Давайте суммируем все, что нам на настоящий момент известно о суммах.

В начале главы мы выяснили, что

и поняли, что это – особый случай геометрического ряда, в котором при любом значении x (при условии, что –1 < x < 1)

Все это верно и для отрицательных величин от 0 до –1. Например, при x = –1/2 получаем

Ряд, в котором постоянно чередуются положительные и отрицательные величины, с каждым шагом приближающиеся к нулю, называется знакочередующимся. Он всегда сходится. Чтобы представить его более наглядно, начертите оси координат и поставьте палец в точку ноля. А теперь перемещайте палец таким образом: сначала вправо на единицу, потом влево на 1/2, вправо на 1/4 (проверьте себя – к этому моменту вы должны быть на точке 3/4), влево на 1/8 (на точку 5/8) и т. д. Рано или поздно ваш палец остановится на одной точке – 2/3 – и не сможет никуда с нее деться.

Возьмем другой знакочередующийся ряд:

После четвертого члена нам становится понятно, что бесконечная сумма составит минимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0,583…, после пятого – максимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0,783…. Истина, как всегда, кроется где-то посередине – 0,693147…. С помощью исчисления мы можем найти действительное значение этого числа.

Чтобы размяться, возьмем следующий ряд

и посмотрим, что будет, если продифференцировать обе его части. Помните, в главе 11 мы определили, что производные 1, x, x², x³, x⁴ и т. д. равны соответственно 0, 1, 2x, 3x², 4x³ и т. д.? Получается, что производная бесконечной суммы есть (бесконечная) сумма производных. А теперь применим цепное правило, чтобы продифференцировать (1– x)^–1. При –1 < x < 1 получаем

Посмотрим на другой ряд, заменив x на – x. При –1 < x < 1

Найдем для обеих сторон антипроизводные (или первообразные), то есть займемся тем, что называется интеграцией. Чтобы это сделать, двинемся назад: например, если производная x² – 2x, то первообразная 2x – x². (Специально для тех, кто любит «погорячее»: производная x² + 5, x² + π или x² + c при любом значении c также равна 2x, поэтому первообразная 2x – и на самом деле x² + c.) Значит, первообразными 1, x, x², x³, x⁴ и т. д. будут соответственно x, x²/2, x³/3, x⁴/4, x⁵/5 и т. д., а первообразной 1/(1 + x) – натуральный логарифм 1 + x. То есть при –1 < x < 1

(Постоянная величина слева – 0, потому что при x = 0 нам нужно, чтобы левая часть соответствовала ln 1 = 0.) Так как x стремится к единице, мы получаем натуральное значение 0,693147…, а именно

Правильно пользоваться геометрическим рядом мы уже научились. Почему бы немного не попользоваться им неправильно? Формула утверждает, что

при любом значении x, ограниченным условием, что –1 < x < 1. А что, если набраться смелости и взять x = –1? Тогда наша формула примет следующий вид:

Конечно, это невозможно: при сложении и вычитании целых величин дробь вроде 1/2 просто не может образоваться, даже при сходящейся сумме. С другой стороны, крупица здравого смысла в таком ответе все-таки есть – просто взгляните на промежуточные суммы:

Возьмем другое «незаконное» значение – x = 2. Тогда ряд скажет нам, что

Этот ответ выглядит еще более нелепо, чем предыдущий: как может сумма положительных чисел быть отрицательной? Но зерно истины скрыто и здесь. Помните, в главе 3 мы разбирали случаи, когда положительная величина ведет себя как отрицательная в таких, например, отношениях:

Это привело нас к выводу, что 10^k ≡ (–1)^k (mod 11).

А вот один очень интересный способ понять 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…, который потребует от нас нестандартного творческого подхода. Вернемся назад к главе 4, в которой мы выяснили, что любое целое может быть представлено в виде уникальной суммы двух степеней двойки. Именно этот принцип лежит в основе двоичной системы счисления – системы, благодаря которой современные компьютеры умеют считать. Причем количество степеней двойки обязательно конечно. Например, в 106 = 2 + 8 + 32 + 64 таких степеней всего четыре. Но предположим, что для нас вдруг стало доступно и бесконечное их количество. Типичное бесконечное целое выглядит как

где каждый член – это степень по основанию 2. К чему это нас приведет, пока неясно, но некоторая закономерность здесь уже прослеживается. Так, эти числа можно складывать, перенося лишние цифры в следующий разряд – как мы всегда и делаем. Например, прибавив к предыдущему ряду число 106, получим

где две двойки предсказуемо дают 4, а две восьмерки – 16. А дальше смотрите, что происходит: этот результат мы прибавляем к следующим 16 и получаем 32. Плюс еще 32 – будет 64. А так как дальше у нас уже есть целых две величины, равные 64, имеем 64 и 128. Все, что выше 256, остается в единственном экземпляре. Теперь попробуйте представить, что произойдет, когда мы прибавим 1 к некой абстрактной «наибольшей» величине.

Мы получим бесконечную цепь реакций, уводящих за пределы уравнения все значения, не связанные степенными отношениями с 2. Следовательно, сумму вполне можно представить как 0. Так как (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) + 1 = 0, вычитание 1 из обеих частей приведет нас к бесконечной сумме, ведущей себя в точности, как число –1.

Хотите, расскажу вам о своей любимой бесконечной сумме? Вот она:

Чтобы доказать это, обратимся к алгебраическим хитростям и так же, как мы делали во втором доказательстве действительности конечного геометрического ряда, сдвинем отдельные элементы. Такой подход отлично срабатывает для конечных сумм, но в применении к суммам бесконечным он дает порой очень странные, порой абсурдные результаты. Применим его для начала к одному из предыдущих тождеств. Сумму запишем дважды – без сдвига и со сдвигом. Получится

Сложим эти два уравнения:

Следовательно, S будет равно 1/2, как мы и рискнули предположить чуть выше, заменив x в геометрическом ряду на –1.

Самое потрясающее то, что знакочередующаяся версия желаемой нами суммы тоже имеет очень любопытный ответ:

Сдвигаем, записываем ответ дважды:

Складываем:

Следовательно, 2T = S = 1/2, то есть T = 1/4, как и было сказано.

Ну и, наконец, посмотрим, что произойдет, если представить сумму всех положительных целых как U и сравнить ее с уже известной нам суммой T (точнее, с ее рядом без сдвига):

Вычтем второе из первого:

Другими словами,

Решая это уравнение для U, получаем 3U = –T = –1/4, следовательно,

как и предполагалось.

Для протокола отметим, что при сложении бесконечного количества положительных целых сумма расходится до бесконечности. Но не торопитесь списывать все наши конечные результаты на обычные чудеса математики – с подобными странностями можно и нужно разобраться. Достаточно просто посмотреть на числа под другим углом, и сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… = –1 покажется не такой уж и невероятной.

В привязке к оси, как вы наверняка помните, казалось невозможным найти корень числа –1, но у нас получилось сделать это, когда мы трактовали комплексные величины как точки на комплексной же плоскости – точки, подчиняющиеся своим собственным арифметическим законам. Любой физик, занимающийся теорией струн, подтвердит, что 1 + 2 + 3 + 4 +… = –1/12, ведь именно на этой сумме основано множество его вычислений. Видите: даже самый абсурдный результат нельзя просто взять и отмести только на основании его абсурдности – всему есть свое объяснение, достаточно лишь напрячь воображение.

Давайте закончим эту книжку еще одним парадоксальным результатом. В начале раздела мы взяли знакочередующийся ряд

сходящийся к ln 2 = 0,693147…. От перемены мест слагаемых сумма, по идее, меняться не должна – этот принцип называется коммутативным законом сложения и выглядит как

для любых значений A и B. И тем не менее

Это именно перемена мест слагаемых: мы по-прежнему складываем дроби с нечетными значениями знаменателя и вычитаем дроби с четными значениями знаменателя. И хотя четные числа используются в ряду в 2 раза чаще, чем нечетные, тех и других у нас бесконечный запас. К тому же каждая из дробей встречается лишь единожды, как и в оригинальном уравнении. Правда? Правда. Но взгляните-ка:

Это значит, что у нас получается лишь половина изначальной суммы! Как такое возможно? И как возможно то, что перемена мест слагаемых приводит нас к другому результату? Ответ прост: коммутативный закон сложения вполне может «буксовать», когда дело доходит до бесконечного количества чисел, и это хорошо известно.

«Пробуксовка» возникает при схождении всякий раз, когда положительные величины вместе с отрицательными формируют расходящийся ряд. Другими словами, когда положительные величины дают в сумме ∞, а отрицательные –∞, как в нашем последнем примере. Подобные ряды называются условно сходящимися. Их магия заключается в том, что члены в них можно перемешивать как угодно – и получать тем самым нужный нам результат. Попробуем, например, прийти к 42. Сначала добавляем необходимое количество положительных величин, чтобы сумма чуть-чуть превышала 42, потом вычитаем первый из отрицательных членов. Снова поднимаемся выше 42 и снова вычитаем отрицательный член – на этот раз второй. Повторяем алгоритм и смотрим, как сумма будет все ближе и ближе подходить к 42 (например, вычтя пятый отрицательный член –1/10, мы получим значение, отличающееся от желаемого результата в пределах 0,1, пятидесятый же отрицательный член –1/100 уменьшит этот предел до 0,01 и т. д.).

Конечно, обычно бесконечные ряды, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, так странно себя не ведут. Если заменить каждый член ряда его абсолютным значением (что превратит отрицательные величины в положительные), то при сходящейся новой сумме мы получим абсолютно сходящийся ряд. Покажем это на примере уже известного нам знакочередующегося ряда:

Так вот, он будет именно абсолютно сходящимся, ведь при сложении абсолютных величин мы придем к другому, ничуть не менее знакомому нам сходящемуся ряду

Здесь коммутативный закон сложения «буксовать» не будет даже при бесконечном количестве членов. Следовательно, в изначальном знакочередующемся ряду числа 1, –1/2, 1/4, –1/8… можно «тасовать» как угодно – их сумма всегда будет равна 2/3.

К сожалению, в отличие от бесконечных рядов, любая книга, в том числе и эта, должна когда-то заканчиваться. Лезть дальше бесконечности мы, пожалуй, не осмелимся, а остановимся прямо здесь. Впрочем, у меня для вас припасено еще одно матемагическое блюдо.