в первом туре и создать видимость приверженности конкретному кандидату или политическому курсу в первом туре, даже если это не ваша наиболее предпочтительная альтернатива, с тем чтобы наименее предпочтительная альтернатива не победила во втором туре.

Давайте вернемся к примеру с председателем городского совета, утверждающим повестку дня. Предположим, на эту должность назначают «левого» члена совета, который предпочитает щедрую социальную политику, и он устанавливает такую очередность голосования: промежуточный вариант соперничает с сокращенным в первом туре, а его победитель сразится со щедрым вариантом во втором туре. Если три члена совета будут голосовать в строгом соответствии со своими предпочтениями (см. ), промежуточный вариант победит сокращенный в первом туре, после чего его победит щедрый вариант во втором туре, иначе говоря, будет выбран тот вариант, в котором заинтересован председатель. Однако, скорее всего, члены совета — хорошие стратеги, которые могут просчитать конечный результат и воспользоваться методом обратных рассуждений для определения способа голосования в первом туре.

В описанном выше сценарии будет выбран вариант, который меньше всего устраивает «центрального» члена совета. В связи с этим анализ методом обратных рассуждений говорит о том, что в первом туре он должен голосовать стратегически, чтобы изменить результат. Если «центральный» член совета отдаст голос за наиболее предпочтительную политику, он проголосует за промежуточный вариант, который победит сокращенный вариант в этом туре и проиграет щедрому варианту во втором туре. Но вместо этого «центральный» член совета может в первом туре стратегически проголосовать за сокращенный вариант, что позволит ему превзойти промежуточный вариант в первом туре. И тогда при встрече сокращенного варианта со щедрым во втором туре последний проиграет голосование. Искажение «центристом» своих предпочтений в отношении промежуточного и сокращенного вариантов позволяет ему обеспечить победу сокращенного, а не щедрого варианта. Хотя сокращенный вариант не самая предпочтительная альтернатива «центрального» члена совета, с его точки зрения, он все же лучше щедрого варианта.

Такая стратегия обеспечивает «центральному» члену совета требуемый результат, только когда он уверен, что в голосовании больше не будет подан ни один стратегический голос. Следовательно, нам необходимо полностью проанализировать оба тура голосования, чтобы проверить стратегии трех членов совета, образующие равновесие Нэша. Мы это сделаем посредством метода обратных рассуждений, применив его к двум турам голосования, начиная с двух возможных пар конкурентов во втором туре: П против Щ и С против Щ. Ниже мы будем использовать сокращенные обозначения трех вариантов политики социального обеспечения — Щ («щедрый»), П («промежуточный») и С («сокращенный»).

На рис. 15.5 представлены результаты каждого возможного сценария голосования во втором туре. В двух таблицах на рис. 15.5а показан победивший вариант политики (а не выигрыши игроков) в случае, если П выигрывает первый тур и выступает против Щ во втором туре; на рис. 15.5б отображена ситуация, когда первый тур выигрывает вариант С. В обоих случаях «левый» член совета выбирает ряд окончательных результатов, «центральный» член совета — столбец, а «правый» — фактическую таблицу (левую или правую).

Вы должны быть в состоянии определить, что в каждом сценарии голосования во втором туре у каждого члена совета есть доминирующая стратегия. В голосовании «П против Щ» доминирующая стратегия «левого» члена совета — Щ, доминирующая стратегия «центрального» члена совета — П и доминирующая стратегия «правого» члена совета — тоже Щ; следовательно, в этом голосовании побеждает вариант Щ. При голосовании «С против Щ» доминирующей стратегией «левого» члена совета по-прежнему будет Щ, а доминирующей стратегией «центрального» и «правого» членов совета — С; стало быть, здесь вы­игрывает вариант С. Быстрая проверка показывает, что все члены совета голосуют в этом туре в соответствии со своими истинными предпочтениями. Таким образом, у них одинаковые доминирующие стратегии: «Голосовать за вариант, который я предпочитаю». Поскольку нет дальнейшего голосования, которое бы позволяло точно так же проанализировать результаты второго тура, члены совета просто голосуют за тот вариант политики, который занимает самое высокое место в их ранжировании предпочтений.

Теперь используем результаты анализа для оценки оптимальных стратегий голосования в первом туре, в котором голосующие выбирают между вариантами П и С. Поскольку мы знаем, как члены совета будут голосовать в следующем туре с учетом победителя в этом туре, мы можем показать итог всего голосования в таблицах, представленных на рис. 15.6.

Чтобы объяснить полученные значения, рассмотрим вариант Щ в верхней левой ячейке правой таблицы на рис. 15.6. Отображенный в ячейке результат получен в случае, когда и «левый», и «центральный» члены совета голосуют за П в первом туре, тогда как «правый» выбирает С. В итоге варианты П и Щ выходят во второй тур и, как мы видели на , вариант Щ побеждает. Остальные результаты вычислены аналогичным способом.

С учетом результатов, представленных на , выбор варианта П — доминирующая стратегия «левого» члена городского совета (определившего порядок голосования, будучи его председателем). По аналогии доминирующая стратегия «правого» члена совета — С. Ни один из них не искажал своих предпочтений и не использовал стратегическое голосование ни в одном туре. Однако доминирующая стратегия «центрального» члена совета — вариант С, хотя он однозначно предпочитает вариант П варианту С. Согласно предыдущему анализу, у этого члена совета есть сильный стимул исказить свои предпочтения в первом туре голосования, и он единственный, кто голосует стратегически. Поведение «центрального» члена совета меняет победителя голосования с варианта Щ (победителя без стратегического голосования) на вариант С.

Не забывайте, что именно «левый» член городского совета, будучи его председателем, установил порядок голосования с расчетом на выбор наиболее предпочтительного для него варианта политики социального обеспечения. Но вместо этого победил вариант, которого он хотел меньше всего. Создается впечатление, что право утверждать повестку дня не такое уж большое преимущество. Однако «левый» член совета должен был предвидеть стратегическое поведение и выбрать порядок голосования исходя из понимания стратегических игр. В действительности, если «левый» член совета выставит вариант С против Щ в первом туре, а затем его победитель сразится с вариантом П во втором туре, равновесным исходом этой игры по Нэшу будет вариант Щ, наиболее предпочтительный для председателя городского совета. При таком порядке голосования «правый» член совета исказит свои предпочтения в первом туре, проголосовав за Щ вместо С, чтобы предотвратить победу наименее предпочтительного варианта П. Вы сами должны убедиться, что это оптимальная стратегия «левого» члена городского совета по определению порядка голосования. В полной версии игры в голосование, где установление повестки дня считается ее начальным раундом, предшествующим голосованию, следует ожидать принятия щедрой политики социального обеспечения, если кресло председателя занимает «левый» член городского совета.

Более внимательный анализ поведения голосующих в стратегической версии голосования позволяет выделить одну интересную закономерность: наличие пар членов совета, которые голосуют «вместе» (то есть выбирают одинаковые варианты) в обоих турах. При первоначальном порядке голосования «правый» и «центральный» члены совета голосуют вместе в обоих турах, а при альтернативном порядке (вариант С против Щ в первом туре) вместе голосуют «правый» и «левый» члены совета. Другими словами, в каждом из этих случаев формируется своего рода долгосрочная коалиция между двумя членами городского совета.

Стратегическое голосование такого типа неоднократно использовалось в Конгрессе. Один из примеров — проект закона о федеральном финансировании строительства школ, который рассматривался в 1956 году. Прежде чем он был поставлен на голосование против текущего положения вещей (отсутствия финансирования), палата представителей внесла в него поправку, согласно которой федеральная субсидия должна предоставляться только штатам, в школах которых отсутствует расовая сегрегация. Согласно правилам парламентского голосования, действующим в Конгрессе, голосование по вопросу принятия так называемой поправки Пауэлла было проведено первым, а затем рассматривался победивший вариант законопроекта. Политологи, изучавшие историю этого законопроекта, утверждают, что противники финансирования школ стратегически исказили свои предпочтения в отношении этой поправки, чтобы провалить первоначальный вариант закона. Ключевая группа членов палаты представителей проголосовала за поправку, но во время заключительного голосования присоединилась к противникам расовой интеграции в голосовании против законопроекта в целом. В итоге он был отклонен. История голосования членов этой группы показывает, что при других обстоятельствах многие из них голосовали бы против расовой интеграции, что позволяет предположить, что их голосование за интеграцию в данном случае было всего лишь примером стратегического голосования, а не свидетельством их истинного отношения к расовой интеграции в школах.

В. Стратегическое голосование с неполной информацией

Представленный выше анализ показал, что иногда члены городского совета заинтересованы в использовании стратегического голосования в целях предотвращения победы наименее предпочтительного варианта. В нашем примере подразумевалось, что членам городского совета были известны возможные варианты ранжирования предпочтений, а также количество других членов совета с аналогичными предпочтениями. Теперь предположим, что в данном случае наблюдается наличие неполной информации: каждый член совета знает возможные варианты ранжирования предпочтений, собственные истинные предпочтения, а также вероятность того, что у каждого из оставшихся членов совета есть определенные предпочтения, но не их фактическое распределение между ними. В этой ситуации стратегия каждого члена совета должна быть обусловлена его убеждениями в отношении этого распределения и представлением о том, в какой степени его коллеги будут голосовать согласно своим предпочтениям.

Предположим, три члена городского совета по-прежнему рассматривают три альтернативных варианта политики социального обеспечения, которые описаны выше, в соответствии с исходной повесткой дня, установленной председателем городского совета. То есть совет голосует за варианты П или С в первом туре, а его победитель состязается с вариантом Щ во втором туре. Мы исходим из того, что, как и в предыдущем примере, есть три возможных варианта ранжирования предпочтений, показанных на , и что члены совета знают, что эти варианты единственно возможные. Различие лишь в том, что никто не знает наверняка, сколько именно членов совета придерживаются того или иного варианта. Каждый член совета знает свой тип и то, что есть положительная вероятность наблюдения каждого типа голосующих («левый», «центральный», «правый») с вероятностями p_Л, р_Ц, р_П, сумма которых равна 1.

Предыдущий анализ показал, что в последнем туре все три члена совета проголосуют в соответствии со своими предпочтениями, причем члены совета «левого» и «правого» типов проголосуют исходя из собственных предпочтений и в первом туре. Этот результат верен и в ситуации с неполной информацией. Голосующий «правого» типа хочет видеть победителем первого тура вариант С; с учетом этого предпочтения «правый» тип всегда получает как минимум такой же выигрыш, голосуя за вариант С, а не П (если два других члена совета проголосовали так же), а иногда и более высокий выигрыш (если голоса двух других членов совета разделятся между вариантами С и П). Аналогично голосующий «левого» типа предпочитает видеть в качестве победителя вариант П, который будет противостоять варианту Щ во втором туре. Этот тип всегда получает как минимум такой же (а иногда и более высокий) выигрыш, как и в противном случае, отдав свой голос за вариант П, а не С.

Теперь остается только проанализировать поведение представителя «центрального» типа. Поскольку ему неизвестны типы других членов совета, а также потому, что у него есть стимул прибегнуть к стратегическому голосованию в целях определенного распределения предпочтений (особенно когда известно наверняка, что есть один избиратель каждого типа), его поведение будет зависеть от вероятности появления различных типов голосующих в городском совете. Мы рассмотрим один из двух полярных случаев, когда член совета «центрального» типа убежден, что другой член совета «центрального» типа проголосует в соответствии со своими предпочтениями, и попытаемся найти симметричное равновесие Нэша в чистых стратегиях. Ситуацию, когда член совета «центрального» типа считает, что другой «центральный» тип проголосует стратегически, отобразим в упражнениях.

Для того чтобы иметь возможность сравнить исходы, укажем выигрыши участника голосования «центрального» типа, связанные с теми вариантами политики социального обеспечения, которые могут одержать победу. Предпочтения голосующего «центрального» типа выглядят так: П  С  Щ. Предположим, в случае победы варианта П выигрыш участников голосования «центрального» типа составит 1, а в случае победы варианта Щ — 0. Если выиграет вариант С, голосующие «центрального» типа получат выигрыш промежуточного уровня, назовем его u, где 0 < u < 1.

Теперь представим, что члену городского совета «центрального» типа необходимо решить, как голосовать в первом туре («П против С»), если он убежден, что два других участника будут голосовать в соответствии со своими предпочтениями, независимо от их типа. Если оба голосующих выберут либо П, либо С, то голос члена совета «центрального» типа никак не повлияет на окончательный исход; иными словами, ему безразлично, какой вариант выбрать, П или С. Но если голоса двух других членов совета разделятся, то выбор члена совета «центрального» типа может изменить результат голосования. Проблема лишь в том, что он должен решить, голосовать ли ему в соответствии со своими предпочтениями.

Если голоса двух других членов совета разделятся между вариантами П и С и оба будут голосовать исходя из своих предпочтений, то голос за вариант С должен поступить от голосующего «правого» типа. Однако голос за вариант П мог отдать либо «левый», либо «центральный» тип, голосующий в соответствии со своими предпочтениями. Если голос за вариант П отдал голосующий «левого» типа, то член совета «центрального» типа знает, что есть по одному представителю каждого типа. Если в этой ситуации он проголосует за вариант П согласно своим предпочтениям, этот вариант победит в первом туре, но проиграет варианту Щ во втором туре, при этом «центральный» тип получит выигрыш 0. Если «центральный» тип стратегически проголосует за вариант С, то С победит и А и Щ, а выигрыш «центрального» типа составит u. Напротив, если голос за вариант П получен от голосующего «центрального» типа, то он знает, что в городском совете есть два «центральных» и один «правый» тип, но ни одного «левого» типа. В этом случае правдивое голосование за вариант П позволяет ему победить в первом туре, а во втором вариант П также победит вариант Щ голосами 2 против 1, при этом член совета «центрального» типа получит максимальный выигрыш 1. Если бы «центральный» член совета стратегически проголосовал за вариант С, этот вариант победил бы в обоих турах, а выигрыш «центрального» типа составил бы u.

Для поиска оптимальной стратегии «центрального» члена совета нам нужно сравнить его ожидаемый выигрыш от правдивого голосования с ожидаемым вы­игрышем от стратегического голосования. Если «центральный» член совета отдает свой голос за П, руководствуясь истинными предпочтениями, его ожидаемый выигрыш зависит от вероятности того, что второй голос за П будет получен от «левого» или «центрального» типа. Вычислить эту вероятность несложно. Вероятность того, что второй голос за вариант П будет получен от «левого» типа, равна вероятности того, что «левый» тип один из оставшихся участников голосования, или p_Л / p_Л + p_Ц). Аналогичным образом вероятность того, что второй голос за вариант П будет получен от «центрального» типа, равна p_Ц / (p_Л + p_Ц). Тогда выигрыш представителя «центрального» типа в случае правдивого голосования равен 0 с вероятностью p_Л / (p_Л + p_Ц) и 1 с вероятностью p_Ц / (p_Л + p_Ц), а значит, ожидаемый выигрыш составит p_Ц / (p_Л + p_Ц). При стратегическом голосовании за вариант С он победит независимо от того, кто именно станет третьим участником голосования (С выиграет в любом случае), поэтому ожидаемый выигрыш «центрального» типа составит u. Окончательное решение члена совета «центрального» типа должно быть таким: голосовать в соответствии со своими предпочтениями при условии, что p_Ц / p_Л + p_Ц) > u.

Обратите внимание, что условие принятия решения «центральным» членом совета интуитивно обоснованно. Если вероятность того, что голосующих «центрального» типа больше, высокая или относительно выше, чем вероятность наличия участника голосования «левого» типа, то члены совета «центрального» типа голосуют в соответствии со своими предпочтениями. Стратегическое голосование принесет «центральному» члену совета пользу только в случае, если он единственный член совета данного типа.

Хотим добавить два дополнительных комментария к теме несовершенной информации и ее последствий с точки зрения стратегического поведения. Во-первых, если количество членов городского совета n — число больше трех, но нечетное, то ожидаемый выигрыш «центрального» типа от стратегического голосования остается равным u, а ожидаемый выигрыш от правдивого голосования составит [p_Ц/(p_Л + p_Ц)]^{(n – 1)/2}. Следовательно, «центральный» тип должен голосовать согласно своим предпочтениям только тогда, когда [p_Ц/(p_Л + p_Ц)]^{(n – 1)/2} > u. Поскольку p_Ц/(p_Л + p_Ц) < 1, а u > 0, это неравенство никогда не будет выполняться при достаточно больших значениях n. Данный результат говорит о том, что симметричное равновесие при голосовании согласно предпочтениям не может сохраниться в многочисленном городском совете! Во-вторых, несовершенная информация о предпочтениях других участников голосования открывает дополнительные возможности для стратегического поведения. В голосовании, состоящем из двух туров, избиратели посредством своих голосов в первом туре могут сигнализировать о своем типе. Дополнительные туры позволяют другим голосующим внести коррективы в свои предшествующие убеждения в отношении вероятностей р_Л, р_Ц и р_П, а также действовать с учетом этой информации. Когда парное голосование состоит всего из двух туров, времени для использования информации, полученной в ходе первого тура, не остается, поскольку в последнем туре голосование в соответствии со своими истинными предпочтениями представляет собой доминирующую стратегию всех его участников.

Г. Пределы манипулирования

Степень, в которой процедура голосования подвержена стратегическому искажению предпочтений, или стратегическому манипулированию со стороны избирателей (как проиллюстрировано выше), — еще одна тема, вызвавшая повышенный интерес теоретиков голосования. Эрроу не включил требование о неманипулируемости в свою теорему, но в соответствующих работах рассматривается вопрос о том, как такое требование соотносится с условиями Эрроу. Аналогичным образом теоретики проанализировали пределы манипулирования, свойственного различным процедурам голосования, а также составили рейтинг методов голосования.

Экономист Уильям Викри, возможно, более известный своими исследованиями об аукционах (см. ), написал одну из первых работ по стратегическому голосованию избирателей. Он заметил, что процедуры голосования, удовлетворяющие условию независимости от посторонних альтернатив Эрроу, наиболее устойчивы к стратегическому манипулированию. Кроме того, Викри сформулировал ряд условий, при которых стратегическое поведение более вероятно и более эффективно. В частности, он установил, что ситуации с меньшим количеством информированных избирателей и меньшим числом доступных альтернатив особенно подвержены манипулированию в случае использования метода голосования, который сам поддается манипулированию. Однако этот вывод означает, что ослабление условия независимости от посторонних альтернатив открывает путь процедурам с более высоким уровнем манипулирования. В частности, предложенный Саари вариант ранжирования предпочтений по интенсивности (условие интенсивности бинарной независимости), упомянутый в , позволяет большему количеству процедур голосования удовлетворять модифицированной версии теоремы Эрроу, но в то же время открывает эту возможность и для про­цедур, в большей степени подверженных манипулированию.

Подобно общему выводу Эрроу о невозможности агрегирования предпочтений, общий вывод о манипулируемости также носит негативный характер. В частности, теорема Гиббарда — Саттертуэйта показывает, что при наличии трех или более альтернатив единственная процедура голосования, препятствующая стратегическому голосованию, — это диктатура: одному человеку отводится роль диктатора и его предпочтения определяют итоги выборов. Сочетание выводов Викри об условиях независимости от посторонних альтернатив и теоремы Гиббарда — Саттертуэйта может помочь читателю понять, почему теорему Эрроу часто сводят к выяснению того, какие процедуры голосования могут одновременно удовлетворять условию отсутствия диктатора и условию независимости от посторонних альтернатив.

И наконец, по мнению некоторых теоретиков, системы голосования следует оценивать не по их способности удовлетворять условиям Эрроу, а по их склонности стимулировать манипулирование. Относительную манипулируемость системы голосования можно определить по количеству информации о предпочтениях других избирателей, которая требуется голосующим для успешного манипулирования выборами. По данным ряда исследований, основанных на этом критерии, из всех рассмотренных выше процедур голосования принцип относительного большинства самый манипулируемый (то есть требующий наименьшего объема информации о предпочтениях). Рейтинг процедур голосования в порядке снижения уровня манипулируемости таков: одобрительное голосование, подсчет Борда, процедура внесения поправок, принцип простого большинства и процедура Хара (система единого передаваемого голоса).

Важно отметить, что классификация процедур голосования по уровню манипулируемости зависит только от объема информации, необходимой для манипулирования системой голосования, и не основана на легкости правильного использования этой информации или том, могут ли отдельные избиратели или группы без труда прибегнуть к манипулированию. На практике отдельным избирателям, как правило, манипулировать голосованием по принципу относительного большинства довольно сложно.

5. Теорема о медианном избирателе

Во всех предыдущих разделах основное внимание уделялось поведению (стратегическому или иному) избирателей на выборах с несколькими альтернативами. Тем не менее стратегический анализ применим и к поведению кандидатов, участвующих в выборах. Например, учитывая особенности распределения избирателей и их предпочтений, кандидаты могут определить оптимальные стратегии построения своих политических платформ. Когда в выборах участвуют всего два кандидата, когда избиратели распределены по политическому спектру «разумным» способом и когда у каждого избирателя «разумно» непротиворечивые предпочтения (предпочтения с одним максимумом), теорема о медианном избирателе гласит, что оба кандидата будут позиционировать себя в политическом спектре там же, где и медианный избиратель. Медианный избиратель — это «средний» избиратель в этом распределении, точнее говоря, избиратель, который находится в 50-м перцентиле.

В данном случае полная игра состоит из двух этапов. На первом кандидаты выбирают свою позицию в политическом спектре. На втором избиратели выбирают одного из кандидатов. В общем плане игра на втором этапе открыта для всех возможных стратегических искажений предпочтений, обсуждавшихся ранее. В связи с этим в целях нашего анализа мы сократили количество кандидатов до двух во избежание появления такого поведения в равновесии. Только при наличии двух кандидатов голосование избирателей будет в точности соответствовать их предпочтениям, а решение кандидатов о позиции в политическом спектре, принимаемое на первом этапе, — единственным поистине интересным аспектом большой игры. Именно на этом этапе теорема о медианном избирателе определяет поведение, соответствующее равновесию Нэша.

А. Дискретный политический спектр

Сначала рассмотрим совокупность из 90 миллионов избирателей, каждый из которых имеет предпочтительную позицию в политическом спектре, состоящем из пяти позиций: крайняя левая (КЛ), левая (Л), центральная (Ц), правая (П) и крайняя правая (КП). Допустим, избиратели распределены симметрично вокруг центра политического спектра. Дискретное распределение их местоположения показано на гистограмме, или столбчатой диаграмме, представленной на рис. 15.7. Высота каждого столбика отображает количество избирателей, соответствующих этой позиции. В данном примере мы исходим из предположения, что из 90 миллионов избирателей 40 миллионов отдают предпочтение левой позиции, 20 миллионов — крайней правой и по 10 миллионов — крайней левой, центральной и правой.

Рис. 15.7. Дискретное распределение избирателей

Избиратели будут голосовать за кандидата, который публично позиционирует себя как максимально разделяющего их собственную позицию в политическом спектре во время выборов. Если оба кандидата политически равноудалены от группы избирателей-единомышленников, каждый избиратель подбрасывает монету, чтобы решить, какого кандидата выбрать. Этот процесс дает каждому кандидату половину избирателей в данной группе.

Теперь допустим, что в предстоящих президентских выборах участвуют два кандидата: бывшая первая леди (Клаудия) и бывшая потенциальная первая леди (Долорес), каждая из которых выдвинула свою кандидатуру на пост президента. При конфигурации избирателей как на  мы можем составить таблицу выигрышей для двух кандидатов, показывающую число голосов, на получение которых может рассчитывать каждый из них при всех возможных комбинациях вариантов выбора политической платформы. Эта таблица пять на пять представлена на рис. 15.8, где данные выражены в миллионах голосов. Каждому кандидату предстоит выбрать оптимальную стратегию положения в политическом спектре, чтобы максимизировать количество полученных голосов (а значит, и шансы на победу).

Вот как распределены голоса. Когда оба кандидата выбирают одну и ту же позицию (пять ячеек по диагонали таблицы из верхнего левого в нижний правый угол), каждый получает ровно половину голосов. Поскольку все избиратели равноудалены от каждого кандидата, все они подбрасывают монету, чтобы решить, кого предпочесть; в итоге каждый кандидат получает 45 миллионов голосов. Когда два кандидата выбирают разные позиции, более левый кандидат получает все голоса избирателей, находящихся в его позиции или слева от нее, а более правый кандидат — все голоса избирателей, находящихся в его позиции или справа от нее. Кроме того, каждый кандидат получает голоса избирателей, расположенных в центральных позициях ближе к нему, чем к его сопернику, и оба делят поровну голоса избирателей, находящихся в центральной позиции на равном расстоянии от них. Таким образом, если Клаудия выберет позицию Л, тогда как Долорес позицию КП, Клаудия получит 40 миллионов голосов в позиции Л, 10 миллионов голосов в позиции КЛ и 10 миллионов голосов в позиции Ц (поскольку Ц ближе к Л, чем к КП). Долорес получит 20 миллионов голосов в позиции КП и 10 миллионов голосов в позиции П (поскольку П ближе к КП, чем к Л). Выигрыш составляет (60, 30). Аналогичные вычисления позволяют определить исходы в остальных ячейках таблицы.

Хотя таблица, представленная на , достаточно большая, игра решается очень быстро. Начнем с уже знакомого вам поиска доминирующих или доминируемых стратегий двух игроков. И сразу же видим, что для Клаудии стратегия КЛ доминируема стратегией Л, а стратегия КП доминируема стратегией П. В случае Долорес стратегия КЛ также доминируема стратегией Л, а стратегия КП доминируема стратегией П. После исключения крайних стратегий для каждого кандидата стратегия П доминируема стратегией Ц. После исключения двух стратегий П стратегия Ц доминируема стратегией Л в случае каждого кандидата. В итоге в таблице остается одна ячейка — (Л, Л); это и есть равновесие Нэша.

Теперь следует отметить три важные характеристики равновесия в игре с позиционированием кандидатов. Во-первых, они оба располагаются в равновесии в одной и той же позиции. Это иллюстрирует принцип минимальной дифференциации — общий результат всех игр с двумя участниками, которые сводятся к соперничеству за местоположение, будь то выбор кандидатами в президенты политической платформы, или выбор уличными торговцами местоположения тележки для продажи хот-догов, или выбор характеристик продукта производителями электронных устройств. Если людей, голосующих за вас или покупающих у вас продукцию, можно расположить в определенном порядке в определенном диапазоне предпочтений, для вас целесообразнее максимально походить на соперника. Это объясняет многообразие совокупности моделей поведения политических кандидатов и компаний. Кроме того, это поможет вам понять, почему на пересечении автомагистралей с интенсивным движением никогда не бывает только одна автозаправочная станция, или почему все марки четырехдверных седанов (или минивэнов, или внедорожников) выглядят одинаково, хотя каждый производитель утверждает, что постоянно обновляет их дизайн.

Во-вторых, что особенно важно, оба кандидата находятся в позиции медианного избирателя. В нашем примере, при общем количестве 90 миллионов избирателей, медианный избиратель — это избиратель под номером 45 миллионов от каждого конца. Числа в пределах одного местоположения могут быть выбраны произвольно, но местонахождение медианного избирателя определено однозначно; в нашем примере медианный избиратель расположен на шкале политического спектра в позиции Л, где и находятся оба кандидата. Это именно тот результат, который предсказывает теорема о медианном избирателе.

В-третьих, положение медианного избирателя не всегда совпадает с геометрическим центром политического спектра. Эти две позиции совпадают, если распределение избирателей симметрично, но медианный избиратель может располагаться слева от геометрического центра, если распределение смещено влево (как на ), и справа, если распределение смещено вправо. Это позволяет объяснить, почему все политические кандидаты штата Массачусетс, например, чаще бывают либералами, чем кандидаты на аналогичные должности в Техасе или Южной Каролине.

Теорему о медианном избирателе можно сформулировать по-разному. Одна версия просто гласит, что позиция медианного избирателя обеспечивает равновесное положение кандидатов в выборах с двумя кандидатами. Согласно другой версии, наиболее предпочитаемая медианным избирателем позиция будет победителем по Кондорсе; она победит любую другую позицию в парном сравнении. Например, если М — это медианная позиция, а Л — любая позиция слева от М, то М получит все голоса избирателей, отдающих наибольшее предпочтение позиции, находящейся в точке М или справа от нее, плюс некоторые голоса слева от М, но ближе к М, чем к Л. Таким образом, М получит более 50% голосов. Эти две версии формулировки теоремы равнозначны, поскольку во время выборов с участием двух кандидатов оба кандидата, стремящиеся получить большинство голосов, займут позицию победителя по Кондорсе. Следовательно, эти варианты интерпретации теоремы идентичны. Кроме того, справедливость данного результата для конкретной совокупности избирателей обеспечивает требование данной теоремы (в любой ее форме) о «разумности» предпочтений каждого избирателя, как говорилось выше. Под разумными подразумеваются предпочтения с одним максимумом, как в случае Блэка, о котором шла речь в  и на . У каждого избирателя есть единственная, наиболее предпочтительная позиция на шкале политического спектра, и полезность (или выигрыш) избирателя снижается при ее смещении в любую сторону. В случае реальных президентских выборов в США эту теорему подтверждает склонность основных кандидатов давать избирателям весьма похожие обещания.

Б. Непрерывный политический спектр

Теорему медианного избирателя также можно доказать и для непрерывного распределения политических позиций. Вместо выбора из пяти, трех или любого другого конечного числа позиций непрерывное распределение подразумевает возможность выбора из бесконечного количества политических позиций. При этом они расположены на вещественной числовой оси в диапазоне значений от 0 до 1. Избиратели, как и прежде, распределены по шкале политического спектра, но поскольку теперь их распределение стало непрерывным, а не дискретным, для иллюстрации их местоположения мы используем функцию распределения, а не гистограмму. На рис. 15.9 отображены две простые функции — функция равномерного распределения и функция (симметричного) нормального распределения. Площадь под каждым графиком соответствует общему количеству имеющихся голосов; в любой заданной точке в интервале от 0 до 1, такой как точка x на рис. 15.9a, число голосов, соответствующих этой точке, равно площади под функцией распределения в интервале от 0 до x. Очевидно, что медианный избиратель в каждом из этих случаев распределения находится в центре политического спектра, то есть в позиции 0,5.

В случае непрерывного распределения построить таблицу выигрышей двух кандидатов невозможно; такие таблицы обязательно должны иметь конечное число размерностей, поэтому они не могут вместить бесконечное количество возможных стратегий игроков. Тем не менее мы можем решить эту игру, применив ту же стратегическую логику, что и в случае дискретного (конечного) распределения в .

Рассмотрим варианты, которыми располагают Клаудия и Долорес в процессе анализа возможных политических позиций, которые они могут занять. Каждая из них знает, что ее задача — найти стратегию, входящую в равновесие Нэша, иначе говоря, свой наилучший ответ на равновесную стратегию соперницы. В этой игре несложно определить стратегии, которые представляют собой наилучшие ответы, хотя всю совокупность таких стратегий описать невозможно.

Предположим, Долорес выбирает случайную позицию на шкале политического спектра, скажем, позицию х на . Затем Клаудия вычисляет, как разделятся голоса во всех возможных позициях, которые она может выбрать. Если она выберет позицию слева от х, то получит все голоса слева от нее и половину голосов, расположенных между ее позицией и позицией Долорес. Если Клаудия предпочтет позицию справа от х, то получит все голоса справа от нее и половину голосов, расположенных между ее позицией и позицией х. И наконец, если Клаудия также выберет позицию х, то они с Долорес разделят голоса поровну. По сути, эти три возможности отображают все варианты выбора местоположения, имеющиеся у Клаудии при условии, что Долорес выберет позицию х.

Но какая из вышеупомянутых ответных стратегий Клаудии лучшая? Ответ на этот вопрос зависит от местоположения х по отношению к медианному избирателю. Если х находится справа от медианной позиции, Клаудия знает, что ее наилучший ответ — максимизировать количество набранных голосов, что она может сделать, выбрав позицию, смещенную влево от позиции x на бесконечно малую величину. В таком случае Клаудия, по сути, получит все голоса в интервале от 0 до x, а Долорес — голоса в интервале от х до 1. Когда x находится справа от медианной позиции, как на , количество избирателей, представленное площадью под функцией распределения в интервале от 0 до x, по определению больше числа избирателей в интервале от x до 1, а значит, Клаудия выиграет выборы. Аналогично, если x находится слева от медианной позиции, наилучший ответ Клаудии состоит в выборе позиции, смещенной вправо от позиции x на бесконечно малую величину; тогда она получит все голоса в интервале от x до 1. Когда позиция x совпадает с медианной точкой, Клаудии лучше всего также выбрать позицию x.

Стратегии наилучших ответов Долорес строятся точно так же и с учетом позиции соперницы аналогичны стратегиям, описанным для Клаудии. На графике две линии наилучших ответов расположены над и под линией, которая проходит под углом 45 градусов через позицию медианного избирателя, а в этой точке эти линии совпадают с линией под углом 45 градусов. (Наилучший ответ Клаудии на расположение Долорес в позиции медианного избирателя — расположиться точно в том же месте; то же справедливо в обратном порядке в случае Долорес.) Вне позиции медианного избирателя графики наилучших ответов находятся по разные стороны от линии под углом 45 градусов.

Теперь у нас есть полное описание стратегий наилучших ответов обоих кандидатов. Равновесие Нэша возникает в точке пересечения линий наилучших ответов; это пересечение находится в позиции медианного избирателя. Вы можете интуитивно проанализировать эту ситуацию, выбрав любое исходное положение для одного из кандидатов и перебирая стратегии наилучших ответов до тех пор, пока каждый кандидат не окажется в позиции, отображающей наилучший ответ на позицию другого кандидата. Если бы на  Долорес анализировала возможность выбора позиции x, Клаудия предпочла бы позицию непосредственно слева от x, но тогда Долорес захотела бы расположиться сразу же слева от этой позиции и т. д. Только тогда, когда кандидаты располагаются именно в медианной точке распределения (будь то равномерного, нормального или любого другого), их решения будут наилучшим ответом на действия друг друга. Опять же, мы видим, что равновесие Нэша сводится к размещению обоих кандидатов в позиции медианного избирателя.

Для того чтобы удовлетворить интерес истинного математика, доказательство версии теоремы о медианном избирателе с непрерывным распределением потребует более сложных математических выкладок. Нам же приведенного описания вполне достаточно, чтобы убедить вас в обоснованности теоремы в случае как дискретного, так и непрерывного политического спектра. Самое важное ограничение теоремы о медианном избирателе состоит в том, что она применима только при наличии одного вопроса, то есть при одномерном спектре политических различий. Если таких измерений два или более (например, консервативная или либеральная позиция по социальным вопросам не совпадает с консервативной или либеральной позицией по экономическим вопросам), то совокупность избирателей распределена в двумерном «пространстве вопросов» и теорема о медианном избирателе не выполняется. У каждого отдельно взятого избирателя могут быть предпочтения с одним максимумом в том смысле, что у него есть наиболее предпочтительная точка, а его выигрыш во всех направлениях от нее уменьшается подобно тому, как уменьшается высота горы по мере отдаления от ее вершины. Однако мы не сможем идентифицировать медианного избирателя в ситуации с двумя измерениями с равным количеством избирателей, наиболее предпочтительная позиция которых находится по обе стороны позиции медианного избирателя. В случае двух измерений нет однозначного восприятия стороны, а количество избирателей по обе стороны может меняться в зависимости от того, как именно мы определяем «сторону».

Резюме

Выборы можно проводить с использованием ряда различных процедур голосования, которые позволяют изменить порядок рассмотрения вопросов или способ подсчета голосов. Процедуры голосования подразделяются на бинарные, множественные и смешанные методы. Бинарные методы включают в себя принцип простого большинства и парные процедуры голосования, в частности метод Кондорсе и процедуру внесения поправок. Позиционные методы, такие как принцип относительного большинства и подсчет Борда, а также одобрительное голосование, относятся к категории множественных методов. Смешанные методы представлены системой простого большинства со вторым туром, системой мгновенного второго тура и системой пропорционального представительства.

Парадоксы голосования (парадокс Кондорсе, парадокс повестки дня и парадокс перестановки) показывают, что трудности с агрегированием предпочтений или небольшие изменения в списке рассматриваемых вопросов могут привести к результатам, противоречащим здравому смыслу. Еще один парадоксальный результат состоит в том, что итоги любых отдельно взятых выборов при заданной совокупности предпочтений избирателей могут меняться в зависимости от используемой процедуры голосования. Определенные принципы оценки методов голосования можно сформулировать, хотя, согласно теореме о невозможности Эрроу, ни одна система не удовлетворяет всем критериям одновременно. Исследователи, работающие в самых разных областях, пытались найти альтернативу принципам, сформулированным Эрроу.

Избиратели могут использовать стратегическое поведение в игре, которая обеспечивает выбор процедуры голосования, или в самих выборах посредством искажения своих предпочтений. Избиратели могут стратегически искажать свои предпочтения ради получения наиболее желаемого или предотвращения нежелательного результата. При наличии несовершенной информации избиратели могут принимать решение о целесообразности стратегического голосования исходя из своих убеждений в отношении поведения других избирателей и знания о распределении их предпочтений.

Кандидаты также могут придерживаться стратегического поведения в процессе формирования политической платформы. Общий результат, известный как теорема о медианном избирателе, показывает, что в выборах с участием двух кандидатов оба выбирают позицию, совпадающую с позицией предпочтений медианного избирателя. Эта теорема справедлива в случае дискретного или непрерывного распределения избирателей по шкале предпочтений.

Ключевые термины

Бинарные методы

Гистограмма

Дискретное распределение

Индекс Коупленда

Искреннее голосование

Медианный избиратель

Метод Кондорсе

Метод одобрительного голосования

Метод относительного антибольшинства

Многоэтапная процедура

Множественный метод

Непрерывное распределение

Нетранзитивное ранжирование предпочтений

Нормальное распределение

Парадокс Кондорсе

Парадокс перестановки

Парадокс повестки дня

Парное голосование

Победитель по Кондорсе

Подсчет Борда

Позиционный метод

Предпочтение с одним максимумом

Принцип минимальной дифференциации

Принцип относительного большинства голосов

Принцип простого большинства

Принцип простого большинства со вторым туром

Пропорциональное представительство

Процедура внесения поправок

Равномерное распределение

Ранжирование социальных предпочтений

Робастность

Система единого передаваемого голоса

Система мгновенного второго тура

Смешанный метод

Спойлер

Стратегическое голосование

Стратегическое искажение предпочтений

Теорема Гиббарда — Саттертуэйта

Теорема о медианном избирателе

Теорема о невозможности Эрроу

Транзитивное ранжироване предпочтений

Туры голосования

Условие Блэка

Функция распределения

Элементы Кондорсе

Элементы перестановки

Упражнения с решениями

S1. Рассмотрим голосование троих соседей-студентов А, Б и В, проживающих в трехместной комнате в общежитии. Они пытаются решить, какой из трех курсов выбрать для совместного изучения в этом семестре. (У всех троих разные профилирующие дисциплины и каждый изучает курсы по основному предмету.) Выбор нужно сделать из таких предметов: философия, геология и социология, а предпочтения студентов в этом отношении отражены в следующей таблице:

А	Б	В
Философия	Социология	Геология
Геология	Философия	Социология
Социология	Геология	Философия

Соседи по комнате решили провести два тура голосования и будут тянуть жребий, чтобы определить, кто установит порядок голосования. Предположим, это право досталось студенту А и он хочет, чтобы выбор пал на философию. Какую повестку дня он должен установить, зная, что все будут голосовать в соответствии со своими предпочтениями во всех турах? Какой порядок голосования он должен использовать, зная, что все будут голосовать стратегически?

S2. Предположим, избирателям от 1 до 4 предлагают рассмотреть троих кандидатов (А, Б и В) в ходе выборов по методу Борда. Их предпочтения таковы:

1	2	3	4
А	А	Б	В
Б	Б	В	Б
В	В	А	А

Допустим, все избиратели проголосуют в соответствии со своими предпочтениями (стратегическое голосование отсутствует). Найдите систему весов в подсчете Борда (количество баллов, которые должны быть присвоены первому, второму и третьему кандидату по уровню предпочтительности), при которой кандидат А выиграет выборы.

S3. Рассмотрите группу из 50 человек, присутствующих на собрании жителей небольшого города в штате Массачусетс. Они должны выбрать одно из трех предложений, касающихся вывоза городского мусора. Согласно предложению 1, муниципалитет сам должен обеспечивать вывоз мусора в качестве одной из услуг; предложение 2 призывает городские власти нанять для этих целей частную компанию; предложение 3 призывает жителей города самим нести ответственность за свой мусор. Существуют три типа участников голосования. Первый предпочитает предложение 1 предложению 2 и предложение 2 предложению 3; всего к этому типу относится 20 участников голосования. Второй предпочитает предложение 2 предложению 3 и предложение 3 предложению 1; к этому типу принадлежит 15 участников голосования. Третий предпочитает предложение 3 предложению 1 и предложение 1 предложению 2; таких голосующих 15.

a) Какое предложение победит в случае использования системы голосования по принципу относительного большинства?

b) Предположим, голосование проходит с применением подсчета Борда, при котором избиратели расставляют предложения в бюллетенях в порядке предпочтения. Предложение, указанное в бюллетене первым (занимает верхнюю позицию), получает 3 балла; предложение, указанное вторым, 2 балла, а указанное третьим — 1 балл. Сколько баллов в этой ситуации наберет каждое предложение при отсутствии стратегического голосования? Какое предложение победит?

c) Какую стратегию могут использовать голосующие второго и третьего типов для изменения результата голосования по методу Борда, полученного в пункте b, на результат, устраивающий оба типа? Если они применят эту стратегию, сколько баллов получит каждое предложение и какое предложение победит?

S4. Во время Карибского кризиса среди членов специально созданного Исполнительного комитета возникли серьезные разногласия. Рассматривались три варианта действий — мягкий (блокада), умеренный (ограниченный авиаудар) и жесткий (массированный авиаудар или вторжение) — между тремя группами. Гражданские «голуби мира» расположили варианты в таком порядке: мягкий курс, умеренный и жесткий. Порядок, установленный гражданскими «ястребами войны», несколько отличался: умеренный курс, жесткий и мягкий. Военные ратовали за жесткий курс, но «так хорошо понимали, какие опасности таит в себе ограниченный авиаудар, что предпочли бы вообще не предпринимать военных действий, чем прибегать к ограниченному удару» [Ernest R. May and Philip D. Zelikow, eds., The Kennedy Tapes: Inside the White House During the Cuban Missile Crisis (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1997), p. 97.] Иными словами, они отдали мягкому курсу второе место, а умеренному третье. Каждая группа составляла около одной трети от общей численности Исполнительного комитета, поэтому любые две группы могли сформировать большинство.

a) Если бы вопрос в Исполнительном комитете решался посредством голосования по принципу большинства и все члены комитета голосовали бы в соответствии со своими предпочтениями, какой бы вариант победил?

b) Какой результат был бы получен, если бы члены Исполнительного комитета голосовали стратегически? Какого результата удалось бы достичь, если бы у одной из групп были полномочия по определению повестки дня? (Проанализируйте эти два случая в соответствии с моделью анализа, использованной в  и .)

S5. В книге A Mathematician Reads the Newspaper («Математик читает газету») Джон Паулос описывает следующую пародийную ситуацию, основанную на реальных событиях, произошедших во время закрытых собраний Демократической партии по выдвижению кандидата в ходе первичных выборов президента США в 1992 году. Есть пять кандидатов: Джерри Браун, Билл Клинтон, Том Харкин, Боб Керри и Пол Цонгас. Есть также 55 избирателей с разными предпочтениями в отношении кандидатов. Существует шесть разных вариантов ранжирования предпочтений, которые обозначены номерами от I до VI. Варианты ранжирования предпочтений (1 — наибольшее, 5 — наименьшее), а также количество избирателей с такими предпочтениями показаны в следующей таблице:

a) Сначала предположим, что все избиратели голосуют в соответствии со своими предпочтениями. Проанализируйте результаты выборов при использовании каждого из нескольких принципов голосования. Проиллюстрируйте каждый из следующих исходов: 1) при использовании метода относительного большинства голосов выигрывает Цонгас; 2) при использовании системы простого большинства со вторым туром (два кандидата, занимающих два первых места по степени предпочтений, выходят во второй тур) побеждает Клинтон; 3) при использовании метода исключения (в каждом туре кандидат с наименьшим количеством голосов за первое место исключается из списка, а остальные выходят во второй тур) победителем становится Браун; при использовании метода Кондорсе (парное сравнение) выборы выигрывает Керри.

b) Предположим, вы сторонник Брауна, Керри или Харкина. В случае голосования по принципу относительного большинства вы получите худший результат. Можете ли вы извлечь выгоду из стратегического голосования? Если да, то как именно?

c) Есть ли возможности для стратегического голосования при применении других методов? Если да, объясните, кому выгодно стратегическое голосование в каждом случае и как можно этим воспользоваться.

S6. Как упоминалось в этой главе, в целях экономии времени и денег некоторые города (такие как Сан-Франциско) вместо выборов по принципу простого большинства со вторым туром и даже первичных выборов начали использовать систему мгновенного второго тура. В большинстве административно-территориальных единиц внедрена двухэтапная система, согласно которой, если ни один кандидат не получает большинства голосов в первом туре, через несколько недель проводится второй тур с участием двух кандидатов, набравших максимальное количество голосов.

В частности, двухэтапная система применяется во Франции во время президентских выборов. Первичные выборы не проводятся. Вместо этого все кандидаты от всех партий включаются в бюллетень первого тура, что, как правило, приводит ко второму туру, поскольку одному кандидату трудно набрать большинство голосов при столь большом количестве кандидатов. Хотя второй тур президентских выборов во Франции — неизменно ожидаемое событие, это не значит, что французским выборам нечем удивлять. Так, в 2002 году вся страна была потрясена выходом кандидата от правого крыла Жан-Мари Ле Пена, обошедшего социалиста Лионеля Жоспена и занявшего второе место, во второй тур против победителя первого тура (и действующего президента) Жака Ширака. Все считали, что Жоспен займет второе место и сразится с Шираком.

Система мгновенного второго тура состоит из следующих пяти этапов:

1. Избиратели ранжируют кандидатов в соответствии со своими предпочтениями.
2. Подсчитываются голоса.
3. Если кандидат набрал большинство голосов, он побеждает в выборах. Если нет, проводится этап 4.
4. Кандидат (кандидаты) с минимальным количеством голосов исключается из списка. (Более одного кандидата исключаются из списка одновременно только в случае, если они набрали равное количество голосов.)
5. Голоса, отданные за исключенных кандидатов, переходят к кандидатам, занявшим в рейтинге следующие места. Затем процедура повторяется, начиная со второго этапа.

a) Система мгновенного второго тура постепенно набирает популярность. Она используется в ряде американских городов, а также при выборе судей в штате Северная Каролина (по состоянию на 2013 год). Учитывая потенциальную экономию времени и денег, удивляет тот факт, что она пока не получила более широкого распространения. Почему системе мгновенного второго тура оказывается противодействие? (Подсказка: каким кандидатам, партиям и заинтересованным сторонам выгодна действующая двухэтапная система?)

b) Какие опасения или критические замечания могут возникнуть по отношению к системе мгновенного второго тура?

S7. Выборы с участием трех кандидатов проходят по принципу относительного большинства. Существует множество избирателей, распределенных по шкале идеологического спектра слева направо. Представьте это распределение в виде горизонтальной прямой с двумя крайними точками: 0 (слева) и 1 (справа). Избиратели равномерно распределены по этому спектру, а значит, их количество на любом отрезке прямой пропорционально длине этого отрезка. Таким образом, треть избирателей находятся на отрезке от 0 до 1/3, четверть избирателей — на отрезке от 1/2 до 3/4 и т. д. Каждый избиратель голосует за кандидата, объявленная позиция которого ближе всего к его собственной позиции. У кандидатов нет идеологических привязанностей, поэтому они занимают любую позицию на линии, причем каждый кандидат стремится максимизировать свою долю голосов.

a) Предположим, вы один из трех кандидатов. Крайний левый из оставшихся двух расположен в точке x, а крайний правый — в точке (1 – у), где х + у < 1 (то есть самый правый кандидат находится на расстоянии у от 1). Докажите, что ваш наилучший ответ — занять следующие позиции при заданных условиях:

(i) с небольшим смещением влево от x, если x > y и 3x + y > 1;

(ii) с небольшим смещением вправо от (1 – y), если y > x и x + 3y > 1;

(iii) ровно посредине между двумя другими кандидатами, если 3x + y < 1 и x + 3y < 1.

b) На графике с осями координат x и y покажите области (комбинации значений x и y), в которых каждое из правил ответа [от (i) до (iii) в пункте а] наилучшее.

c) Какой вывод можно сделать на основании анализа равновесия Нэша в игре, где три кандидата выбирают позиции?

Упражнения без решений

U1. Выполните для ситуации, в которой Б устанавливает порядок голосования и хочет сделать так, чтобы победила социология.

U2. Выполните , определив систему весов в подсчете Борда, при которой победит кандидат Б.

U3. Ежегодно кубок Хайсмана присуждается игрокам университетского футбола посредством подсчета Борда. Каждый голосующий голосует за первое, второе и третье место, присваивая им 3, 2 и 1 балл соответственно. Таким образом, схему присвоения баллов в системе Борда можно обозначить как (3–2–1), где первая цифра — количество баллов, соответствующих голосу за первое место, вторая цифра — за второе и третья — за третье место. В 2004 году голоса за первых пятерых кандидатов на получение кубка по системе Борда распределились так:

Игрок	1-е место	2-е место	3-е место
Лейнарт (USC)	267	211	102
Питерсон (Оклахома)	154	180	175
Уайт (Оклахома)	171	149	146
Смит (Юта)	98	112	117
Буш (USC)	118	80	83

a) Сравните суммы баллов, полученные Лейнартом и Питерсоном. С каким отрывом по баллам в системе Борда победил Лейнарт?

b) Кажется вполне справедливым, что схема присвоения баллов должна обеспечивать голосу за первое место как минимум такой же вес, как и голосу за второе место, а голосу за второе место как минимум такой же вес, как и голосу за третье место. Другими словами, в схеме присвоения баллов (x–y–z) должно выполняться условие x ≥ y ≥ z. Существует ли схема присвоения баллов с учетом этого ограничения «справедливости», при которой Лейнарт проиграл бы? Если да, опишите ее. Если нет, обоснуйте свой вывод.

c) Хотя Уайт получил больше голосов за первое место, чем Питерсон, последний набрал большее общее количество баллов в системе Борда. Предположим, голос за второе место получает 2 балла, а за третье 1 балл, то есть схема присвоения баллов такова: (x – 2 – 1). При каком минимальном целом значении x Уайт получит большее количество баллов в системе Борда, чем Питерсон?

d) Допустим, представленные выше данные о голосовании отображают истинные предпочтения его участников. Для простоты будем считать, что голосование проводится по принципу относительного большинства, а не по методу Борда. Обратите внимание, что и Лейнарт, и Буш из Университета Южной Калифорнии (USC), тогда как Питерсон и Уайт — из Оклахомы. Предположим, что по причине лояльности к Оклахоме все участники голосования, отдающие предпочтение Уайту, ставят на второе место Питерсона. Если бы они использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, могли бы они изменить исход выборов? Обоснуйте свой вывод.

f) Теперь представим, что по причине лояльности к Университету Южной Калифорнии все участники голосования, предпочитающие Буша, ставят на второе место Лейнарта. Если бы все четыре группы голосующих (за Лейнарта, Питерсона, Уайта и Буша) использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, то кто бы получил кубок Хайсмана?

g) В 2004 году за присуждение кубка Хайсмана голосовало 923 человека. При фактической системе присвоения голосов (3–2–1) какое минимальное целое количество голосов понадобилось бы для победы (то есть без помощи голосов, отданных за второе или третье место)? Обратите внимание, что имя игрока может быть указано в бюллетене только один раз.

U4. Фигуристы на Олимпийских играх откатывают две программы, короткую и произвольную. За выполнение каждой программы жюри из девяти судей выставляет фигуристам оценки, а затем составляет их рейтинг. Позиция фигуриста в рейтинге используется для определения окончательной оценки. Рейтинг фигуриста зависит от того, сколько судей отдадут ему первое (второе или третье) место; фигурист, которого считают лучшим большинство судей, получает в рейтинге первое место и т. д. При подсчете окончательной оценки фигуриста короткая программа получает половину веса произвольной программы (то есть окончательная оценка = 0,5 (рейтинг в короткой программе) + рейтинг в произвольной программе). Фигурист с самой низкой окончательной оценкой выигрывает золотую медаль. В случае равных оценок золотая медаль достается фигуристу с самым высоким (по мнению большинства судей) рейтингом в произвольной программе. В 2002 году, во время соревнований по одиночному фигурному катанию среди женщин в Солт-Лейк-Сити Мишель Кван занимала первое место после короткой программы. Далее следовали Ирина Слуцкая, Саша Коэн и Сара Хьюз, занимавшие соответственно второе, третье и четвертое места. В произвольной программе оценки на карточках судей, выставленные этим четырем фигуристкам, распределились следующим образом:

a) На Олимпиаде Слуцкая выступала последней из ведущих фигуристов. Используйте информацию на карточках судей, чтобы определить рейтинги судей, выставленные Кван, Коэн и Хьюз за произвольную программу до выступления Слуцкой. Затем, воспользовавшись указанными выше позициями в рейтинге за короткую программу и только что вычисленным вами рейтингом за произвольную программу, определите окончательные оценки и позиции этих трех фигуристок до выступления Слуцкой. (Обратите внимание, что у Кван в короткой программе был рейтинг 1, значит, ее частичная оценка после короткой программы составляет 0,5.)

b) На основании вашего ответа в пункте а определите, каким был бы окончательный результат соревнований, если бы судьи присвоили Слуцкой за произвольную программу более высокий рейтинг, чем рейтинг остальных трех фигуристок.

c) С помощью карточек судей вычислите фактические окончательные оценки всех четырех фигуристок после выступления Слуцкой. Как бы в итоге распределились места?

d) Какой важный принцип из сформулированных Эрроу нарушает система оценивания олимпийских соревнований по фигурному катанию? Обоснуйте свой вывод.

U5. В 2008 году, во время выдвижения кандидатов в президенты США, в супер­вторник, 5 февраля, в форме первичных выборов и партийных собраний Республиканской партии прошло 21 мероприятие. К этому дню (всего через месяц после партийного собрания в штате Айова, которое положило начало всему процессу) более половины кандидатов от Республиканской партии уже выбыли из гонки; осталось всего четыре кандидата: Джон Маккейн, Митт Ромни, Майк Хакаби и Рон Пол. Ранее Маккейн, Ромни и Хакаби выигрывали минимум в одном штате. За неделю до этого важного дня Маккейн победил Ромни во Флориде, и в тот момент казалось, будто только у них двоих есть реальные шансы на выдвижение кандидатом в президенты. В этом сезоне первичных выборов, что типично для Республиканской партии, почти каждое состязание между кандидатами от «великой старой партии» (будь то в форме первичных выборов или партийного собрания) было решающим, поэтому победа в определенном штате позволила бы кандидату получить голоса всех делегатов, закрепленных за этим штатом Национальным комитетом Республиканской партии.

Партийное собрание в штате Западная Вирджиния было первым в супервторник, а поскольку оно проводилось во второй половине дня, то было коротким. Штат находится в восточном часовом поясе, поэтому новости о результатах собрания стали известны за несколько часов до закрытия избирательных участков во многих штатах, в которых в тот день проходило голосование.

Следующая задача основана на результатах этого закрытого партийного собрания. Как и следовало ожидать, у его участников были разные предпочтения в отношении кандидатов. Одни выступали за Маккейна, другие симпатизировали Ромни или Хакаби. Разумеется, у избирателей тоже были разные предпочтения относительно того, кого они хотели бы видеть победителем, если бы их любимый кандидат проиграл. Существенно упростив реальную ситуацию (но опираясь на фактические данные голосования), предположим, что в тот день было семь типов участников закрытого собрания Республиканской партии в штате Западная Вирджиния, а доля этих типов и их предпочтения были такими:

Никто не знал распределения предпочтений участников партийного собрания по выдвижению кандидата, поэтому все голосовали в соответствии со своими истинными предпочтениями. В итоге Ромни получил в первом туре относительное большинство голосов в 41%.

После каждого тура голосования, если ни один кандидат не набирает большинства голосов, кандидат с наименьшим количеством голосов исключается из рассмотрения, а его сторонники голосуют за одного из оставшихся кандидатов в следующих турах.

a) Какими были бы результаты второго тура в случае правдивого (нестратегического) голосования за оставшихся троих кандидатов?

b) Если бы в Западной Вирджинии проводились парные голосования среди четырех кандидатов, какое из них обеспечило бы победителя по Кондорсе в случае правдивого голосования?

c) На самом деле результаты второго тура голосования были такими: Хакаби — 52%, Ромни — 47%, Маккейн — 1%. Как такое могло произойти, учитывая предпочтения избирателей Маккейна? (Подсказка: чем отличался бы результат, если бы Западная Вирджиния в тот супервторник голосовала последней?)

d) После окончания голосования в предвыборном штабе Ромни возмутились и обвинили сторонников Маккейна и Хакаби в заключении закулисной сделки (см. Susan Davis, “Romney Cries Foul in W. Va. Loss,” Wall Street Journal, February 5, 2008; ). Были ли основания у штаба Ромни подозревать в сговоре сторонников Маккейна и Хакаби в этом случае? Объясните, почему да или почему нет.

U6. Вернемся к анализу системы мгновенного второго тура (instant runoff voting, IRV) в .

a) Проанализируйте следующие бюллетени IRV пяти участников голосования:

Есть ли у кого-то из них стимул голосовать стратегически? Если есть, то у кого и почему? Если нет, объясните почему.

b) Проанализируйте следующую таблицу, в которой представлены бюллетени IRV семи жителей города, голосующих за пять программных предложений, выдвинутых мэром:

Если предположить, что все кандидаты (или варианты проводимой политики), получившие одинаковое минимальное количество голосов, исключаются из списка одновременно, то при каких условиях одно из предложений гарантированно наберет большинство голосов? Другими словами, при каких условиях может не быть ни одного однозначного победителя, получившего большинство голосов? (Подсказка: насколько важно для Эванса, Фостера и Гарсии полностью заполнить свои бюллетени?) Как изменятся эти условия, если в город приедет Харрис и примет участие в голосовании?

U7. Вспомните о городском совете, состоящем из трех членов, рассматривающем три альтернативных варианта политики социального обеспечения в . В этом примере три члена совета («левый», «центральный» и «правый») голосовали за варианты П и С в первом туре, а победитель состязался с вариантом Щ во втором туре. Но никто не знает наверняка, сколько членов совета имеет каждую совокупность вероятных предпочтений. Возможные варианты ранжирования предпочтений показаны на . Каждый член совета знает свой тип, а также значения вероятности наблюдения каждого типа участников голосования р_Л , р_Ц , р_П (р_Л + р_Ц + р_П = 1). Поведение представителей «центрального» типа в первом раунде голосования — единственная неизвестная величина в этой ситуации, зависящая от значений вероятности того, что будут присутствовать различные типы предпочтений. Предположим, участник голосования «центрального» типа убежден (в отличие от ситуации, которая рассматривалась в главе), что другой участник голосования «центрального» типа прибегнет к стратегическому голосованию; также допустим, что выигрыши голосующего «центрального» типа такие же, как и в : выигрыш 1 в случае победы варианта П, выигрыш 0 в случае победы Щ и выигрыш 0 < u < 1 в случае победы варианта С.

a) При какой конфигурации двух других голосов голос представителя «центрального» типа может повлиять на результат голосования? С учетом предположения этого члена совета в отношении поведения другого участника «центрального» типа, как он мог бы определить источник голосов, поданных в первом туре?

b) Придерживаясь той же процедуры анализа, что и в , определите ожидаемый выигрыш члена совета «центрального» типа в случае, если он голосует в соответствии со своими предпочтениями. Сравните его с ожидаемым выигрышем в случае стратегического голосования. При каком условии член совета прибегнет к стратегическому голосованию?

Отправить