Все видели знак бесконечности: цифра восемь, лежащая на боку (∞). Но что такое бесконечность и как она связана с математикой?

Иногда бесконечность понимается как невероятно большое число, но такое понятие не совсем точное. Бесконечность – на самом деле не число, это идея. Это концепция непрерывности и безграничности. Тем не менее она появляется в математике снова и снова. Мы говорим, что последовательность чисел в Пи продолжается бесконечно; то же происходит, когда 1 делят на 3. В геометрии мы говорим, что на линии существует бесконечное множество точек и что линии тянутся в обоих направлениях бесконечно. Бесконечность является и родным, и чужим понятием в математическом мире.

Бесконечность также появляется в искусстве. М. К. Эшер изобразил муравьев, ползущих по ленте Мебиуса в, казалось бы, бесконечном путешествии, а в рассказе «Вавилонская библиотека» писатель Хорхе Луис Борхес создал бесконечное хранилище книг, содержащее каждый возможный набор букв и знаков препинания, коллекцию, которая обязательно содержит каждую когда-либо написанную книгу и которая будет написана в будущем.

Понятие бесконечности привело также к весьма странным идеям. В конце XIX века и в начале XX века математик Георг Кантор считал, что бесконечности могут иметь разные размеры. И натуральные числа (1, 2, 3, 4…), и действительные числа (которые включают такие числа, как Пи, 1/3 и 45,6778765) бесконечны, но бесконечность действительных чисел больше, чем натуральных. Размышления о бесконечности приводят и к другим неожиданным понятиям. Вы можете подумать, что количество точек в линии длиной в 1 фут меньше, чем на линии бесконечной длины, но на самом деле обе линии содержат одинаково бесконечное количество точек.

Бесконечность поражает, но, как и многое, связанное с математикой, взрывает мозг самыми загадочными и обескураживающими путями.

Не все математики принимают понятие бесконечности. Одна ветвь философии математики известна как финитизм; ее приверженцы утверждают, что только конечные объекты реальны. Как выразился математик Леопольд Кронекер: «Бог создал натуральные числа. Все остальное – дело рук человека».