Самые замечательные стороны энтропии оставались глубоко сокрытыми за фасадом ее использования в технике. Простые понятия теплового потока и температуры уходили корнями в дебри квантового мира. Они медленно приоткрывались ученым по мере того, как в XIX веке создавалась и развивалась новая физическая дисциплина – статистическая физика, базировавшаяся на не подтвержденной тогда идее существования атомов и молекул. Загадки и парадоксы статистической физики привели ученых к открытию физики квантовой, а Эддингтона – к мысли о том, что время течет благодаря увеличению энтропии.

Физика может очень хорошо предсказывать поведение одного или двух атомов. Она может уверенно делать это также в отношении одной или двух планет. Труднее, когда взаимодействуют несколько объектов. Оказывается, очень сложно предсказать, будет ли стабильной система из трех планет. Уравнения нам известны, но математика не могла «решить» их, то есть записать решение в общепринятых научных функциях вроде экспоненты и косинусов, чтобы получить соответствующие значения – решить задачу аналитически, а не численно. Мы можем симулировать движение десятка планет на компьютере, что обычно и делается. К счастью, поведение трехзвездной системы хаотично, и точные данные об изначальном положении звезд и их скорости нужны только для того, чтобы сделать приблизительные оценки на будущее. Как итог – в астрономии часто неясно, стабильна та или иная звездная система или в какой-то момент одна из звезд улетит в бесконечность.

Примечательно, что по мере увеличения наблюдаемых объектов физике становится легче. Это потому, что по многим параметрам мы в действительности хотим знать средние значения, а, например, для большого множества частиц (в галлоне – 3,8 л – воздуха содержится 1023 молекул) средние значения могут быть весьма точными. Мы можем даже вычислить среднее отклонение от средних величин.

До того как появилась статистическая физика, простые законы поведения газов открывались эмпирически. В далеком 1676 году ирландский химик и теолог Роберт Бойль рядом экспериментов показал, что давление в определенном объеме газа обратно пропорционально его объему. Сожмите газ до половины изначального объема, и его давление увеличится вдвое (если поддерживается постоянная температура). В XIX веке статистическая физика объясняла это явление, постулируя наличие в газе огромного количества атомов и идею о том, что давление, по существу, было средним значением огромного числа столкновений атомов со стенками сосуда.

Объяснение поведения газов наличием в них атомов было одним из великих ранних актов универсализации физики. До возникновения теории атомов поведение газов не связывалось с законами Ньютона (например, с равенством F = ma). Существовало представление, что тепло – это отдельная жидкость, которая называется теплород и якобы перемешана с газом. Но статистическая физика показала, что тепло – это энергия отдельных атомов. Быстро двигающиеся атомы – «горячие», медленные – «холодные», а температура (по абсолютной шкале) считается средней кинетической энергией каждого атома.

И здесь снова оказалась неоценимой роль Эйнштейна. В 1905 году, том самом, когда он сформулировал уравнение E = mc², ученый искал возможности доказательства атомной теории, рассчитывая эффект, который атомы могут оказывать на мельчайшие пылинки. Начав свою работу, он узнал, что этот эффект мог быть тем самым броуновским движением, которое открыл ботаник Роберт Броун в 1827 году. Рассматривая пыльцу растений в сильный микроскоп, Броун увидел, как множество мельчайших частичек совершало лихорадочные движения по всем направлениям, как будто плывя в разные стороны. Тогда признанным объяснением этого явления считалось то, что эти частицы – зародыши жизни, изначальные живые организмы типа инфузорий, первичная форма.

Нет. Эйнштейн показал: броуновское движение объясняется тем, что молекулы воды, атакующие частицы пыльцы с разных сторон, не уравновешивают друг друга. Толчки молекул с одной стороны пылинки время от времени становятся сильнее, чем с другой стороны, и частички «прыгают». Хотя в среднем они остаются на месте. Эйнштейн высчитал отклонения от среднего результата. Частицы все-таки двигаются, но не потому, что «плывут» в воде, а потому что совершают случайные перемещения, которые красочно описываются как «походка пьяного». Если человек сделает много случайных шагов в произвольных направлениях, то все равно значительно удалится от первоначального места. В среднем расстояние до него будет увеличиваться в прогрессии, выражаемой произведением длины шага на корень квадратный из количества шагов. Хотя первые эксперименты показали, что автор теории относительности ошибался в описании броуновского движения, точные измерения, сделанные известным французским физиком Жаном Перреном в 1908 году, подтвердили выводы Эйнштейна и привели к широкому признанию факта существования атомов и молекул – и к принятию статистической физики.

Хотя человечество к концу XIX века уже многое знало об электричестве, магнетизме, массе и ускорении, я нахожу очень примечательным то обстоятельство, что только после работ Эйнштейна и Перрена 1905−1908 годов широкая научная общественность в целом приняла существование атомов и молекул.

В книге Георгия Гамова «Один, два, три… бесконечность», о которой я упоминал, была фотография молекулы гексаметил-бензина. На ней изображены 12 черных точек, расположенных в шестиугольнике. Я тогда полагал, что точки обозначают отдельные атомы. (Теперь я знаю, что это были сгустки атомов.) Фотография очень взволновала меня. Запечатлены атомы! В наши дни фотографии атомов стали обыденностью. Но даже еще в 1989 году, когда корпорации IBM удалось сфотографировать 35 атомов ксенона и расположить их в виде букв IBM c помощью нового сканирующего туннельного микроскопа, это стало сенсацией. Сегодня атомы уже не гипотетические частицы, но во времена Эйнштейна они именно такими и были.

Объяснение Эйнштейном природы броуновского движения, наверное, могло рассматриваться как крупнейшее научное достижение года, а возможно, и нового века. Однако в том же 1905 году Эйнштейн написал еще три великие статьи: две о теории относительности и одну о квантовой природе света. Именно последняя работа о фотоэффекте послужила основанием для присуждения ученому Нобелевской премии. Тот поразительно продуктивный для Эйнштейна год был назван annus mirabilis, или «волшебный год».

Статистическая физика показала, что давление создается движущимися частицами, а температура – это кинетическая энергия отдельной частицы. Энтропия получила более глубокое и замечательное объяснение в работах физика-философа Людвига Больцмана за 40 лет до статьи Эйнштейна о броуновском движении. Больцман много сделал для разработки закономерностей статистической физики. С возрастом у него развилось биполярное аффективное расстройство – серьезное психическое заболевание. В 1906 году, не сумев одолеть приступ депрессии, ученый повесился. Это произошло всего за три года до того, как эксперименты Перрена убедили научный мир, что основные представления, заложенные Больцманом, были правильными.

Больцман показал, что энтропия объекта связана с количеством вариантов, которыми микроскопические молекулы могут создать его макроскопическое состояние. Это количество вариантов называется статистическим весом (числом способов [квантовых состояний] осуществления этого состояния). Представьте галлон воздуха, в котором 1023 молекул. В одном макроскопическом состоянии этого объема воздуха все молекулы могут сгруппироваться в одном его углу. Способ достижения такого состояния имеется всего один. Так что статистический вес при этом будет равен единице. В другом варианте молекулы могут быть ровно распределены в каждом кубическом сантиметре объема. Статистический вес такого состояния огромен, потому что мы можем разместить первую молекулу в любом из 3785 см³ объема галлона, вторую – в любом другом кубическом сантиметре и так далее, заботясь только о том, чтобы не «переполнить» каждый отдельно взятый кубический сантиметр. Поскольку количество молекул в галлоне воздуха колоссально – 10²³ штук, статистический вес, то есть количество вариантов заполнения молекулами этого объема, гигантский, но вычисляемый. (Ниже мы дойдем до конкретных вычислений.)

Больцман постулировал, что статистический вес состояния определяет вероятность реализации такого состояния. Наибольшую вероятность имеет равномерное распределение молекул в объеме. При расчете статистического веса Больцман включал также количество вариантов обмена энергией между частицами.

Ученый понял, что подобный подход может оказаться ключом к более глубокому пониманию энтропии. Вычислив статистический вес состояния W, он нашел, что натуральный логарифм этого числа пропорционален энтропии! Это было удивительное открытие. До этого термин «энтропия» использовался в чисто техническом смысле, обозначая минимизацию потерь тепла. Больцман показал, что это фундаментальная величина, основывающаяся на абстрактной математике и статистической физике. Вот его уравнение:

Число k – фундаментальная мировая постоянная, чтобы переводить lg W, безразмерную величину, в понятную инженерам энтропию, которая измеряется в калориях на градус или джоулях на градус. Сегодня k называется постоянной Больцмана; она определяет связь между температурой и энергией. (Я использовал ту же букву k в уравнении Эйнштейна, касающемся общей теории относительности, но это другое число.) Эта постоянная настолько важна, что каждый студент, изучающий физику, запоминает ее наизусть. Больцман так гордился своим уравнением, что завещал выгравировать его на своей могиле, что и было сделано.

Определение множества гугол было придумано девятилетним Милтоном Сироттой, когда его дядя математик Эдвард Каснер попросил нарисовать после единицы столько нолей, сколько мальчик был в состоянии изобразить. Позднее они вдвоем решили, что гугол – это число, обозначаемое единицей со 100 нолями. Это можно записать так: 1 гугол = 10100. (Компания Google была названа по этому слову, правда с ошибкой в написании, Шоном Андерсоном, другом основателя Google Ларри Пейджа.) Количество атомов в нашей Вселенной оценивается в 10⁷⁸. Это меньше, чем гугол, на 1 с 22 нолями. Однако статистический вес контейнера с газом, то есть число способов достижения его макроскопического состояния, – это 1 с 10²⁵ нолями. Это число –

– многократно больше гугола. Но меньше гуголплекса.

Что же такое гуголплекс? Это монстроподобное число определяется как 1 с гуголом нолей. (Это, кстати, был первоначальный вариант названия компании Google, предложенный Андерсоном.) Оно может быть записано как

Оно так огромно, что многие считают его нереальным. Оно больше, чем количество кубических миллиметров в известной нам Вселенной. Но оно используется в статистической физике при расчете энтропии Вселенной, которая оценивается австралийскими учеными Часом Эганом и Чарльзом Лайнвивером величиной 3 × 10¹⁰⁴k. Это число – логарифм статистического веса W. Сама же величина W намного больше. Число способов перераспределения вещества во Вселенной без изменения ее нынешнего состояния (те же звезды и другие космические тела – то есть W для нашей Вселенной) – больше, чем гуголплекс, намного больше, чем

Получается, что статистический вес Вселенной больше, чем если гуголплекс помножить на число 1 с 10 000 нолей.

Как реальные молекулы могут разместиться в реальной емкости? Как поделят имеющуюся энергию? Главная идея Больцмана заключалась в том, что состояние с наибольшим статистическим весом будет доминировать. Более высокая энтропия выигрывает, и выигрывает сильно, потому что соответствующие вероятности определяются не логарифмом W, а самим W, то есть числом способов осуществления этого состояния, которое всегда будет больше его логарифма.

Результаты в статистической физике требуют предположения, что вероятность любого состояния зависит от числа способов его достижения. Это предположение не самоочевидно. Оно называется эргодической гипотезой. На самом деле оно в строгом смысле неистинно. Если у вас две емкости, одна из которых заполнена газом, а другая пуста, состояние максимальной энтропии наступит, когда каждая емкость заполнится только наполовину. Но если эти емкости не соединены между собой, газ не может перемещаться из одной в другую. Таким образом, состояние максимальной вероятности оказывается недостижимым.

Это пояснение может звучать весьма тривиально, но оно очень важно с точки зрения понимания времени. Оно заставляет нас дать энтропии другое определение: энтропия не логарифм числа способов наполнения емкостей, а логарифм доступных таких способов. Подсчитывая их, не принимайте во внимание способы наполнения емкостей, нарушающие какие-то другие законы физики (например, что молекулы могут проникать сквозь стенки сосудов). Далее в этой книге статистический вес W будет обозначать число доступных способов наполнения емкостей.

Человек не в состоянии ограничить рост энтропии, но может установить некий контроль над достижением доступных состояний. Я попытаюсь доказать, что такой контроль можно считать ключевым в свободе выбора человека. Мы не в силах уменьшить энтропию Вселенной, но можем сделать свой выбор: соединять или нет две емкости с газом. Если не соединим, энтропия Вселенной будет меньше, чем в противном случае.

Мы можем также управлять локальной энтропией, снижая ее по нашему желанию. Это делает, например, кондиционер воздуха. Он охлаждает воздух внутри помещения, уменьшая энтропию в доме, и выбрасывает тепло наружу. Увеличение энтропии в чуть потеплевшем воздухе снаружи больше, чем количество энтропии, уменьшившееся внутри. Таким образом, использование этого устройства охлаждает нас и снижает нашу собственную энтропию, но повышает общую энтропию Вселенной.

Жизнь представляет собой локальный пример уменьшения энтропии. Растения забирают немногочисленный рассеянный углерод из воздуха, соединяют его с водой, получаемой из почвы, и при участии энергии солнечного света создают сложные молекулы крахмалов, которые организуются в высокоупорядоченные структуры. Энтропия молекул, из которых состоят растения, уменьшается, но общая энтропия повышается, главным образом за счет тепла, выбрасываемого в атмосферу.

Часто говорят, что энтропией измеряется степень беспорядка и хаоса. Состояние газа с низкой энтропией подразумевает нахождение молекул на одной области пространства с высокой степенью организации. Состояние с высокой энтропией означает, что молекулы распределены в значительном пространстве и не упорядочены. Высокая энтропия относится к состоянию, которое возникает с большой вероятностью в результате случайных процессов. Низкая энтропия – такая организация вещества, которое в реальности маловероятно. Высокоорганизованное состояние, как следует из самого названия, не может быть итогом случайных природных процессов.

В принципе, если вы имеете дело с такой системой, как, например, идеальный тепловой двигатель Карно для получения полезной механической работы путем использования горячих газов, общая энтропия может остаться постоянной. Но этот идеальный двигатель пока не создан. На практике энтропия всегда увеличивается – в том смысле, что увеличивающийся хаос неизбежен. Перенос тепла от горячего объекта к холодному увеличивает энтропию. Наша Вселенная теряет свою организованность и медленно, но верно, становится все более подвержена случайностям.

Разбейте чашку – и вы увеличите энтропию ее молекул. Будучи разъединенными, они находятся ближе к первоначальному естественному случайному состоянию. Попробуйте выбросить эти молекулы в космическое пространство, позвольте им рассеяться – вы нарушите порядок и увеличите энтропию. Создавая чашку, мы уменьшаем локальную энтропию за счет остальной Вселенной. Большая часть того, что мы считаем цивилизацией, основана на локальных уменьшениях энтропии.

Статистическая физика удивительным образом привела к открытию физики квантовой. Нагрейте какой-то предмет до нескольких тысяч градусов по Фаренгейту, и он засветится видимым светом: этот свет будет красным. Статистическая физика объясняла это излучением вибрацией молекул в предмете. Считалось, что движущиеся при этом электрические заряды порождали свет. Но расчеты, сделанные с позиций статистической физики, показывали, что это излучение должно иметь бесконечную энергию при уменьшении длины волны излучения (то есть смещении в ультрафиолетовую область), и эту проблему назвали ультрафиолетовой катастрофой. По сути это знаменовало большие затруднения и даже крах статистической физики.

Немецкий физик Макс Планк в связи с этим предложил странное на первый взгляд и «нефизическое» решение. Он нашел уравнение, которое объясняло фактические наблюдения. Сегодня мы называем его формулой Планка. Это была математика, а не физика. Затем ученый начал искать новый физический принцип, который, в случае истинности, объяснил бы получение уравнения. Решение было найдено: он понял, что атомы могут эмитировать свет только порциями, которые назвали квантовыми. Эта поразительная идея стала основным принципом квантовой физики.

Планку пришлось предположить: когда атом испускает свет частотой f, энергия этого света должна представлять собой произведение этой частоты на базовую единицу энергии h. Он записал формулу в таком виде:

Число h подобрал таким образом, чтобы наблюдаемое излучение от горячих объектов соответствовало его формуле. Сегодня мы знаем это число как постоянную Планка, и это одна из самых знаменитых величин. Ученые часто говорят, что любая формула, которая не содержит h, принадлежит классической физике, а та, которая эту константу содержит, находится в области квантовой.

Предположение Планка в 1901 году было сделано произвольно. Его формула соответствовала экспериментальным данным, однако предположение о том, что черное тело эмитирует свет порциями – квантами, не имело подтверждения. Спустя четыре года Эйнштейн понял, что несколько иная интерпретация гипотезы Планка может быть использована для объяснения совершенно другой загадки – фотоэлектрического эффекта. Сегодня на нем основана работа солнечных батарей и цифровых фотокамер. Этот эффект был открыт в 1887 году Генрихом Герцем (тем самым немецким ученым, который обнаружил радиоволны и чьим именем названа единица частоты герц, которая присутствует в повсеместно распространенном электричестве [с частотой 50 герц ]).

Герц открыл, что свет, падающий на поверхность какого-то предмета, «выбивает» из него электрон. Одновременно он обнаружил, что энергия этого электрона зависит от цвета луча (то есть от его частоты), а не интенсивности. Это открытие было очень загадочным. Увеличивая интенсивность светового луча, Герц получал не электроны с увеличенной энергией, а рост их количества. Это наблюдение не имело особого смысла, если исходить из того, что свет – вид электромагнитного излучения.

Эйнштейн понял, что может объяснить фотоэлектрический эффект Герца, если предположит, что сам свет разделен на кванты. (Планк полагал, что на кванты делится атом.) Эйнштейн назвал эти частицы света кванты; позже ученые назвали их фотонами. По существу, Эйнштейн открыл фотон. Во всяком случае, он был первым, кто признал его существование. Каждый фотон выбивает один электрон. Он сообщает этому электрону энергию hf. Таким образом, энергия электрона зависит от частоты света. Более интенсивный свет подразумевает, что в нем просто больше фотонов и что он «выбивает» больше электронов. Именно объяснение Эйнштейном фотоэлектрического эффекта принесло ему Нобелевскую премию в 1921 году.

По иронии судьбы квантовое объяснение эффекта фотоэлектричества утвердило Эйнштейна также в качестве одного из основателей квантовой физики. Ирония в том, что он никогда не принимал квантовую теорию, по крайней мере в том ее варианте, который стал доминировать в физике (речь идет о копенгагенской интерпретации квантовой механики).

Энтропия увеличивается. Время бежит вперед. Какая связь между ними? Простая или причинно-следственная? Артур Эддингтон утверждал, что энтропия и время связаны, но эта связь неочевидна. Энтропия не просто растет со временем, как заключила статистическая физика. Эддингтон считал, что все как раз наоборот: ведущим элементом здесь была энтропия. Энтропия оказывается причиной того, что время движется.