Сколько песчинок во Вселенной? Архимед, величайший из древнегреческих математиков, решил в порядке борьбы с господствовавшим тогда представлением о том, что ответом на этот вопрос является бесконечность, найти способ выражения очень больших чисел. В его книге «Исчисление песчинок» предполагалось, что Вселенная имеет размеры, которые приписывали ей греческие философы, и что она целиком заполнена песком. Архимед рассчитал, что в этом случае в ней содержалось бы (в нашем десятичном представлении) не более 1 000… 000 песчинок (число с 63 нулями).

Это много, но не бесконечное количество. Существуют ли числа еще больше?

Математикам известно, что наибольшего (целого) числа не существует. Числа могут быть сколь угодно большими. Причина проста: если бы наибольшее число существовало, его можно было бы сделать еще больше, прибавив 1. Большинство детей, освоивших десятичную запись, быстро понимают, что любое число можно сделать больше (мало того, вдесятеро больше), просто приписав к его концу еще один нолик.

Однако, несмотря на то что в принципе предела для величины числа не существует, у нас часто имеются практические ограничения, присущие выбранному нами способу записи чисел. К примеру, римляне записывали числа при помощи букв I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000), объединяя их в группы для получения промежуточных чисел. Так что числа 1–4 записывались I, II, III, IIII, за исключением того, что IIII часто заменяли на IV (5 минус 1). В этой системе наибольшее число, которое вы можете записать, равно:

или еще на тысячу меньше, если ограничиться только тремя M.

Однако иногда римлянам требовались числа и побольше. Чтобы обозначить миллион, они ставили черточку (римское название vinculum) над M, получая M. Вообще, черточка над буквой увеличила ее значение в тысячу раз, но такая запись использовалась редко, и даже когда использовалась, то ставилась лишь один раз, так что максимум, до чего можно было добраться таким образом, – это несколько миллионов. Ограничения этой символьной системы ясно показывают, что размер чисел, которые можно записать, всегда зависит от используемой системы представления чисел.

В настоящее время мы можем пойти значительно дальше. Миллион – это 1 000 000, так, мелочь. Мы можем получить намного более крупные числа, просто подставив в конце еще нуликов и наблюдая, как возрастает число стандартных групп по три цифры (математики нередко разделяют их тонким пробелом для наглядности). В западном мире существуют стандартные наименования для больших чисел, отражающие эту традицию: миллион, биллион, триллион, … и далее до сентиллиона. Но человек так устроен, что у него не может быть все просто, особенно в математике, поэтому эти слова имеют (или, по крайней мере, имели раньше) разные значения по разные стороны Атлантики. В США биллион равен 1 000 000 000, но в Великобритании этим словом называют 1 000 000 000 000 – то есть то, что американцы назвали бы триллионом. Однако в нынешнем взаимосвязанном мире победил американский вариант – возможно, потому, что «миллиард» (британское название для тысячи миллионов), во-первых, устаревает и, во вторых, его слишком легко спутать с «миллионом». А биллион – чудесное круглое число для международных финансов, по крайней мере до тех пор, пока мировые банки не выбросят на ветер финансового кризиса так много, что нам придется привыкать думать в триллионах.

Эти же числа можно записать и проще, если использовать степени 10. В этом случае 10⁶ обозначает 1 с шестью нулями, то есть миллион. Число 6 здесь называют показателем экспоненты. Биллион – это 10⁹ (миллиард), или 10¹² (триллион) в старомодном британском варианте. Сентиллион превращается в 10³⁰³ (10⁶⁰⁰ в британском варианте). Признанные расширения к стандартным названиям существуют вплоть до миллиниллиона, 10³⁰⁰³. Существует несколько систем таких расширений, но жизнь слишком коротка, чтобы описывать их все или хотя бы подробно описывать разницу между ними.

Еще два названия для больших чисел, которые также можно найти в большинстве словарей, – это гуголь и гугольплекс. Гуголь – это 10100 (1 со ста нулями); название придумал в свое время девятилетний племянник Джеймса Ньюмена Милтон Сиротта. Сиротта предложил и еще большее число – гуголплекс, которое определил так: «Я писал нули, пока ты не устал». Некоторая неопределенность количества нулей потребовала уточнения: «Я поставил еще гугол нулей».

Это более интересно, поскольку здесь мы сталкиваемся с той же проблемой, с какой столкнулись когда-то римляне, с той разницей, что они занялись ею намного раньше. Если вы попытаетесь записать гуголплекс в десятичном виде, как 1 000 000 000 …, то вам не хватит жизни, чтобы добраться до его конца. Строго говоря, вам не хватит для этого времени жизни всей Вселенной. Считая, что современные космологические представления верны, Вселенная, вероятно, закончит свое существование раньше, чем вы закончите писать это число. Во всяком случае, места для всех этих нулей вам не хватит даже в том случае, если каждый из них размером будет не больше кварка.

Однако существует и компактный способ записи гуголплекса: итерационная экспонента, или экспонента экспоненты. А именно:

10^10¹⁰⁰.

И раз уж вы начали думать о подобных вещах, то добавим, что этот метод позволяет добраться до по-настоящему очень больших чисел. В 1976 г. ученый-компьютерщик Дональд Кнут придумал способ записи очень больших чисел, которые, помимо всего прочего, фигурируют в некоторых областях теоретической информатики. Когда я говорю «очень больших», я подразумеваю очень большие числа – настолько большие, что способа даже начать их записывать в традиционной нотации просто не существует. Гуголплекс, то есть единица с 10¹⁰⁰ нулей, меркнет по сравнению с большинством чисел, которые можно записать при помощи нотации со стрелочкой Кнута.

Кнут начинает с записи

К примеру, 110↑2 = 100, 10↑3 = 1000, 10↑100 – гугол, а 10↑(10↑100) – гуголплекс. Традиционная договоренность о том, в каком порядке вычисляются экспоненты (справа налево), позволяет нам записать это проще – как 10↑10↑100. Не нужно обладать особенно развитым воображением, чтобы записать, скажем, 10↑10↑10↑10↑10↑10↑10.

Но это только начало. Пусть

a↑↑4 = a↑(a↑(a↑a)).

К примеру,

2↑↑4 = 2↑(2↑(2↑2)) = 2↑(2↑4) = 2↑16 = 65 536

и

3↑3 = 3↑3↑3 = 3↑27 = 7 625 597 484 987.

Числа растут настолько стремительно, что записать их цифра за цифрой очень скоро становится попросту невозможно. К примеру, в числе 4↑↑4 насчитывается 155 десятичных знаков. Но в этом-то и смысл: стрелочная нотация обеспечивает компактный способ обозначения гигантских чисел. Однако мы едва начали. Пусть

a↑↑↑b = a↑↑a↑↑…↑↑a,

где a в правой части равенства фигурирует b раз. Здесь опять же вычисляются справа налево. Ну, вы понимаете: далее мы можем ввести

a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑…↑↑↑a,

a↑↑↑↑↑b = a↑↑↑↑a↑↑↑↑…↑↑↑↑a,

и т. д., где, как обычно, a присутствует b раз, а оценка производится справа налево.

Р. Гудштейн развил нотацию Кнута и упростил ее, введя выражения, названные им гипероператорами. Джон Конвей разработал собственную стрелочную нотацию с горизонтальными стрелочками и скобками.

В теории струн – области теоретической физики, целью которой является объединении теории гравитации с квантовой механикой, число 10↑10↑500 имеет вполне определенный смысл: это число потенциально различных структур пространства – времени. Согласно Дону Пейджу, самое длинное конечное время, в явном виде рассчитанное физиками, составляет всего лишь

10↑10↑10↑10↑10↑1,1 лет.

Это время возвращения Пуанкаре для квантового состояния черной дыры с массой, равной массе всей Вселенной, то есть время, через которое эта система вернется в свое первоначальное состояние и, по существу, история повторится.