Как возникают задачи линейного программирования, мы объясним на еще одном простом примере.

Допустим, у нас есть два склада: на северном и на южном конце города. В офис поступили заказы от двух клиентов. Клиент А заказал 60 листов железа, а клиент Б – 40 листов. На южном складе у нас в наличии 70 листов железа, а на северном – 35, то есть общего запаса хватает. Но мы хотим свести расходы на доставку к минимуму. Цены доставки приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Пример цен доставки

Спрашивается: сколько листов отправить клиентам А и Б с южного склада, а сколько – с северного?

Все было бы просто, если бы мы могли доставить весь товар с «дешевого» южного склада. Но, к сожалению, там всего 70 листов, на обоих клиентов не хватит. А поскольку северный склад гораздо дороже, решение не очевидно.

Как же его найти? В нашем конкретном примере, в принципе, можно пойти путем перебора всех вариантов. Но если количество клиентов и складов увеличится, решить задачу вручную не удастся. Поэтому давайте посмотрим, как это сделать с помощью математики. Для начала, как учили в средней школе, введем переменные.

Клиенту А с южного склада доставлено АЮ листов железа. Тогда с северного склада клиенту А доставлено (60 – АЮ) листов. Аналогично клиенту Б с южного склада доставлено БЮ листов железа, а с северного – (40 – БЮ) листов. Теперь по табл. 2.1 можно рассчитать общую стоимость доставки:

Если раскрыть скобки, то получается:

общая стоимость доставки = 1020 − 2 × АЮ − 5 × БЮ (рублей) (2.1)

Нам нужно выбрать АЮ и БЮ так, чтобы стоимость была как можно меньше.

Но это еще не все. АЮ и БЮ нельзя выбрать просто так. В задаче есть существенные ограничения. Во-первых, мы не будем отправлять клиентам больше листов, чем они просили. Клиент А заказал 60 листов, а клиент Б – 40 листов. Поэтому в любом случае

АЮ ≤ 60, (2.2)

БЮ ≤ 40. (2.3)

Во-вторых, нужно учесть, что запас на каждом складе ограниченный. С южного склада мы отправляем АЮ + БЮ листов, а всего на этом складе 70 листов. Поэтому АЮ + БЮ не больше 70:

АЮ + БЮ ≤ 70. (2.4)

Аналогично с северного склада мы не можем отправить больше 35 листов:

Раскрыв скобки в этом выражении, получаем:

АЮ + БЮ ≥ 65. (2.5)

Это ограничение можно интерпретировать еще и так: поскольку на северном складе 35 листов, а нам в совокупности необходимо доставить 100 листов, то как минимум 65 листов должны быть доставлены с южного склада.

Вот теперь все! Это и есть задача линейного программирования: нам нужно минимизировать стоимость, которая задана выражением (2.1), и при этом соблюсти ограничения (2.2) (2.5). Внизу, во врезке, задача приведена в окончательном варианте.

Программирование в данном контексте скорее «оптимизация», а не программирование на компьютере. Слово линейное употребляется потому, что используются исключительно линейные выражения, то есть переменные можно умножать на число, а также вычитать и складывать. И все. Никакие другие операции не применяются. Например, у нас нет выражений типа АЮ × БЮ или АЮ². Оказывается, в такой линейной формулировке можно представить очень многие задачи оптимизации.

В практических задачах переменных и ограничений намного больше. При этом всегда есть только одно выражение, так называемая целевая функция, которую следует либо минимизировать (если речь идет о стоимости), либо максимизировать (если речь идет о доходе). В данном случае наша целевая функция – стоимость (2.1), и ее нужно минимизировать.