2 - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний - Маркус дю Сотой - RutLib.com

Книга: О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Назад: 1

2

Если бы природа не была прекрасной, она не стоила бы того, чтобы быть познанной, а если бы природа не стоила того, чтобы быть познанной, то и жизнь не стоила бы того, чтобы быть прожитой.

Анри Пуанкаре

Когда я учился в университете, я потратил кучу времени, играя в бильярд в комнате отдыха студенческого общежития. Я мог бы сделать вид, что занимался там исследованиями углов и всего такого прочего, но на самом деле я попросту убивал время. Это был хороший способ оттянуть тот момент, когда мне нужно было браться за решение заданных на очередную неделю задач, с которым я не мог справиться. Тем не менее бильярдный стол таит в себе множество интересной математики. И эта математика имеет самое прямое отношение к моему стремлению познать игральную кость.

Если запустить шар по бильярдному столу и отметить его траекторию, а затем запустить другой шар в направлении, очень близком к первому, то второй шар опишет траекторию, очень похожую на путь первого. Пуанкаре изначально считал, что тот же принцип применим и к Солнечной системе. Если отправить планету по слегка отличающейся траектории, то развитие Солнечной системы пойдет по очень похожему пути. Это интуитивно очевидно для многих из нас: малое изменение изначальной траектории планеты не должно привести к значительным изменениям пути ее движения. Но Солнечная система, по-видимому, играет на своем бильярде в несколько более интересную игру, чем я играл студентом.

Как это ни удивительно, если изменить форму бильярдного стола, то такое интуитивное представление окажется неправильным. Например, если запускать шары по столу, имеющему форму стадиона с полукруглыми торцами и прямыми боковыми сторонами, то их траектории будут разительно отличаться друг от друга, несмотря на то что шары были запущены в почти одном и том же направлении. Это визитная карточка хаоса – чувствительность к крайне малым изменениям начальных условий.

Две быстро расходящиеся траектории бильярдного шара на столе в форме стадиона

Поэтому моя задача состоит в том, чтобы установить, предсказуемо ли падение игральной кости подобно обычной игре в бильярд, или же эта кость играет в бильярд хаотический.

Дьявол после запятой

Хотя считается, что лавры отца хаоса принадлежат Пуанкаре, такая чувствительность многих динамических систем к малым изменениям была на удивление мало известна в течение многих десятилетий XX в. Собственно говоря, для обретения идеями хаоса более широкой известности потребовалось повторное открытие этого явления ученым Эдвардом Лоренцем, который, как и Пуанкаре, думал, что допустил какую-то ошибку.

В 1963 г., когда Лоренц, работавший в Массачусетском технологическом институте метеорологом, обсчитывал на своем компьютере уравнения изменения температуры динамической текучей среды, он решил, что одна из моделей требует более длительного обсчета. Он взял некоторые данные, полученные раньше, и снова ввел их в машину, собираясь перезапустить модель начиная с этой точки.

Вернувшись после чашки кофе, он с ужасом обнаружил, что компьютер не воспроизвел предыдущие результаты, а очень быстро выдал значительно расходящиеся с ними предсказания изменений температуры. Сначала он не мог понять, что происходит. Если ввести в уравнение то же самое число, на выходе не ожидаешь получить другой ответ. Но через некоторое время он понял, в чем было дело: он ввел не те же самые числа. В использованной им компьютерной распечатке данных значения были указаны с точностью до третьего знака после запятой, а вычисления проводились с точностью до шестого знака.

Хотя числа действительно отличались друг от друга, расхождения между ними были лишь в четвертом знаке после запятой. Трудно было ожидать, что это приведет к такой большой разнице, но Лоренца поразило то влияние, которое такое малое расхождение оказало на результат. Ниже показаны два графика, созданные с использованием одного и того же уравнения, но с чрезвычайно малым различием между данными, введенными в уравнение. В одном графике значение входного параметра равно 0,506127. Во втором графике оно округлено до 0,506. Хотя графики начинаются со сходных траекторий, их поведение очень быстро становится совершенно разным.

Модель, которую обсчитывал Лоренц, была упрощенным вариантом метеорологических моделей, анализирующих поведение атмосферных потоков под влиянием перепадов температуры. Его повторное открытие того, как малые изменения начального состояния системы могут оказать такое сильное влияние на исход, имело огромное значение для наших попыток использовать математические уравнения для предсказания будущего. Как писал сам Лоренц:

Два состояния, между которыми имеются неощутимые различия, могут развиться в существенно разные состояния. Любая ошибка в наблюдениях настоящего состояния – а в любой реальной системе такие ошибки представляются неизбежными – может сделать приемлемое предсказание состояния в отдаленном будущем невозможным.

Месть кузнечика

Когда Лоренц рассказал о своей находке коллеге, тот ответил: «Эдвард, если твоя теория справедлива, то один взмах крыльев чайки может навечно изменить ход истории».

Чайка в конце концов уступила место знаменитой теперь бабочке в 1972 г., когда Лоренц доложил о своем открытии Американской ассоциации содействия развитию науки в докладе, озаглавленном «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».

Интересно отметить, что и чайку, и бабочку, возможно, обогнал кузнечик. Оказывается, еще в 1898 г. профессор У. С. Франклин осознал то чудовищное влияние, которое сообщество насекомых может оказывать на погоду. Вот что он писал в рецензии на одну книгу:

Бесконечно малая причина может породить конечный эффект. Таким образом, долговременный подробный прогноз погоды невозможен, а единственное возможное предсказание представляет собой предположение о последующих тенденциях и свойствах шторма, выведенное на основе его предыдущих стадий; причем точность такого предсказания следует оценивать с учетом того, что полет кузнечика в Монтане может развернуть шторм, идущий на Филадельфию, в сторону Нью-Йорка!

Удивительное положение. Уравнения, открытые наукой, дают совершенно детерминистическое описание эволюции многих динамических систем, подобных погоде. И тем не менее во многих случаях предсказания, которые можно из них получить, нам недоступны, так как любые измерения положения или скорости полета частицы могут быть лишь приближениями к истинным условиям.

Именно поэтому, когда британская метеорологическая служба составляет прогноз погоды, она берет данные, зарегистрированные метеостанциями, разбросанными по всей стране, и, вместо того чтобы использовать их в уравнениях, метеорологи производят несколько тысяч модельных расчетов, варьируя данные в некотором диапазоне значений. В течение некоторого времени прогнозы остаются достаточно близкими, но начиная приблизительно с пятого дня от текущей даты результаты зачастую расходятся так далеко друг от друга, что один набор данных может предсказывать приход в Великобританию аномально жаркой погоды, в то время как изменение нескольких знаков после запятой дает предсказание ливней, которые затопят всю страну.

Исходя из почти одинаковых начальных условий, прогноз А предсказывает, что через четыре дня на всех Британских островах будут сильные ветры и дожди, а прогноз В – приход с Атлантики зоны высокого давления

Великий шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал в своей книге «Материя и движение», опубликованной в 1873 г., важное отличие системы детерминистической, но непознаваемой: «Существует принцип, на который часто ссылаются: “Одинаковые причины всегда производят одинаковые следствия”». Это безусловно справедливо в отношении математического уравнения, описывающего динамическую систему. Но Максвелл продолжает: «Существует другой принцип, который не следует смешивать с приведенным [выше]: “Подобные причины производят подобные следствия”. Это справедливо лишь в том случае, если небольшие изменения начальных условий производят лишь небольшие изменения в конечном состоянии системы». Ложность именно этого принципа выявило в XX в. открытие теории хаоса.

Такая чувствительность к малым изменениям начальных условий может сорвать мои попытки использовать выписанные мной уравнения для предсказания будущего игральной кости. Уравнения у меня есть, но могу ли я быть уверен в точности определения угла, под которым кубик вылетает из моей руки, скорости его вращения, расстояния до стола?

Конечно, не все так уж безнадежно. Бывают случаи, в которых малые изменения не приводят к разительным отклонениям результатов уравнений, как в примере траекторий на классическом бильярдном столе. Важно осознавать, когда познание невозможно. Прекрасный пример осознания момента, начиная с которого невозможно узнать, что произойдет дальше, был открыт математиком Робертом Мэем, когда он анализировал уравнения роста популяций.

Осознание невозможности познания

Мэй, родившийся в 1938 г. в Австралии, сначала учился физике и работал в области сверхпроводимости. Но в конце 1960-х гг. в его научной работе произошел резкий поворот, когда он познакомился с вновь образованным движением социальной ответственности в науке. Его интересы переместились с поведения групп электронов на более актуальные вопросы закономерностей динамики популяций животных. В то время биология еще не была естественной средой для человека с математическим складом ума, но работы Мэя впоследствии изменили это положение. Его великое открытие стало возможным благодаря сочетанию строгого математического образования, которое он получил как физик, и нового интереса к проблемам биологии.

В опубликованной в 1976 г. в журнале Nature статье под названием «Простые математические модели с чрезвычайно сложной динамикой» Мэй рассмотрел динамику математического уравнения, описывающего циклический рост популяции. Он показал, что даже вполне невинно выглядящее уравнение может давать численные результаты с необычайно сложным поведением. Его формула популяционной динамики была не каким-нибудь сложным дифференциальным уравнением, а простым дискретным уравнением с обратной связью, которое мог обсчитать кто угодно при помощи карманного калькулятора.

Уравнение динамики популяции с обратной связью

Рассмотрим популяцию животных, численность которой может варьироваться от нуля до некоторого гипотетического максимального значения, обозначенного N. Существует некоторая доля Y этого максимума (лежащая между 0 и 1), определяющая в уравнении, какая часть популяции выживет к следующему циклу с учетом воспроизводства и борьбы за пищевые ресурсы. Предположим, что коэффициент воспроизводства в каждом цикле равен r. Тогда, если доля максимальной численности популяции, выжившая к концу цикла, была равна Y, то численность следующего поколения составит r · Y · N.

Но выживут не все вновь появившиеся животные. Согласно этому уравнению, доля не выживших животных также будет равна Y. То есть из r · Y · N животных, существовавших в начале цикла, умрет Y(r · Y · N). Значит, всего к концу цикла останется в живых (r · Y · N) – (r · Y² · N) = [r · Y(1 – Y)] · N животных, а доля максимальной численности популяции, существующая в текущем цикле, равна r · Y(1 – Y).

По сути дела, эта модель предполагает, что произведение численности выжившей к концу каждого цикла части популяции на постоянный коэффициент r, называемый коэффициентом воспроизводства, дает число животных, существующих в начале следующего цикла. Но необходимых для выживания ресурсов на всех не хватает. Поэтому уравнение вычисляет, какая часть этих животных доживет до конца цикла. Полученное число выживших животных снова умножают на коэффициент r, что дает численность следующего поколения. Интересная особенность этого уравнения состоит в том, что его поведение сильно зависит от выбора значения r, коэффициента воспроизводства. Некоторые значения r дают в высшей степени непредсказуемое поведение. Мы можем точно знать, как будут изменяться значения. Но существует некий предел, за которым они полностью выходят из-под контроля. Знание внезапно оказывается недостижимым, так как добавление всего одного лишнего животного может привести к резкому изменению динамики численности популяции.

Например, Мэй выяснил, что при значениях r от 1 до 3 численность популяции в конце концов стабилизируется. В этом случае, каковы бы ни были начальные условия, численность будет постепенно стремиться к некоторому постоянному значению, зависящему от величины r. Это похоже на игру на бильярде, в центре которого устроена воронка. Куда бы я ни запустил шар, рано или поздно он окажется на дне воронки.

При r, бо́льших 3, также обнаруживается участок предсказуемого поведения, но несколько другого типа. При значениях r от 3 до

(что приблизительно равно 3,44949) численность популяции, по сути дела, скачет взад и вперед между двумя значениями, зависящими от r. Когда r становится больше

, характер динамики популяции снова изменяется. При значениях r от

до 3,54409 (точнее, до корня алгебраического уравнения 12-й степени) существуют уже четыре значения, которых периодически достигает численность популяции. При дальнейшем увеличении r таких значений становится 8, потом 16 и т. д. По мере роста r число разных значений каждый раз удваивается, пока мы не дойдем до порога, за которым динамика превращается из периодической в хаотическую.

Мэй признает, что, когда он начал исследовать это уравнение, он не имел никакого представления о том, что происходит за этой точкой. Перед его кабинетом в Сиднее была доска, на которой он повесил объявление, обещавшее 10 австралийских долларов любому, кто сможет объяснить такое поведение системы. На доске он написал: «По-моему, полная неразбериха».

Он нашел ответ на свой вопрос во время поездки в Мэриленд – и тогда-то и был впервые использован термин «хаос». Мэй выступал там на семинаре и рассказал об участке удвоения периода, признав, что дошел до такого места, после которого он вообще ничего не понимает. В зале был один математик, который понимал все. Джеймс Йорк никогда раньше не видел такого удваивающегося поведения, но зато он точно знал, что происходит на следующем участке. Он называл это хаосом.

При r, бо́льших 3,56995 (точнее, предельной точки решений системы уравнений возрастающей степени), поведение становится чрезвычайно чувствительным к начальному состоянию популяции. Малейшее изменение исходной численности животных может привести к получению совершенно другого результата.

Однако, как выяснил Йорк, по мере дальнейшего увеличения r все еще могут встречаться участки регулярного поведения. Например, при r = 3,627 численность популяции снова становится периодической и колеблется между шестью разными значениями. С увеличением r 6 заменяется на 12, потом на 24 и так далее, каждый раз удваиваясь вплоть до нового наступления хаоса.

Две популяции с r = 4, исходное различие между численностью которых составляет одно животное на тысячу. Хотя в начале их поведение сходно, уже через 15 лет они ведут себя совершенно по-разному

Боб Мэй осознал, каким грозным предупреждением является такая простая система для тех, кто думает, что знает все: «Не только в научных исследованиях, но и в мире повседневной политики и экономики было бы гораздо лучше, если бы большее количество людей понимало, что простые системы далеко не всегда обладают простыми динамическими свойствами».

Политика хаоса

Сейчас Боб Мэй воплощает свои убеждения на практике. Точнее, мне следовало бы сказать «лорд Роберт Мэй, барон Оксфордский», как указал мне человек в цилиндре, встретивший меня у главного входа в палату лордов. В последние годы Мэй сочетает научную работу с активной политической деятельностью. Он стал членом межпартийной группы в палате лордов, и именно там я встретился с ним за обедом, чтобы узнать, насколько он преуспел в деле информирования политиков о влиянии хаотических систем на общество.

Когда человек в цилиндре и полицейские с автоматами провели меня в здание палаты лордов, Мэй уже ждал меня по другую сторону металлодетекторов и рентгеновских аппаратов. Мэя не интересуют все эти официальные титулы, так что он в своей простецкой австралийской манере по-прежнему просит называть его Бобом. «Виноват, я уже пообедал. Но я пойду с вами есть десерт, пока вы будете обедать». Пока я ел свою рыбу, он расправился с огромным куском фирменного шоколадного торта палаты лордов. Мэю 79 лет, но он все так же энергичен и целеустремлен; после своего второго обеда он спешил на заседание парламентской комиссии, рассматривающей последствия строительства новой железнодорожной ветки, которая должна соединить Лондон с северо-западом Англии.

До того как он стал членом палаты лордов, Мэй был главным научным консультантом сперва консервативного правительства Джона Мейджора, а затем и лейбористского кабинета Тони Блэра. Я поинтересовался, не слишком ли трудно было человеку, обычно не боящемуся говорить правду в глаза, балансировать на такой политизированной должности.

– На собеседовании мне сказали, что мне иногда придется защищать решения каких-нибудь министров; что я об этом думаю? Я ответил, что никогда и ни при каких обстоятельствах не буду отрицать факты. Вместе с тем я всегда достаточно хорошо выступал в игровых дискуссиях, когда тебе дают тему и ты должен по жребию отстаивать одну или другую из двух противоположных точек зрения. Поэтому я сказал, что всегда буду рад объяснить, как именно министр пришел к такому решению. Я просто не стану его поддерживать, если решение было неправильным.

Типичный ответ математика. Изложить аксиомы, использованные министром, а затем развернуть доказательство, которое привело его к данному выводу. Беспристрастный подход. Который, однако, не означает, что Мэй не имеет собственных твердых убеждений и не готов излагать свою точку зрения на обсуждаемую тему.

Мне было интересно узнать, как правительство справляется с теми затруднениями, которые теория хаоса создает для всех, кто пытается принимать политические решения. Как политики подходят к задаче предсказания будущего и управления им при наличии лишь частичного знания систем, которые они анализируют.

– Я думаю, это слишком радужное представление о том, что тут происходит. За очень редкими исключениями все они – люди очень эгоистичные, очень амбициозные, которых прежде всего интересует собственная карьера.

А что сам Мэй? Как повлияли сделанные им открытия на его мнение о роли науки в обществе?

– Это было очень странное ощущение. Конец ньютоновской мечты. Когда я заканчивал университет, считалось, что при помощи все более и более мощных компьютеров мы сможем получать все более и более точные прогнозы погоды, потому что мы знаем все уравнения и сможем построить еще более реалистичные модели Земли.

Но Мэй не согласен с попытками отрицателей изменения климата использовать теорию хаоса для подрыва дискуссии.

– Не верить в изменение климата на том основании, что прогнозам погоды нельзя доверять, – это примерно как не верить в приливы на том основании, что нельзя предсказать, когда на пляж Бонди-бич придет следующая волна.

В качестве иллюстрации того странного противоречия, которое существует между возможностью необыкновенно точного научного познания некоторых вещей и теорией хаоса, которая отказывает нам в познании многих частей природного мира, часто цитируют отрывок из пьесы «Аркадия» Тома Стоппарда. Один из главных героев, Валентайн, заявляет:

Нам легче предсказать, что произойдет на краю Галактики или внутри атомного ядра, чем узнать, будет ли дождь в воскресенье через три недели, когда тетушка будет принимать гостей в своем саду.

Мэй шутит, что его наиболее цитируемая работа – это не одна из резонансных статей, напечатанных в таких престижных научных журналах, как Nature, а театральная программка, которую он написал к первой постановке пьесы Стоппарда в лондонском Национальном театре. «Как бы в насмешку над всеми этими индексами цитирования как критерием значимости научного исследования».

Человеческое уравнение

На какие же великие нерешенные вопросы науки Мэй хотел бы получить ответ? Сознание? Бесконечная Вселенная?

– Я думаю, меня бы интересовало что-нибудь менее грандиозное, так что я бы скорее говорил о тех вещах, над которыми сейчас работаю. Я практически случайно занялся вопросами банковского дела.

Это было неожиданно. Хотя создание стабильной банковской системы казалось весьма узкой проблемой, Мэй недавно использовал свои модели распространения инфекционных заболеваний и динамики экологических пищевых сетей для изучения банковского кризиса 2008 г. В сотрудничестве с Эндрю Холдейном из Банка Англии он рассматривал финансовую сеть как экосистему. Это исследование показало, как финансовые инструменты, предназначенные для оптимизации прибыли отдельных организаций с, по-видимому, минимальным риском, могут тем не менее дестабилизировать банковскую систему в целом.

Мэй считает, что проблема не обязательно кроется в механике самого рынка. Дело скорее в том, что малозаметные события, происходящие на рынке, усиливаются и извращаются в результате взаимодействия с ними человека. Больше всего во всей этой банковской неразберихе его интригует возможность лучше регулировать такое эпидемическое распространение паники.

– Спрашивается, как учесть человеческое поведение в модели? Я не думаю, что психологию человека можно выразить математически. Мы играем в кости с собственным будущим. Но, если мы пытаемся предсказать исход броска костей, нам нужно знать, кому принадлежат эти кости.

Этого я не учел, когда пытался предсказать поведение моей кости из казино. Возможно, мне прежде всего следовало учесть, кто продал мне мою кость.

– Я думаю, что многие из крупных проблем общества находятся вне сферы действия естественных наук и математики. Спасения нам нужно ждать не от них, а от наук поведенческих.

Если оглянуться вокруг в столовой палаты лордов, можно наблюдать в действии весь спектр и всю сложность человеческого поведения. Они делают задачу математического описания взаимодействий даже в этом мельчайшем микрокосме человечества практически неразрешимой. Как объяснял французский философ Фернан Бродель, читая лекцию по истории своим товарищам по заключению в немецком лагере для военнопленных под Любеком, «существование каждого индивидуума подчинено и определено невероятным множеством вечно перекатывающихся игральных костей». Хотя поведение каждой отдельной кости непредсказуемо, существуют закономерности, проявляющиеся в долговременном поведении больших серий таких бросков. По мнению Броделя, именно это делает изучение истории возможным. «История действительно остается “бедной маленькой гадательной наукой”, пока она берет себе предметом рассмотрения отдельных людей […], но ее методы и результаты становятся более рациональными, когда она изучает группы и повторяющиеся явления».

Но Мэй считает, что понимание истории и происхождения этого набора игральных костей не столь очевидно, как утверждает Бродель. Например, не вполне ясно, можем ли мы выяснить, как мы добрались до нынешней точки в своем эволюционном путешествии.

– Я назову вам один из вопросов, которые кажутся мне особенно интересными: попытки понять эволюционную траекторию рода человеческого на нашей планете. Повторяется ли та траектория, которой мы, по-видимому, следуем, на всех или многих других планетах, или же мы оказались на этой, а не на другой траектории в результате ранних флуктуаций хаоса? Будем ли мы когда-нибудь знать достаточно, чтобы быть в состоянии спросить, неизбежна ли та катастрофа, к которой мы, как кажется, катимся, и существуют ли многочисленные планеты, обитатели которых, подобно мистеру Споку, менее эмоциональны и ярки, но более беспристрастны и логичны?

Пока мы не откроем другие обитаемые планеты и не сможем изучить их траектории, нам трудно будет установить, основываясь на единственном наборе данных под названием Земля, является ли порча экосистем неизбежным следствием эволюции.

– Я думаю, мы никогда не получим ответа на вопрос о том, случается ли то, что нас ожидает, на всех обитаемых планетах, или же бывают планеты, на которых этого не происходит.

На этом Мэй доел последние крошки своего шоколадного торта и снова погрузился в хаос парламентских комиссий и мелкой политической борьбы Вестминстера.

Последнее высказывание Мэя отсылает к проблеме, которую теория хаоса видит в знании не только будущего, но и прошлого. В том, что касается будущего, мы, по крайней мере, можем подождать и увидеть, каковы будут результаты действия хаотических уравнений. Но попытки вернуться в прошлое и понять, каким было состояние нашей планеты, породившее наше настоящее, столь же, если не более, трудны.

Возможно, для прошлого истинное познание невозможно еще в большей степени, чем для будущего.

Жизнь – случайный бросок кости?

Новаторские исследования Мэя рассматривали динамику численности популяции по мере смены циклов. Но что определяет, какие животные выживут, а какие умрут, не успев размножиться? Если верить Дарвину, все сводится просто к удачному броску эволюционных костей.

Модель эволюции жизни на Земле основана на той идее, что если существуют организмы, имеющие ДНК, то их потомство наследует ДНК родительских организмов. При этом некоторые части генетического кода ДНК могут быть подвержены случайным мутациям. Последние, по сути дела, и есть результат случайного броска эволюционных костей. Но в гипотезе Дарвина также содержится вторая важная идея – идея естественного отбора.

Некоторые из этих случайных изменений дают потомству большие шансы на выживание, в то время как другие являются помехой. Суть эволюции путем естественного отбора состоит в том, что особи с выгодными изменениями с большей вероятностью доживают до воспроизводства.

Допустим, например, что вначале у нас есть популяция короткошеих жирафов. Среда обитания наших жирафов изменяется таким образом, что большее количество пищи можно найти на деревьях, так что любой жираф, родившийся с более длинной шеей, имеет больше шансов выжить. Предположим, я брошу свою кость из Лас-Вегаса, чтобы определить шансы на мутацию для каждого из жирафов следующего поколения, родившегося после такого изменения среды. Если выпадет 1, 2, 3, 4 или 5, жираф получает шею той же или меньшей длины, а шестерка соответствует случайной мутации, которая вызывает удлинение шеи. Удачливые длинношеие жирафы получают пищу, а короткошеие жирафы не доживают до воспроизводства. Таким образом, только длинношеие жирафы получают возможность передать свою ДНК следующим поколениям.

В следующем поколении происходит то же самое. Если на кости выпадает 1, 2, 3, 4 или 5, то рост жирафа не превышает роста его родителей. Зато снова выпавшая шестерка позволяет ему подрасти еще немного. Более высокие жирафы опять выживают. Окружающая среда оказывается более благоприятна для жирафов, выкинувших шестерку. В конце концов каждое следующее поколение оказывается чуть выше предыдущего до тех пор, пока дальнейший рост не перестает быть преимуществом.

То, что мы видим больше жирафов, предкам которых выпала шестерка, есть следствие именно такого сочетания случая и естественного отбора. Задним числом кажется, что выпадение такого количества шестерок подряд – редкая удача. Но дело в том, что других результатов броска кости мы просто не видим – такие жирафы не выжили. То, что выглядит как нечестная игра, на самом деле является результатом совместного действия случая и естественного отбора. Никакого замысла или жульничества тут нет. Серия из нескольких последовательных шестерок – это не полоса везения, а, собственно говоря, единственный возможный в этой модели результат.

Модель эта прекрасна в своей простоте, но с учетом сложности изменений окружающей среды и диапазона возможных мутаций такая простая модель может давать чрезвычайно сложные результаты, свидетельства чему можно видеть в том разнообразии видов, которое существует на Земле. Одна из причин, по которым я всерьез влюбился в биологию, состояла в том, что казалось невозможным объяснить, почему из этой эволюционной модели получились кошки и зебры, но не получились какие-нибудь другие странные животные. Выбор казался таким произвольным, таким случайным. Разве так честно?

В эволюционной биологии идет интересная дискуссия о том, насколько случайны те результаты эволюции, которые мы сейчас наблюдаем. Если отмотать историю жизни на Земле назад до некоторого момента и еще раз бросить кость, появятся животные, очень сходные с существующими или совершенно другие? Мэй поднял этот вопрос в конце нашего с ним обеда.

Действительно, некоторые части эволюционного процесса представляются неизбежными. Например, интересно отметить, что на протяжении эволюционной истории развитие глаза независимо повторилось от 50 до 100 раз. Таким образом, есть веские основания считать, что животные с глазами появлялись в результате разных бросков костей для разных биологических видов, независимо от того, что происходило вокруг них. Существует множество других примеров, показывающих, что некоторые черты, если они были выгодны, снова и снова всплывали на поверхность эволюционной трясины. Такие примеры можно видеть каждый раз, когда одна и та же черта возникает в нескольких разных частях животного мира. Например, эхолокация используется дельфинами и летучими мышами, но эта способность развилась у них независимо и в совершенно разных точках эволюционного дерева.

Однако неясно, насколько наша модель гарантирует такие результаты. Если на других планетах есть жизнь, похожа ли она хоть сколько-нибудь на те формы, которые развились на Земле? В этом состоит один из главных безответных вопросов эволюционной биологии. Как бы ни было трудно дать на него ответ, мне не кажется, что его следует относить к разряду непознаваемого. Возможно, мы никогда не получим на него ответа, но нет оснований считать, что ответ на него невозможен в принципе.

Откуда мы произошли?

В эволюционной биологии есть и другие важные нерешенные вопросы, которые могут претендовать на непознаваемость. Например, почему 542 миллиона лет назад, в начале кембрийского периода, на Земле произошло взрывное увеличение биологического разнообразия? До этого момента жизнь сводилась к одиночным клеткам, собиравшимся в колонии. Но в течение следующих 25 миллионов лет, сравнительно короткого по меркам эволюции периода, произошла быстрая диверсификация многоклеточной жизни, результатом которой было разнообразие, сходное с наблюдаемым ныне. У нас по-прежнему нет объяснений такой исключительно высокой скорости эволюции. Отчасти это связано с недостатком данных этого периода. Сможем ли мы когда-нибудь получить такие данные, или же эта тайна так и останется нераскрытой?

Как правило, теория хаоса ограничивает то, что мы можем узнать о будущем. Но она может накладывать ограничения и на то, что мы можем знать о прошлом. Мы видим результаты, но, чтобы вывести из них причины, нужно было бы решить уравнения в обратную сторону. В отсутствие полных данных один и тот же принцип действует как в прямом, так и в обратном направлении. Мы можем обнаружить две существенно различающиеся начальные точки, способные привести к очень сходным результатам. Но мы не сможем узнать, из которой из таких отправных точек мы произошли.

Одна из величайших загадок эволюционной биологии касается самого начала развития жизни. Возможно, игра жизни благоприятствует выпадению шестерок на игральных костях эволюции, но как появилась сама эта игра? Была оценена вероятность случайного образования условий, необходимых для возникновения самовоспроизводящихся клеток. В некоторых моделях получается, что возникновение жизни эквивалентно 36 броскам игральной кости, в каждом из которых выпадает 6. Некоторые видят в этом доказательство необходимости существования создателя, подтасовавшего результаты игры. Однако они не сознают, о каком гигантском временном масштабе тут идет речь.

Чудеса бывают… если ждать их достаточно долго. На самом деле было бы удивительнее, если бы такие странные аномалии не случались. Дело в том, что аномалии часто бывают более видны. Их замечают, а на менее необычные результаты зачастую никто не обращает внимания.

Появление чудес в случайном процессе удобно рассмотреть на примере лотереи. 6 сентября 2009 г. в болгарской государственной лотерее выиграли следующие номера:

4, 15, 23, 24, 35, 42.

Четыре дня спустя выпали те же шесть номеров. Казалось бы, невероятное событие. Болгарское правительство тоже так решило и немедленно назначило расследование возможной коррупции. Однако правительство не учло того, что по всей планете каждую неделю проводится множество разных лотерей. Их проводят многие десятилетия. Если посчитать, получится, что удивляться скорее следует отсутствию таких поразительных на первый взгляд результатов.

Тот же принцип действует и в отношении условий возникновения самовоспроизводящихся молекул в первичном бульоне, из которого состояла Земля до появления жизни. Стоит смешать достаточно большое количество водорода, воды, углекислого газа и некоторых других органических газов и подвергнуть их воздействию молний и электромагнитного излучения – и даже в лабораторном опыте можно наблюдать возникновение органических материалов, встречающихся только в живых существах. Никому не удалось добиться самопроизвольного возникновения в лабораторных условиях чего-либо столь необыкновенного, как ДНК. Вероятность такого явления крайне мала.

Но в том-то и дело, потому что с учетом существования во Вселенной миллиарда миллиардов – или около того – планет, пригодных для проведения такого эксперимента, и наличия приблизительно миллиарда лет на его проведение было бы более удивительно, если бы такая предельно малая вероятность возникновения чего-то подобного ДНК не осуществилась. Бросая 36 игральных костей в течение миллиарда лет на миллиарде миллиардов разных планет, наверняка можно получить один бросок, в котором на всех 36 костях выпадут шестерки. А уж дальше полученная самовоспроизводящаяся молекула будет способна размножаться самостоятельно, так что для запуска эволюции необходима всего одна счастливая случайность.

Проблема человека в отношении оценки вероятности чудес – таких как возникновение жизни – состоит в том, что наш разум плохо приспособлен для обращения с очень большими числами. Поэтому наши интуитивные представления о вероятности хромают.

Фрактальное дерево жизни

Однако в эволюции действует не только математика вероятностей. Дерево эволюции само по себе обладает одним интересным качеством, делающим его сходным с формами, возникающими в теории хаоса; это качество называется фрактальностью.

Дерево эволюции дает картину развития жизни на Земле. Продвижение по нему соответствует продвижению во времени. Каждое ответвление дерева означает развитие нового вида. Если ветвь заканчивается, это означает вымирание данного вида. Природа дерева такова, что его общая форма, как кажется, повторяется все в меньшем и меньшем масштабе. В этом и состоит характерная черта объектов, которые математики называют фракталами. В увеличенном виде любая малая часть дерева выглядит поразительно похожей на более крупные его структуры. Такое самоподобие означает, что понять, на каком масштабе мы рассматриваем дерево, очень трудно. Такова классическая особенность фрактала.

Фрактальное дерево эволюции

Фракталы обычно бывают геометрической визитной карточкой хаотических систем, так что наличие такой структуры говорит о том, что в эволюции работает динамика хаоса: малые изменения генетического кода могут порождать огромные расхождения результатов эволюции. Такая модель не обязательно противоречит идее конвергенции, поскольку даже в хаотической системе остаются точки, к которым стремится развитие модели. Такие точки называются аттракторами. Но она несомненно ставит под вопрос возможность воспроизведения того, что мы имеем сейчас на Земле, в случае повторного проведения эволюции. Биолог-эволюционист Стивен Джей Гулд утверждает, что, если заново проиграть ленту эволюции, результаты ее будут сильно отличаться от существующих. Этого обычно и ожидаешь от хаотической системы. Как и в случае погоды, чрезвычайно малые изменения начальных условий могут привести к разительно отличающемуся исходу.

Кроме того, Гулд ввел в оборот идею прерывистого равновесия, которая отражает тот факт, что биологические виды, судя по всему, остаются неизменными в течение долгих периодов, после чего с ними происходят кажущиеся чрезвычайно быстрыми эволюционные изменения. Было показано, что эта черта также характерна для хаотических систем. Наличие влияния хаоса на эволюцию выражается в том, что многие вопросы эволюционной биологии вполне могут оказаться среди того, чего мы не можем познать, из-за их связи с математикой хаоса.

Например, узнаем ли мы когда-нибудь, было ли развитие человека неизбежным в действующей модели эволюции? Анализ ДНК различных животных дает нам исключительно обширную информацию о том, как животные развивались в прошлом. Палеонтологическая летопись, несмотря на существующие в ней пробелы, также позволяет нам узнать о нашем происхождении. Но с учетом того временного масштаба, на котором происходит эволюция, мы не можем поставить эксперимент и заново прокрутить пленку развития жизни на Земле, чтобы посмотреть, не получится ли чего-нибудь другого. Когда мы найдем жизнь на других планетах (и если мы ее найдем), то получим новые наборы образцов для анализа. Но и до тех пор не все потеряно. Подобно тому как метеорологическая служба может составлять свои прогнозы, не имея возможности управлять реальной погодой, компьютерные модели могут проиллюстрировать различные возможные результаты работы эволюционного механизма, ускоряя время. Однако никакая модель не может быть лучше, чем гипотеза, положенная в ее основу. Если сама модель построена неправильно, она ничего не скажет нам о том, что на самом деле происходит в природе.

Именно на таких компьютерных моделях основываются попытки ответить на вопрос, над которым бился Пуанкаре, когда он открыл хаос: будет ли вообще существовать стабильная Земля, обращающаяся вокруг Солнца, на которой эволюция сможет продолжить свои азартные игры? Является ли наша Солнечная система устойчивой и периодичной, или же нам нужно бояться, что какой-нибудь кузнечик однажды разрушит нашу орбиту вращения вокруг Солнца?

Бабочка по имени Меркурий

Пуанкаре не смог ответить на вопрос о Солнечной системе, заданный королем Швеции, и выяснить, останется ли она в устойчивом равновесном состоянии или может разлететься в стороны в катастрофическом проявлении хаотического движения. Из его открытия, согласно которому некоторые динамические системы могут быть чувствительны к малым изменениям данных, следовало, что мы, судя по всему, не сможем точно узнать, какая судьба ожидает Солнечную систему, задолго до наступления каких-либо потенциально катастрофических событий.

Вполне возможно, что Солнечная система находится в безопасной, предсказуемой динамической области, подобной динамике численности популяции с низким коэффициентом воспроизводства. К сожалению, имеются данные, согласно которым мы не можем полагаться на эту утешительную математическую надежду. Новые компьютерные модели позволили получить новую информацию, в соответствии с которой Солнечная система все-таки находится в области, в которой господствует математика хаоса.

Измерить масштабы влияния малых изменений на результат можно, используя так называемый показатель Ляпунова. Например, в случае игры в бильярд на столах необычной формы с их помощью можно определить, насколько катастрофичным будет влияние малых изменений на развитие траектории шара. Если система имеет положительный показатель Ляпунова, это означает, что малое изменение начальных условий порождает экспоненциальное расхождение траекторий. Этот показатель можно использовать в качестве определения хаоса.

Используя этот критерий, несколько групп ученых смогли подтвердить, что наша Солнечная система действительно хаотична. Они рассчитали, что расстояние между двумя изначально близкими орбитальными решениями возрастает в 10 раз каждые 10 миллионов лет. Этот временной масштаб, конечно, отличается от того, на котором мы не в состоянии предсказать погоду. Тем не менее это означает, что мы не можем получить определенных знаний о том, что случится с Солнечной системой за следующие 5 миллиардов лет.

Если вы теперь в отчаянии недоумеваете, можем ли мы знать хоть что-нибудь о будущем, вас, возможно, утешит то обстоятельство, что математика не вполне безнадежна в том, что касается предсказаний. Есть одно событие, наступление которого через 5 миллиардов лет уравнения могут гарантировать, но событие это не радостное. Математические расчеты утверждают, что к этому моменту Солнце исчерпает запасы топлива и превратится в красного гиганта, поглотив в процессе Землю и другие планеты Солнечной системы. Но до тех пор, пока взрыв Солнца не поглотит Солнечную систему, мы обречены на попытки решить хаотические уравнения, чтобы узнать, какие планеты к моменту возникновения этого красного гиганта все еще останутся на своем месте.

А значит, если мы хотим узнать, что произойдет, то, как и в случае прогнозов погоды, мы вынуждены обсчитывать модели, варьируя точные значения положений и скоростей планет. Иногда такие прогнозы бывают довольно пугающими. В 2009 г. французские астрономы Жак Ласкар и Микаэль Гастино обработали несколько тысяч моделей будущего развития Солнечной системы. Их эксперименты выявили потенциальную бабочку: ею оказался Меркурий.

Моделирование развития начинают с ввода имеющихся у нас данных о положениях и скоростях планет до настоящего времени. Но определить эти данные со стопроцентной точностью трудно. Поэтому каждый раз, когда они запускали модель, они вносили в данные небольшие изменения. Вследствие влияния теории хаоса даже малые изменения могут породить существенные расхождения результатов.

Например, размеры эллиптической орбиты Меркурия известны астрономам с точностью до нескольких метров. Ласкар и Гастино обсчитали 2501 модель, изменяя эти размеры в диапазоне величиной менее сантиметра. Даже такие малые возмущения привели к потрясающим различиям в будущей судьбе Солнечной системы.

Можно было бы ожидать, что, если уж Солнечная система и будет разорвана на части, виновником этого окажется одна из больших планет, скажем Юпитер или Сатурн. Однако орбиты газовых гигантов чрезвычайно стабильны. Неприятностей следует ожидать от скалистых планет земного типа. В 1 % проведенных ими имитационных экспериментов наибольшая опасность была связана именно с маленьким Меркурием. Модели показывают, что орбита Меркурия может начать расширяться в результате некоего резонанса с Юпитером, причем существует возможность столкновения Меркурия с его ближайшим соседом, Венерой. В одной из имитаций чуть было не случившегося столкновения оказалось достаточно, чтобы вывести Венеру из равновесия, в результате чего Венера столкнулась с Землей. Даже прохождение вблизи других планет может привести к возникновению таких приливных сил, воздействие которых будет катастрофично для жизни на нашей планете.

Речь тут не идет о простом случае абстрактных математических рассуждений. Свидетельства таких столкновений наблюдались на планетах, обращающихся вокруг двойной звезды Ипсилон Андромеды. Странность их нынешних орбит можно объяснить только выбросом какой-то невезучей планеты, произошедшим когда-то в прошлом этой звезды. Но не спешите убегать и прятаться: согласно этим моделям, момент, в который Меркурий может начать свои шалости, наступит еще через несколько миллиардов лет.

Бесконечная сложность

Каковы же наши шансы предсказать результаты броска кости, лежащей передо мной? Лаплас сказал бы, что если мне известны размеры кубика, распределение его атомов, скорость, с которой он брошен, и его взаимодействие с окружающей средой, то вычисление точки его остановки теоретически возможно.

Открытия Пуанкаре и тех, кто пришел после него, обнаружили, что различия в нескольких знаках после запятой могут определить, упадет ли кость шестеркой или двойкой. Хотя возможных исходов броска игральной кости существует всего шесть, начальные данные могут варьироваться в потенциально непрерывном диапазоне значений. Тогда, очевидно, должны существовать точки, в которых чрезвычайно малое изменение переключает результат броска с шестерки на двойку. Но какова природа таких переходов?

Компьютерные модели могут производить прекрасные визуальные представления, позволяющие составить понятие о чувствительности различных систем к начальным условиям. Рядом с игральной костью из Лас-Вегаса у меня стоит классическая настольная игрушка, в которую я могу играть часами. Она состоит из металлического маятника, который притягивают три магнита, выкрашенные в белый, черный и серый цвет. Анализ динамики этой игрушки дает картинку, которая отражает конечное положение маятника при движении из всех точек квадратного основания игрушки. Покрасим точку белым, если маятник, запущенный из этой точки, в конце концов оказывается притянут к белому магниту. Точно так же покрасим серым или черным точки, из которых маятник попадает на серый или черный магнит. Получится вот такая картинка:

Как и в случае популяционной динамики, тут есть совершенно предсказуемые области. Если движение маятника начинается вблизи одного из магнитов, к этому магниту маятник и притягивается. Но по мере приближения к краям картинки мы оказываемся на гораздо менее предсказуемой почве. И действительно, такая картинка дает нам пример фрактала.

На ней есть участки, на которых не существует простого перехода от черного к белому. Если увеличивать изображение, картинка никогда не станет областью, заполненной одним цветом. Сложность рисунка сохраняется на всех масштабах.

Одномерный пример такой картинки можно соорудить следующим образом. Начертим отрезок единичной длины и для начала закрасим одну его половину черным, а другую – белым. Затем возьмем половинный участок между точками 0,25 и 0,75 и перевернем его. Теперь возьмем половину перевернутого участка, расположенную в его середине, и перевернем ее еще раз. Если повторять эту операцию до бесконечности, предсказанное поведение вокруг точки 0,5 становится чрезвычайно чувствительно к малым изменениям. Не существует такого участка, содержащего точку 0,5, который был бы закрашен одним цветом.

Существует более замысловатый вариант этой картинки. Возьмем снова отрезок единичной длины. Сотрем центральную треть отрезка. У нас остались два черных отрезка, разделенные белым промежутком. Сотрем теперь центральную треть каждого из черных отрезков. Получаем черный отрезок длиной 1/9, белый отрезок длиной 1/9, черный отрезок длиной 1/9, затем белый отрезок длиной 1/3, который был стерт на первом шаге, а потом опять: белый – черный – белый.

Вы, наверное, уже догадались, что нужно сделать дальше. На каждом шаге мы стираем центральную треть всех черных отрезков. И так до бесконечности. Полученная картинка называется канторовым множеством по имени немецкого математика Георга Кантора, с которым мы еще встретимся на последнем «рубеже», когда будем рассматривать то, что мы знаем о бесконечности. Предположим, что такое канторово множество определяет конечное положение маятника в моей настольной игрушке. Перемещая маятник вдоль этой линии, я выясняю, что на некоторых участках такая картинка предсказывает чрезвычайно сложное поведение.

Довольно странный расчет показывает, что суммарная длина стертой линии равна 1. Но внутри отрезка по-прежнему остаются черные точки: точка с координатой 1/4 не будет стерта никогда, так же как и точка 3/10. Однако такие черные точки не изолированы. На любом участке, окружающем черную точку, всегда находится бесконечно много черных и белых точек.

Как выглядит динамика игральной кости? Фрактальна ли она и, следовательно, непознаваема? Сначала я предположил, что поведение кости должно быть хаотичным. Однако недавние исследования обнаружили нечто неожиданное.

Знай свою кость

Недавно группа польских исследователей проанализировала бросок игральной кости с математической точки зрения и, используя высокоскоростную киносъемку, выяснила, что наша кость может быть не столь хаотичной и непредсказуемой, как мы опасались. В эту исследовательскую группу, работающую в Лодзи, входят отец с сыном Томаш и Марцин Капитаняки, а также Ярослав Стржалко и Юлиуш Грабский. В своей статье, опубликованной в журнале Chaos в 2012 г., группа приводит картинки, сходные с полученной для магнитного маятника, но с более сложными начальными положениями, которые учитывают угол, под которым был брошен кубик, а также его скорость. Поведение кости можно считать предсказуемым, если в большинстве точек получившейся картинки кость падает той же стороной при малом изменении начальных условий. Такую картинку, например, можно раскрасить в шесть цветов, соответствующих шести граням кубика. Картинку можно считать фрактальной, если при любом увеличении масштаба по-прежнему можно видеть области, содержащие по меньшей мере два цвета. Если таких признаков фрактальности не видно, то поведение кости предсказуемо.

Модель, которую использовала польская группа, предполагала, что кость идеально уравновешена – так же, как та кость, которую я привез из Лас-Вегаса. Оказалось, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, так как оно крайне мало влияет на полет кубика. Когда кость ударяется об стол, некоторая часть ее энергии рассеивается и после достаточного числа соударений кость теряет всю свою кинетическую энергию и останавливается.

Трение кубика об стол также играет важную роль, поскольку в первых нескольких соударениях кость с высокой вероятностью скользит по столу, а при последующих отскоках скольжение прекращается. Однако в модели, которую изучала польская группа, поверхность стола считалась лишенной трения, так как наличие трения делает динамику слишком сложной для расчетов. Таким образом, можно представить себе игральную кость, которую бросают на лед.

Я уже выписал уравнения движения кости во время ее полета в воздухе, основанные на законах движения Ньютона. В представлении польской группы они оказались не слишком сложными. А вот уравнения изменения динамики после соударения со столом выглядят довольно пугающе: они занимают в ее статье целых десять строк.

Исследователи выяснили, что, если количество энергии, рассеиваемой при соударении со столом, достаточно велико, распределение исходов бросков кости не обладает фрактальными свойствами. Это означает, что при достаточно высокой точности установления начальных условий результаты броска игральной кости предсказуемы и воспроизводимы. Можно предсказать, например, что зачастую кость будет останавливаться на той грани, которая была нижней в момент броска. То есть поведение игральной кости, геометрически правильной в статическом состоянии, может оказаться отличным от чисто случайного, если учесть ее динамику.

Однако при увеличении жесткости стола, которое приводит к уменьшению рассеяния энергии и, следовательно, к росту числа отскоков кубика, можно увидеть появление фрактальных свойств.

На этих картинках рассматриваются изменения двух параметров: высоты, с которой бросают кость, и вариаций угловой скорости вращения вокруг одной из осей. Чем меньше энергии рассеивается при соударении со столом, тем более хаотичным получается поведение кости и тем больше кажется, что судьбу моей игральной кости все-таки определяет воля богов.

По мере продвижения от (a) к (d) рассеяние энергии на столе уменьшается, что приводит к усилению фрактальных свойств результатов броска игральной кости

Играет ли Бог в кости?

Вернемся к задаче определения Бога как всего того, что мы не можем познать. Теория хаоса утверждает, что узнать будущее некоторых систем уравнений невозможно, так как они слишком чувствительны к малым неточностям. В прошлом боги не были сверхъестественным разумом, существующим вне системы; они были реками, ветром, огнем, лавой – то есть тем, что нельзя было предсказать или покорить. Тем, в чем существует хаос. Математика XX в. показала, что эти древние боги по-прежнему с нами. Существуют природные явления, которые никогда не будут укрощены и познаны. Теория хаоса предполагает, что наше будущее во многих случаях непознаваемо из-за его зависимости от мельчайших подробностей положения вещей в настоящем. Поскольку мы не можем получить полного знания настоящего, теория хаоса не позволяет нам познать будущее. По меньшей мере до тех пор, пока это будущее не станет настоящим.

Это не значит, что все аспекты будущего непознаваемы. Очень часто мы оказываемся в нехаотических областях, в которых малые флуктуации не оказывают большого влияния на результат. Именно поэтому математика смогла стать таким могущественным средством предсказания и планирования. В таких случаях мы знаем будущее. Но в других ситуациях получить такое знание мы не можем, хотя это неизвестное будущее в какой-то момент несомненно повлияет на нашу жизнь.

Интересно отметить, что некоторые богословы, разбирающиеся в науке и пытающиеся сформулировать научные объяснения возможности деятельности сверхъестественного разума в нашем мире, пытались представить тот пробел, который создает хаос, местом существования такого разума, влияющего на будущее.

Один из таких религиозных исследователей – это занимающийся квантовой физикой теоретик Джон Полкинхорн. Этот ученый, работающий в Кембридже, являет собой редкий пример разума, сочетающего строгость естественнонаучного образования с несколькими годами обучения на христианского священника. Мы еще встретимся с Полкинхорном на третьем «рубеже», когда будем рассматривать непознаваемость, присущую области его работы – квантовой физике. Но его также интересует тот создаваемый математикой хаоса пробел в знании, который дает его Богу возможность влиять на будущее человечества.

Полкинхорн предположил, что именно при помощи неопределенностей, заложенных в теории хаоса, сверхъестественный разум может действовать, не нарушая законов физики. Теория хаоса утверждает, что мы никогда не сможем знать начальные условия с точностью, достаточной для использования детерминистических уравнений, что позволяет существовать представлению Полкинхорна о божественном вмешательстве, которое подстраивает явления так, чтобы они оставались в соответствии с нашими частичными знаниями, но в то же время оказывает влияние на их результаты.

Полкинхорн неизменно подчеркивает, что применение таких предельно малых данных для осуществления каких-либо изменений требует абсолютно всеобъемлющего вмешательства свыше. Речь должна идти не о «Боге в деталях», а о Боге всеведущем. Поскольку теория хаоса утверждает, что даже положение одного электрона на другом конце Вселенной может оказать влияние на всю систему, то, чтобы управлять происходящим, необходимо располагать полным, всеобъемлющим знанием всей этой системы – то есть всей Вселенной. Нельзя выделить часть Вселенной и пытаться делать предсказания на основе этой части. Поэтому использование такой трещины в том, что нам неизвестно, требует знания всего целого.

Теория хаоса детерминистична, так что это не попытка использовать случайность, присущую, например, квантовой физике, в качестве средства влияния на результаты. По мнению Полкинхорна, способ решения задачи квадратуры круга детерминизма и оказания влияния на систему состоит в использовании зазора между эпистемологией и онтологией, между тем, что мы знаем, и тем, что соответствует истине. Раз мы не можем получить полное описание состояния Вселенной на данный момент, то, с нашей точки зрения, детерминированности нет. Есть множество разных сценариев, совпадающих с нашим объективным описанием того, что мы сейчас знаем об устройстве Вселенной. Полкинхорн считает, что это дает Богу возможность вмешиваться в любой точке времени, перекидывая систему из любого сценария в любой другой, причем мы остаемся в неведении относительно таких перемещений. Но, как мы уже видели, теория хаоса утверждает, что такие малые перемещения могут приводить к огромным изменениям результатов. При этом Полкинхорн старательно подчеркивает, что переходы между системами допустимы, если речь идет только об изменениях информации, а не энергии. Правила запрещают нарушать законы физики. Как говорит сам Полкинхорн: «Ни смена времен года, ни чередование дня и ночи отброшены не будут».

Даже если вы находите такую идею чересчур замысловатой (как нахожу ее я), сходный принцип, возможно, лежит в основе нашего ощущения воздействия мира. Вопрос свободы воли тесно связан с вопросами философии редукционизма. Свобода воли в большинстве случаев описывает невозможность какого-либо значимого сведения к атомистической картине мира. Поэтому создание системы, в которой мы обладаем свободой воли, кажется логичным, так как на уровне взаимодействия человека со Вселенной она представляется именно свободной. Если бы устройство мира было столь очевидно детерминистическим, допускающим лишь малые вариации при неощутимых изменениях, мы не считали бы, что обладаем свободой воли.

Замечательно, что тот самый Ньютон, который внушил нам веру в детерминистическую Вселенную с часовым механизмом, также полагал, что в его уравнениях найдется место для божественного вмешательства. Он писал о своей вере в то, что время от времени, когда развитие событий кажется отклоняющимся от верного курса, Бог бывает вынужден заново запускать Вселенную. Это вовлекло его в яростный спор с немецким соперником, математиком Готфридом Лейбницем, который не понимал, почему бы Бог не мог с самого начала устроить все наиболее совершенным образом:

Сэр Исаак Ньютон и его последователи придерживаются также весьма странного мнения о роли Бога. Согласно их доктрине, Господь Всемогущий должен время от времени заводить свои часы – иначе они перестанут ходить. По-видимому, его предусмотрительности не хватило на то, чтобы сделать их движение вечным.

На грани хаоса

Ньютон и его математика дали мне ощущение того, что я могу познать будущее, не ожидая, пока оно станет настоящим. То, сколько раз я слышал цитату из Лапласа о возможности познания всего благодаря уравнениям движения, свидетельствует о широко распространенной среди ученых уверенности в теоретической возможности познания Вселенной.

Математика XX в. обнаружила, что теория не всегда может быть реализована на практике. Даже если и справедливо утверждение Лапласа о том, что полное знание современного состояния Вселенной в сочетании с математическими уравнениями может привести к полному познанию будущего, мы никогда не сможем получить такого полного знания. Шокирующее открытие теории хаоса XX в. состоит в том, что даже приближение к такому знанию нам не поможет. Расходящиеся траектории хаотического бильярда означают, что, поскольку мы не можем узнать, на какой из траекторий находимся, наше будущее так и останется непредсказуемым.

Теория хаоса утверждает, что существуют вещи, которые мы никогда не сможем познать. Та самая математика, от которой я так надеялся получить полное знание, привела к прямо противоположному результату. Но положение не вполне безнадежно. Во многих случаях уравнения нечувствительны к малым изменениям и, следовательно, позволяют предсказывать будущее. В конце концов, именно так нам удалось посадить космический аппарат на пролетающую мимо комету. И не только: как показывает работа Боба Мэя, математика даже может помочь нам узнать, чего именно мы не можем узнать.

Но одно открытие, сделанное в конце XX в., поставило под вопрос даже и основополагающее положение Лапласа о теоретической предсказуемости будущего. В начале 1990-х гг. аспирант по имени Ся Чжихун доказал, что пять планет можно расположить таким образом, что, когда они будут отпущены, гравитационное притяжение вынудит одну из планет вылететь из системы и достичь бесконечной скорости за конечное время. Хотя никакого столкновения планет не происходит, уравнения неизбежно предсказывают результаты, катастрофические для обитателей такой несчастливой планеты. Того, что происходит после этого момента, уравнения предсказать не могут.

Открытие Ся оспаривает мнение Лапласа о том, что уравнения Ньютона предполагают возможность познания будущего при наличии полного знания настоящего, на самом фундаментальном уровне, потому что даже уравнения Ньютона не могут предсказать, что случится с этой несчастной планетой после того, как она достигнет бесконечной скорости. Теория достигает в этом месте сингулярности, и никакие дальнейшие предсказания не имеют смысла. Как мы увидим на следующих «рубежах», соображения теории относительности ограничивают физическое осуществление такой сингулярности, так как несчастная планета в конце концов достигнет скорости света в вакууме, на которой, как было показано, теория Ньютона является лишь приближенным представлением реальности. И тем не менее этот пример показывает, что для познания будущего одних уравнений недостаточно.

Интересно послушать, что говорил Лаплас на смертном одре. Видя, как его собственная сингулярность приближается к нему, оставляя ему лишь ограниченное время, он тоже признал: «То, что мы знаем, невелико, а то, чего мы не знаем, огромно». ХХ век показал, что даже если мы узнаем многое, размеры того, чего мы не знаем, останутся огромными.

Оказывается, однако, что непознаваемо не только внешнее поведение планет и игральных костей. Более глубокое внутреннее исследование моей кости из казино порождает новые сомнения в существовании детерминистической Вселенной с часовым механизмом, в которую верил Лаплас. Когда ученые заглянули внутрь игральной кости, чтобы понять, из чего она состоит, они обнаружили, что знание положений и перемещений частиц, составляющих такую кость, невозможно даже теоретически. Как мы увидим на двух следующих «рубежах», даже поведение самих частиц, образующих мою красную игральную кость из Лас-Вегаса, может управляться игрой случая.

Назад: 1

Дальше: Рубеж второй: Виолончель