Вы или ярый сторонник карт Google, или приверженец традиционных бумажных карт, но карты окружают нас повсюду. Они полезны и, несмотря на иногда возникающие трудности со складыванием, очень удобны. Зачастую они еще и очень красивые. (Посмотрите на карты из Средневековья, чтобы получить представление о художественности, которая вкладывалась в создание карт.) Карты также являются источником для одной из самых известных идей в математике: проблемы четырех красок.

Фрэнсис Гатри, английский студент, изучающий математику, впервые предложил проблему в 1852 году, когда пытался раскрасить карту округов Англии. Понимая, что ему необходимо всего четыре цвета, он задался вопросом, а нельзя ли применить это правило ко всем картам, даже к тем, которые еще не были созданы. Точнее говоря, Гатри интересовало, можно ли раскрасить карту, используя не больше четырех цветов, так, чтобы у двух граничащих территорий – округов, штатов, стран, чего угодно – не совпадали цвета. (Такие две территории должны иметь четкую границу. Если территории граничат углами, как штаты Юта и Нью-Мексико, то они не в счет.) Доказательство было наконец предоставлено в 1976 году, спустя 124 года после того, как Гатри задал этот вопрос, Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном, математиками из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне. И хоть это было значительное достижение, доказательство вызвало неоднозначную реакцию в математическом сообществе, так как оно использовало компьютер.

Немецкий математик Герберт Греч нашел доказательство, которое является продолжением проблемы четырех цветов: в плоском графе, если в нем нет треугольников (по существу, нет пунктов с тремя вершинами), теорема Греча утверждает, что вам нужно всего три цвета для достижения такого же результата.