Существует стандартный математический трюк: если не можешь решить задачу, обобщи ее, то есть рассмотри некоторое множество аналогичных, но более сложных задач. Эта мысль может показаться глупой: как рассмотрение более сложной задачи поможет справиться с менее сложной? Но чем больше у вас примеров для обдумывания, тем выше шансы заметить какую-нибудь интересную общую черту, которая и послужит ключом к задаче. Этот прием не всегда срабатывает, и здесь мы пока не видели подобных примеров, но иногда помогает.

Один из способов генерализации, или обобщения, задачи о непрозрачном квадрате состоит в том, чтобы изменить форму поля. Замените квадрат на прямоугольник или многоугольник с бо́льшим числом сторон, круг или эллипс – здесь открывается широчайшее поле для фантазии.

Математики сосредоточились в основном на двух генерализациях: на правильных многоугольниках и кругах. Самая короткая известная непрозрачная ограда для правильного треугольника – это дерево Штейнера, соединяющее каждый из углов с центром треугольника. Существует общая конструкция, которая позволяет получить ограды наименьшей длины для правильных многоугольников с нечетным числом сторон, и похожая на нее конструкция для четного числа сторон.

А как насчет непрозрачного круга? Если вся ограда должна располагаться в пределах фигуры, то очевидный ответ – это длина окружности. Для единичного круга это 2π = 6,282. Если часть окружности отсутствует, вам потребуются дополнительные участки ограды внутри круга, которые блокировали бы прямые, проходящие через отсутствующий сегмент, и все сильно усложняется. Интуитивно круг можно представить как правильный многоугольник с бесконечным числом бесконечно коротких сторон. На основании этой идеи Каволь доказал, что построение, аналогичное построению для правильных многоугольников, но с бесконечным числом сторон, дает непрозрачную ограду полной длины π + 2 = 5,141, что меньше 2π. Но если мы разрешим вынос части ограды за пределы круга, то выяснится, что существует более короткая непрозрачная ограда в форме буквы U. Ее длина также равна π + 2. Предполагается, что это самая короткая из возможных оград; пока это доказано для оград, представляющих собой единую кривую без ветвления.

Кроме того, задача была расширена на трехмерное пространство: здесь ограда превращается в сложную поверхность. Самая известная непрозрачная ограда для куба образована из нескольких искривленных кусков.