Книга: Математические головоломки профессора Стюарта
Назад: Непрозрачные многоугольники и круги
Дальше: Промежутки между простыми числами
πr²?
No, pie are round. Chocolate are squared.
Знак одного 
Из мемуаров доктора Ватсапа
– Сомс! Вот симпатичная головоломка. Она могла бы заинтересовать вас.
Хемлок Сомс положил кларнет, на котором только что исполнял боливийскую погребальную мелодию.
– Я в этом сомневаюсь, Ватсап.
Меланхоличное настроение преследовало моего друга уже несколько недель, и я намеревался во что бы то ни стало встряхнуть его.
– Задача в том, чтобы выразить целые числа 1, 2, 3 и т. д. с использованием не более чем…
– Четырех четверок, – сказал Сомс. – Я хорошо знаю эту задачу, Ватсап.
Я решил, что не позволю отсутствию интереса с его стороны смутить меня.
– Основные арифметические символы позволяют таким образом добраться до 22. Знак квадратного корня повышает этот предел до 30. Знак факториала – до 112; знак возведения в степень – до 156…
– А субфакториала – до 877, – закончил за меня Сомс. – Это старая задачка, и ее уже давно выжали досуха.
– Что такое субфакториал, Сомс? – спросил я, но он уже уткнулся носом во вчерашний выпуск Daily Wail.
Однако не прошло и минуты, как он вновь показался из-за газетного листа.
– Имейте в виду, Ватсап, существует множество возможных вариантов. Использование именно четверки дает нам значительную свободу, к тому же всего из одной четверки можно получить несколько весьма полезных чисел. К примеру, √4 = 2 и 4! = 24.
– А что означает здесь восклицательный знак? – поинтересовался я.
– Факториал. К примеру, 4! = 4 × 3 × 2 × 1. Что, как я уже сказал, равно 24.
– О-о.
– Эти дополнительные числа достаются нам бесплатно и существенно облегчают задачу. Но вот интересно… – его голос почти затих.
– Что интересно, Сомс?
– Интересно, как далеко можно продвинуться, если использовать четыре единицы.
Внутренне я ликовал, поскольку в нем явно пробудился интерес. А вслух сказал:
– Да, я понимаю. Теперь √1 = 1 и 1! = 1, так что «бесплатно» ничего не возникает. Это усложняет задачу, но делает ее, возможно, более достойной нашего внимания.
Он хмыкнул, и я поспешил реализовать свое крохотное преимущество. Лучший способ заинтересовать Сомса состоит в том, чтобы попробовать решить задачу самостоятельно и потерпеть неудачу.
– Понятно, что 1 = 1 × 1 × 1 × 1,
а также
2 = (1 + 1) × 1 × 1,
3 = (1 + 1 + 1) × 1,
4 = 1 + 1 + 1 + 1,
но выражение для 5 мне уже не дается.
Сомс поднял одну бровь.
– Вы могли бы рассмотреть выражение
5 = (1/0,1)/(1 + 1).
– Хм, хитро! – воскликнул я, но Сомс только фыркнул. – Но как насчет 6? – продолжал я. – Я вижу, как получить шестерку с использованием факториала:
6 = (1 + 1 + 1)! × 1.
На самом деле мне нужны только три единицы, но от всех лишних легко избавиться посредством умножения на них.
– Элементарно, – пробормотал он. – А рассматривали ли вы такой вариант, Ватсап?
если вы настаиваете на использовании факториалов. Разумеется, чтобы использовать все четыре единицы, вы можете умножить на 1 × 1, или на 1/1, или прибавить 1–1.
Я непонимающе воззрился на формулу.
– Я узнаю десятичную точку, Сомс, но что означают скобки вокруг 1?
– Период, – ответил Сомс устало. – Нуль запятая 1 в периоде соответствует 0,11111… до бесконечности. Единица в периоде дает число, равное в точности 1/9. Разделив на это единицу, получим 9, корень из 9 равен 3…
– А дальше 3 + 3 = 6, – возбужденно вскричал я. – И еще, конечно,
7 = (1 + 1 + 1)! + 1
обходится без всяких корней. Но 8 – совсем другое дело…
– Обратите внимание, пожалуйста, – сказал Сомс.
8 = 1/0,(1) – 1 × 1
9 = 1/0,(1) + 1 – 1
– Ага! Вот это да! И дальше
10 = 1/0,(1) + 1 – 1
11 = 1/0,(1) + 1 + 1
и…
– Вы щедро тратите свои единицы, – заметил Сомс. – Лучше приберечь их для дальнейшего.
Он написал:
10 = 1/0,1
11 = 11
и добавил:
– Обратите внимание на отсутствие символа периода, Ватсап. На этот раз это обычная десятичная дробь 0,1. А-а, и вам следует домножить то и другое на 1 × 1, чтобы не оставлять лишних единиц или потратить их еще каким-то способом из тех, о которых я упоминал. Но вообще-то можно опускать эти лишние единицы, ведь позже мы найдем, куда их можно употребить.
– Да! Вы имеете в виду что-то вроде
и т. д.?
По губам Сомса промелькнула тень улыбки.
– Вы точно все схватили, Ватсап!
– Но как насчет 15? – спросил я.
– Тривиально, – вздохнул он и написал:
К этому я триумфально добавил:
и Сомс одобрительно кивнул.
– Вот теперь задача начинает становиться интересной, – заметил он. – Как насчет 23? Справитесь?
– Есть, Сомс! – воскликнул я.
– Мы помним, – пояснил я, – что 4! = 24, как вы столь мудро заметили. Здорово, Сомс! Хотя 26 я не смог бы выразить, даже если бы на кону была моя жизнь.
– Ну… – начал он и остановился.
– Ага, застряли, не так ли?
– Ни в малейшей степени. Я просто думал о том, есть ли необходимость вводить новый символ. Конечно, он немало облегчит нам жизнь. Ватсап, слышали ли вы когда-нибудь о функциях округления, которые еще называют «пол» и «потолок»?
Мой взгляд против моей воли метнулся за подсказкой вниз, к ногам, а затем вверх, поверх головы Сомса, но вдохновение меня не осенило.
– Вижу, что не слышали, – сказал Сомс. «Откуда он знает, что я думаю? – подумал я. – Это даже…»
– Жутковато… да, разве не так? Я читаю вас, как открытую книгу, Ватсап. И эта книга, вероятно, «Сказки матушки Гусыни». Так вот эти функции выглядят так:
= наибольшему целому числу, меньшему или равному x (пол, или округление вниз);
= наименьшему целому числу, большему или равному x (потолок, или округление вверх), и вы скоро поймете, что они незаменимы в задачах вроде этой.
– Прекрасно, Сомс. Хотя я, признаюсь, не понимаю…
– Идея, Ватсап, в том, что посредством этих функций мы можем выразить полезные небольшие числа при помощи только двух единиц. К примеру,
– еще один способ выразить 3, использовав всего две единицы, а
– новый способ. – Видя мое недоумение, он добавил: – Обратите внимание,√1/ 0.1 = √10 = 3.162. Пол от этого числа равен 3, а потолок – 4.– Ну да… – с сомнением проговорил я.
– Тогда мы идем дальше, потому что
Не говоря уже о других возможных вариантах.
Тысячи разрозненных мыслей метались в моей голове. Одна в конце концов выступила перед.
– Но, Сомс, я только сейчас понял, что
потому что √24 = 4,89, а потолок этого числа равен 5. Поэтому я смогу теперь представить 29 и 30!
Говоря это, я имел в виду просто 30, а не факториал 30, вы понимаете. Пунктуация в математике – такая морока.
Ватсап и Сомс прошли в этой задаче гораздо дальше, и позже мы увидим, чего они в конце концов достигли. Но, прежде чем продолжить эту историю, вы, может быть, захотите проверить, как далеко удастся пройти вам самостоятельно.
«Знак одного» продолжается в главе «Знак одного: часть вторая».
