Глава номер семь
Магия геометрии

Начнем, пожалуй, с одной геометрической задачки, которая вполне сойдет за фокус. Возьмите листок бумаги и сделайте следующее.

Шаг 1. Начертите фигуру из четырех не пересекающихся друг с другом линий. Должен получиться четырехугольник. Подпишите углы по часовой стрелке литерами A, B, C и D. Вот несколько возможных примеров:

Шаг 2. Отметьте центральные точки сторон AB, BC, CD и DA буквами E, F, G и H соответственно.

Шаг 3. Соедините эти точки пунктирными линиями так, чтобы получился еще один прямоугольник, EFGH, вот так:

Хотите – верьте, хотите – нет, но он всегда будет параллелограммом. Другими словами, линия EF будет параллельна линии GH, а линия FG – линии HE (при этом сторона EF будет той же длины, что и сторона GH, а сторона FG – той же длины, что и сторона HE). На рисунках выше это отлично заметно, но мне очень хочется, чтобы вы сами все это начертили.

Геометрия скрывает в себе множество подобных сюрпризов. Несложные предположения, незамысловатые логические ходы – и вот вам удивительный результат.

Хотите проверить свою интуицию? Давайте проведем небольшую, но очень увлекательную викторину: одни ответы покажутся вам вполне очевидными, а другие – поразят, даже если вы прекрасно разбираетесь в геометрии. Начнем?

Вопрос 1. Некий фермер решил обнести изгородью прямоугольную территорию с периметром 16 метров. Чему должны быть равны стороны этого участка, чтобы его площадь была максимальной?

А. Он должен быть квадратным (то есть его длина и ширина должны быть равны 4 м).

Б. Соотношение сторон участка должно соответствовать принципу золотого сечения и составлять 1,618 (то есть примерно 5,25 на 3,25 м).

В. Длина участка должна быть максимальной (8 м).

Г. Во всех трех вышеперечисленных вариантах площадь будет одинаковой.

Вопрос 2. Есть две параллельные прямые (см. рисунок ниже). На нижней лежат точки X и Y. Наша задача – поместить на верхней прямой третью точку так, чтобы получившийся между ней, X и Y треугольник имел наименьший периметр. Какую точку следует выбрать?

А. Точку А (расположенную точно посередине между X и Y, чтобы прямоугольник получился равнобедренным).

Б. Точку B (расположенную точно над X или над Y, чтобы треугольник получился прямоугольным).

В. Точку С (расположенную как можно дальше от X и Y).

Г. Любую, потому что все треугольники будут иметь одинаковый периметр.

Вопрос 3. Возьмем те же прямые и те же точки X и Y. Теперь попытаемся понять, где на верхней прямой должна располагаться точка P, чтобы получился треугольник с наибольшей площадью. Итак, точка P должна находиться:

А. В точке А.

Б. В точке B.

В. Как можно дальше от X и Y.

Г. Где угодно, потому что все треугольники будут иметь равную площадь.

Вопрос 4. В американском футболе расстояние между воротами составляет примерно 110 м. Натянем между ними веревку той же длины. Затем добавим к ней еще 30 см. Насколько высоко можно будет поднять веревку в центре поля?

А. Чуть больше, чем на пару сантиметров.

Б. Достаточно высоко, чтобы под ней можно было проползти.

В. Достаточно высоко, чтобы под ней можно было пройти в полный рост.

Г. Достаточно высоко, чтобы под ней мог проехать грузовик.

Давайте теперь найдем правильные ответы на все эти вопросы. Первые два, по-моему, вполне очевидны. А вот последние… Впрочем, мы обязательно разберем все в подробностях.

Ответ 1. Вариант (А): каким бы ни был изначальный периметр, прямоугольник всегда будет иметь наибольшую площадь только при равных размерах его сторон. Следовательно, наилучшим выбором будет квадрат.

Ответ 2. Вариант (А): наименьший периметр будет иметь треугольник, образованный соединением точек X и Y с точкой, расположенной точно посередине между ними (то есть А).

Ответ 3. Вариант (Г): все треугольники будут иметь одинаковую площадь.

Ответ 4. Вариант (Г): в самом центре поля веревку получится поднять вверх чуть больше, чем на 4 м – вполне достаточно для грузовика.

Для решения первой задачи будет достаточно несложных алгебраических вычислений. Возьмем прямоугольник, в котором длина верхней и нижней сторон равна b, левой и правой – h. Его периметр, таким образом, будет равен 2b + 2h – сумме длин всех четырех сторон. Его площадь (то есть, по сути, площадь того, что можно в этот прямоугольник поместить) будет равна произведению b и h. (О том, что же такое площадь, мы поговорим чуть позже.) Так как периметр у нас составляет 16 м, имеем 2b + 2h = 16 или

А так как h = 8 – b, площадь bh (которая по изначальному условию должна быть как можно больше) равна

Какое значение b даст нам максимальный результат? Чуть позже, в главе 11, мы рассмотрим очень простой способ подобных вычислений. Сейчас же удовлетворимся методом разбития квадрата, который уже встречался нам в главе 2. Посмотрите:

есть площадь нашего прямоугольника. При b = 4 она составит 16 – 0² = 16; при b ≠ 4 –

Так как мы вычитаем из 16 некую положительную величину, разность в любом случае будет меньше 16. Следовательно, площадь нашего прямоугольника будет максимальной при b = 4 и h = 8 – b = 4. И здесь нам открывается совершенно удивительно свойство геометрии: изначальный периметр – 16 м – вдруг оказывается не имеющим значения и отношения к задаче. Каким бы ни был этот показатель, оптимальной формой прямоугольника с периметром p будет квадрат с длиной сторон p/4.

Чтобы ответить на остальные вопросы, нам нужно разобраться в тех из них, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными, а заодно и освежить в памяти школьные основы геометрии: почему сумма углов треугольника равна 180°? О чем нам рассказывает теорема Пифагора? Как определить, равна ли форма двух треугольников (и зачем вообще это нужно)?