Длина окружности и ее площадь

Книга: Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Диаметр окружности – это величина D, обозначающая расстояние между двумя максимально удаленными друг от друга точками окружности и определяющаяся как его удвоенный радиус. То есть

Периметр окружности (то есть расстояние, пройденное по кругу от некой точки до нее же) называется ее, окружности, длиной (или периферией) и обозначается буквой C. На рисунке хорошо видно, что C длиннее, чем 2D, потому что идти по полукругу от точки P к точке Q придется явно дольше, чем напрямик по D, равно как и обратный путь от точки Q к точке P по другому полукругу займет больше времени. Следовательно, C > 2D. А раз уж мы заметили это, почему бы нам не заметить, что C даже немного длиннее, чем 3D. Правда, для того, чтобы наша уверенность была стопроцентной, придется надеть 3D-очки… (извините, не сдержался ☺).

На самом деле для того, чтобы сопоставить длину окружности с ее диаметром, нам нужно «распрямить» круг, измерить получившуюся линию, а потом разделить результат на диаметр. И вы с удивлением обнаружите, что, независимо от того, измеряете вы монетку, дно стакана, тарелку или гимнастический круг, у вас всегда получится

C/D ≈ 3,14

Число π определяется как постоянная величина, представляющая собой соотношение длины круга к его диаметру. То есть

π = C/D

И π остается неизменным для абсолютно любой окружности! Если хотите, можете преобразовать эту формулу для подсчета длины окружности: зная диаметр D или радиус r той или иной окружности, вы можете просто посчитать

C = πD

или

C = 2πr

Цифровое выражение π начинается с

π = 3,14159…

Чуть позже мы узнаем, что идет дальше, после 9, а заодно обсудим некоторые свойства этого числа.

Отступление
Определить длину окружности «на глазок» не так-то легко. Испытайте себя – возьмите высокий стакан и постарайтесь прикинуть, что больше: его высота или длина окружности? Уверен, большинство проголосует за высоту… и почти наверняка вы окажетесь неправы: чаще всего больше будет именно длина окружности. Не верите? Проверить достаточно легко: просто измерьте большим и указательным пальцами диаметр стакана и трижды отложите этот отрезок вдоль его стенки.

Теперь можно смело отвечать на первый из двух вопросов, заданных в начале главы. Если мы представим экватор в виде идеального круга с длиной окружности, равной 40 075 км, его радиус составит

Но значение радиуса не так уж для нас и важно – куда важнее знать, насколько увеличится этот радиус, если к длине окружности прибавится три метра – совсем ненамного, примерно на 3/2π ≈ 0,5 метра. Следовательно, под веревкой окажется достаточно места, чтобы проползти, но недостаточно, чтобы пройти в полный рост (если, конечно, вы не танцор лимбо).

Но самым удивительным здесь будет не столько сам ответ, сколько тот факт, что полученные нами 0,5 м ни капельки не зависят от изначальной длины окружности – вы придете к тому же результату независимо от того, обвязываете ли вы веревкой Землю, Юпитер, Плутон или теннисный мячик. Например, радиус круга с длиной окружности, равной 15 м, составит 15/(2π) ≈ 2,38. Прибавив 3 метра, получим новый радиус 18/(2π) ≈ ≈ 2,86, который будет больше старого примерно на 0,5 метра.

Отступление
А вот еще один очень важный факт из геометрии окружностей.

Теорема: Предположим, что точки X и Y лежат на окружности строго друг напротив друга. Тогда при любом положении третьей точки P ∠XPY = 90°.

На рисунке, например, хорошо видно, что углы ∠XAY, ∠XBY и ∠XCY являются прямыми.

Доказательство: Проведем линию радиуса из точки O к точке P. Положим ∠XPO = x, а ∠YPO = y. Наша цель – показать, что x + y = 90°.

Так как отрезки OX и OP суть радиусы окружности, их длина равна r, следовательно, треугольник XPO будет равнобедренным. Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, ∠OXP = ∠XPO = x. По той же логике отрезок OY является радиусом, а ∠OYP = ∠YPO = y. Поскольку сумма углов треугольника XYP должна быть равна 180°, получаем 2x + 2y = 180°, а значит, x + y = 90°, что и требовалось доказать.☺

Теорема эта является частным случаем другой, самой любимой моей во всей геометрии теоремы о центральном угле, которой посвящено следующее «Отступление».

Отступление
Ответ на второй вопрос нашей мини-викторины может дать теорема о центральном угле. Возьмем две случайные точки X и Y, расположенные на окружности. Бóльшая дуга – это длинный путь от X и Y, меньшая – короткий путь. Теорема о центральном угле утверждает, что вне зависимости от положения точки P на большей дуге, проходящей от X к Y, размер угла ∠XPY будет постоянным, а более конкретно – равным половине центрального угла ∠XOY. Если при этом расположить на меньшей дуге точку Q, получим ∠XQY = 180° – ∠XPY.

Например, если ∠XOY = 100°, тогда при любом положении P на большей дуге, проходящей от X к Y, ∠XPY = 50°, а при любом положении Q на меньшей дуге, проходящей от X к Y, ∠XQY = 130°.

Зная длину окружности, мы можем вывести очень важную формулу – формулу вычисления ее площади.

Теорема: Площадь круга с радиусом r равна πr².

Вы наверняка помните эту формулу со школы. Что ж, тем больше удовольствия вы получите, узнав, наконец, из чего она вытекает. Конечно, правильнее всего было бы использовать метод вычислений, но пока вполне можно удовлетвориться и другим, не менее эффективным, доказательством.

Доказательство 1: Представьте себе круг как совокупность концентрически расходящихся колец, как это показано на рисунке. Сделайте в нем прорезь от верхнего края к центру, а затем «разогните» кольца, чтобы они сложились в фигуру, напоминающую треугольник. Чему будет равна площадь этой фигуры?

Надеюсь, вы не забыли, что площадь треугольника с основанием b и высотой h составляет

Основание получившейся у нас фигуры равно 2πr (длине окружности), а его высота – r (расстоянию от центра окружности до его нижнего края). Так как наш «очищенный» круг становится тем более треугольным, чем больше мы добавляем к нему колец, его площадь составляет

что и требовалось доказать.☺

Теорема эта настолько прекрасна, что просто невозможно устоять и не доказать ее еще раз. Только если в предыдущем случае мы чистили луковицу, теперь будем разрезать пиццу.

Доказательство 2: Разделите круг на четное количество равных секторов-«кусочков». Возьмите «кусочек» из верхней половинки и положите рядом с «кусочком» из нижней половинки, как показано на рисунках (в наших примерах мы разрезали «пиццу» сначала на 8, а потом – на 16 частей). Разложите так весь круг. С увеличением количества секторов форма каждого из них будет все больше и больше напоминать треугольник с высотой r. Чередование нижних секторов (назовем их «сталагмитами») с верхними («сталактитами») дает нам фигуру, по форме очень близкую к прямоугольнику, с шириной, равной r, и длиной, равной половине длины окружности, то есть πr. (Чтобы сделать ее именно прямоугольником, а не параллелограммом, «отсечем» от крайнего левого «сталактита» ровно половину и «приклеим» ее к правому краю.) Так как форма разделенного на сектора круга становится все более и более

прямоугольной с увеличением количества этих секторов, площадь окружности составит

bh = (πr)(r) = πr²

как мы и предполагали.☺

А еще можно взять окружность и представить ее на плоскости в виде графика.

Для круга с радиусом r и центральной точкой, расположенной в координатах (0, 0) работает формула

x² + y² = r²

что хорошо видно по графику чуть ниже. Чтобы в этом разобраться, возьмем некую лежащую на окружности точку с координатами (x, y). Опустим из нее до оси x перпендикулярную этой оси линию – получится прямоугольный треугольник с катетами x и y и гипотенузой r. Тогда, согласно теореме Пифагора, x² + y² = r².

Круг с r = 1 называется единичным. Если мы «растянем» такой круг по горизонтали с коэффициентом a и по вертикали с коэффициентом b, получится эллипс (или овал) вроде этого:

Подобная фигура имеет формулу

и площадь πab, что вполне логично, потому что площадь изначального единичного круга равняется π, после чего мы растянули ее на ab. Обратите внимание, что при a = b = r мы получим круг (а не эллипс) с радиусом r – πab же, таким образом, превратится в πr².

Существует несколько забавных фактов, связанных с эллипсами, которыми я хотел бы с вами поделиться. Например, вы можете нарисовать овал с помощью двух канцелярских кнопок, лески и карандаша.

Возьмите кнопки, воткните их в лист бумаги или картона и накиньте на них колечко из лески или прочной нитки (но до предела не натягивайте). Поставьте карандаш кончиком в центр получившейся конструкции и оттяните один из концов лески так, чтобы получился треугольник. А теперь постепенно передвигайте карандаш по бумаге вокруг кнопок, не ослабляя леску. Диаграмма, получившаяся в результате, будет иметь эллиптическую форму.

Местоположения кнопок называются фокусами эллипса, и они, конечно же, тоже волшебные. Если вместо кнопки в точку одного фокуса положить бильярдный шар и ударить по нему так, чтобы он покатился в случайном направлении, то после всего лишь одного касания о периметр он обязательно пройдет через точку второго фокуса.

Кстати, космические тела, вроде планет и комет, путешествуют вокруг солнца именно по эллиптической орбите. Естественно, я не смог удержаться:

И даже у затмения
Овальное строение!

Отступление
А вот вам еще один очень интересный факт – не существует такой формулы, которая позволила бы просчитать длину эллипса. Зато есть некое приближенное представление, придуманное математическим гением по имени Сриниваса Рамануджан и позволяющее оценить эту длину хотя бы примерно:

π(3a + 3b – √((3a + b)(3b + a)))
Обратите внимание, что при a = b = r выражение упрощается до (6r – √(16r²)) = 2πr – длины окружности.

Число π появляется и в трехмерных фигурах. Возьмем для примера консервную банку, которая для любого математика является цилиндром. Так вот, объем цилиндра (то есть его внутреннее пространство) с радиусом r и высотой h составит

V_{цилиндра} = πr²h

Объяснить эту формулу можно, представив цилиндр как совокупность окружностей, расположенных одна на другой так, чтобы образовалась стопка высотой h (представьте себе стопку подносов в ресторане и поймете, что я имею в виду).

А чему будет равна площадь поверхности цилиндра? Иными словами, сколько краски нам понадобится, чтобы покрасить все его внешние стороны, включая «крышку» и «донышко»? Держать ответ в памяти нет никакой необходимости – его можно получить в любой момент, условно разделив цилиндр на три части. Площади «крышки» и «донышка» будут равны πr². Значит, их общий вклад в площадь поверхности цилиндра составит 2πr². Чтобы узнать площадь третьей части, разрежем оставшийся «тубус» вдоль от верха до низа и разогнем его. У нас получится прямоугольник с шириной h и длиной 2πr (которая берется из длины прилегающей окружности). Его площадь будет равна 2πrh, что позволяет нам «собрать» формулу общей площади цилиндра:

A_{цилиндра} = 2πr² + 2πrh

Сфера есть трехмерный объект, в котором все наружные точки равноудалены от центра. Чему будет равен объем сферы с радиусом r? Начнем с того, что такого размера объект войдет в цилиндр, имеющий радиус r и высоту 2r, следовательно, его объем будет меньше πr²(2r) = 2πr³. По случайному стечению обстоятельств (надежно подкрепленному скрупулезными вычислениями) сфера займет ровно две трети этого пространства. Другими словами,

Формула для нахождения площади поверхности сферы выглядит еще проще, хотя путь к ней куда более тернист:

A_сферы = 4πr²

Давайте завершим раздел примерами, где у π появляется вкус мороженого и пиццы. Представьте себе рожок мороженого (также известный как конусовидный стаканчик) с высотой h и радиусом верхней окружности r. Длину образующей конуса – линии, проведенной от его кончика к любой точке верхней окружности – обозначим буквой s (самый простой способ ее вычислить – теорема Пифагора, потому что h² + r² = s²).

Конус этот легко уместится в цилиндр радиусом r и высотой h, поэтому неудивительно, что его объем будет меньше πr²h. Зато удивительно (и при этом очевидно без всяких вычислений) то, что меньше он будет ровно в 3 раза. Другими словами,

И хотя вычисления здесь и в самом деле совершенно не нужны, отказать себе в удовольствии, которое дарит нам эта красота и простота, совершенно невозможно: площадь поверхности конуса равна

A_конуса = πrs

Ну, и наконец, пицца, имеющая радиус z и толщину a, как видно на рисунке. Каков будет ее объем?

Это лакомство – не что иное, как необычной формы цилиндр (радиус z, высота a), объем которого равен

V = πz²a

Немного переделаем эту формулу – уверен, у вас слюнки потекут:

V = pi z z a

Назад: Вокруг да около окружности

Дальше: Удивительные лики π