Загадка с кубами приобрела некоторую известность потому, что в 1940 г. знаменитый математик Годфри Харолд Харди написал в книге «Апология математика», что подобные головоломки не имеют никакой математической ценности, поскольку зависят от используемой нотации (в данном случае десятичной) и представляют собой всего лишь случайные совпадения. Однако, разгадывая такие загадки, можно почерпнуть немало полезных знаний в области математики, а обобщения (к примеру, расширение задачи на другие системы счисления, помимо десятичной) позволяют обойти вопрос нотации.

Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.

Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:

где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!

На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:

что, как несложно догадаться, еще труднее.

Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ≤ 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9ⁿ < 10^n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ≥ 6 получаем следующие числа: