Вычисление вычета по модулю 9

Книга: Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Дальше: Магия 10, 11, 12 и модульной арифметики

А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается:

3457 → 19 → 10 → 1

Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9, ведь на каждом этапе вы занимаетесь тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное число называется цифровым корнем изначального числа. Например, числовой корень 3457 – 1, а 3456 – 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n:

Если цифровой корень n равен 9, n кратно 9.
В ином случае цифровой корень будет равен остатку, получаемому от деления n на 9.

Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r, получаем:

n = 9x + r

где x – целое число. Вычисление вычета по 9 – забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте посчитаем

Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5 и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно, что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень, равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической формуле:

(9x + r₁) + (9y + r₂) = 9(x + y) + (r₁ + r₂)

Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что важно: даже если числа совпадают, это еще не значит, что ответ верный, хотя в 90 % случаев проверка результата цифровыми корнями работает безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке, если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.

А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.

1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.

2. Сложите между собой его цифры.

3. Вычтите результат из задуманного числа.

4. Сложите между собой цифры полученной разности.

5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.

6. Если нечетное – на 10.

7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T, само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T, мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL, о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9x + 5 и 9y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

(9x + 5)(9y + 6) = 81xy + 54x + 45y + 30 = 9(9xy + 6x + 5y) + 30 = (число, кратное 9) + (27 + 3) = (число, кратное 9) + 3

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

12 302 ÷ 9

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

31 415 ÷ 9

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

111 111 ÷ 9 = 12 345 с остатком 6

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.

Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру – 8. Дальше у нас идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6. 6 + 6 = 12 – значит, «на ум идет» уже третья единица, – считаем 12 – 9 = 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973 с остатком 8.

Отступление
Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков, никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:

53 ÷ 91 = 0,582417…
Если говорить конкретнее, ответ тут – , где линия над цифрами 582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1, считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую половину нашего ответа, а именно – 0,582. Вторая половина – это разность, полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем .

Еще один пример – 78 ÷ 91. Здесь 78 × 11 = 858, то есть ответ будет начинаться с 857. Затем 999 – 857 = 142, поэтому 78 ÷ 91 = . Это число нам уже встречалось в главе 1, потому что 78/91 легко упрощается до 6/7.

Метод этот работает, потому что 91 × 11 = 1001. Поэтому в первом примере А так как 1/1001 = , мы получаем повторяющуюся часть нашего ответа из 583 × 999 = 583 000 – 583 = 582 417.

91 = 13 × 7 дает нам отличный способ делить числа на 13, усложняя их, чтобы получить в знаменателе 91. Например, 1/13 = 7/91, а так как 7 × 11 = 077, у нас получается