Что больше – десять в пятой степени или пять в десятой?

1. 10⁵ > 5¹⁰.

2. 5¹⁰ > 10⁵.

3. Возможно, они равны?

Сколько будет 10⁵, мы, конечно же, знаем – это единица с пятью нулями, 100 000. А 5¹⁰? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 10¹⁰/2¹⁰, а поскольку 2¹⁰, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10³, получаем 5¹⁰ ≈ 10¹⁰/10³ = 10⁷ = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m > n, всегда ли, как в этом случае, n^m больше, чем mⁿ? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2³ (8) меньше, чем 3² (9), а когда m = 4, то 2⁴ и 4² и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2^m > m².